Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie:
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Springer Spektrum
2013
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INHALTSVERZEICHNIS
1 EINLEITUNG 1
2 GRUNDBEGRIFFE 7
2.1 MESSBARE RAEUME 7
2.2 WAHRSCHEINLICHKEITSMASSE 12
2.3 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN UND UNABHAENGIGKEIT 18
2.4 DAS LEMMA VON BOREL-CANTELLI 27
3 DISKRETE VERTEILUNGEN UND ZUFALLSVARIABLEN 31
3.1 DISKRETE VERTEILUNGEN 31
3.2 DISKRETE ZUFALLSVARIABLEN UND IHR ERWARTUNGSWERT 39
4 ABSOLUTSTETIGE VERTEILUNGEN UND ZUFALLSVARIABLEN 47
4.1 DIE BOREL'SCHE A-ALGEBRA 47
4.2 ABSOLUTSTETIGE VERTEILUNGEN 49
4.3 ABSOLUTSTETIGE ZUFALLSVARIABLEN UND IHR ERWARTUNGSWERT 62
5 VERTEILUNGEN AUF DER REELLEN ACHSE 69
5.1 KONSTRUKTION VON WAHRSCHEINLICHKEITSMASSEN 69
5.2 ERZEUGENDENSYSTEME DER BOREL'SCHEN A-ALGEBRA 74
5.3 VERTEILUNGSFUNKTIONEN 75
5.4 DISKRETE VERTEILUNGEN 82
5.5 ABSOLUTSTETIGE VERTEILUNGEN 85
6 ZUFALLSVARIABLEN UND IHR ERWARTUNGSWERT 91
6.1 ZUFALLSVARIABLEN UND MESSBARKEIT 91
6.2 DER ERWARTUNGSWERT FUER ELEMENTARE ZUFALLSVARIABLEN 100
6.3 DER ERWARTUNGSWERT FUER NICHTNEGATIVE ZUFALLSVARIABLEN 103
6.4 DER ERWARTUNGSWERT FUER INTEGRIERBARE ZUFALLSVARIABLEN 112
6.5 QUADRATINTEGRIERBARE ZUFALLSVARIABLEN 122
6.6 DAS LEBESGUE-INTEGRAL BEZUEGLICH EINES MASSES 125
6.7 DISKRETE ZUFALLSVARIABLEN 127
6.8 ABSOLUTSTETIGE ZUFALLSVARIABLEN 131
IX
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X INHALTSVERZEICHNIS
7 UNABHAENGIGE ZUFALLSVARIABLEN UND PRODUKTMASSE 139
7.1 PRODUKTMASSE 139
7.2 DER SATZ VON FUBINI 144
7.3 UNABHAENGIGE ZUFALLSVARIABLEN 149
7.4 DIE KOVARIANZ VON ZUFALLSVARIABLEN 154
7.5 DISKRETE ZUFALLSVARIABLEN 161
7.6 ABSOLUTSTETIGE ZUFALLSVARIABLEN 167
7.7 DAS NULL-EINS-GESETZ VON KOLMOGOROV 173
8 TRANSFORMATIONEN VON ZUFALLSVARIABLEN MIT DICHTEN 179
8.1 EINDIMENSIONALE VERTEILUNGEN 179
8.2 MEHRDIMENSIONALE VERTEILUNGEN 187
9 CHARAKTERISTISCHE FUNKTIONEN 199
9.1 DEFINITION UND ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN 199
9.2 DER EINDEUTIGKEITSSATZ 210
9.3 SUMMEN UNABHAENGIGER ZUFALLSVARIABLEN 211
10 KONVERGENZ VON ZUFALLSVARIABLEN UND VERTEILUNGEN 219
10.1 KONVERGENZ VON ZUFALLSVARIABLEN 219
10.2 SCHWACHE KONVERGENZ UND KONVERGENZ IN VERTEILUNG 226
11 GRENZWERTSAETZE 245
11.1 DAS GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN 245
11.2 DER ZENTRALE GRENZWERTSATZ 252
11.3 DER GRENZWERTSATZ VON POISSON 256
12 GAUSS'SCHE ZUFALLSVEKTOREN 259
12.1 EINDIMENSIONALE NORMALVERTEILUNGEN 259
12.2 MEHRDIMENSIONALE NORMALVERTEILUNGEN 262
12.3 ZWEIDIMENSIONALE NORMALVERTEILUNGEN 272
12.4 DER MEHRDIMENSIONALE ZENTRALE GRENZWERTSATZ 277
ANHANG A: ANALYSIS _. 279
ANHANG B: LINEARE ALGEBRA 295
LITERATURVERZEICHNIS 299
SACHVERZEICHNIS 301
Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie
Eine Vorlesung zur Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie gehört - neben
den Standardvorlesungen
Analysis
und Lineare Algebra - zur Grundausbildung eines
jeden Mathematikers. Vielen Studierenden bereitet der Umgang mit dem „Zufall"
Schwierigkeiten.
Das Ziel des vorliegenden Buches ist, eine leicht lesbare und gründliche Einführung
in die Wahrscheinlichkeitstheorie zu bieten; eine Vielzahl von anschaulichen und
sorgfältig ausgewählten Beispielen soll den Studierenden helfen, den Zufall in den
Griff zu bekommen.
Dabei ist dem Autor eine klare und vollständige Darstellung der Theorie ebenso wichtig
wie Beispiele und Abbildungen, die schwer aussehende Sachverhalte verdeutlichen. In
zahlreichen Abbildungen und in über 100 Beispielen wird die Theorie illustriert und
in verständlichen Worten formuliert.
Der Inhalt des Buches ist klassisch und deckt eine erste Einführung in die Wahrschein¬
lichkeitstheorie der Theorie des Zufalls - ab. |
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