Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie: Distributionen, lokalkonvexe Methoden, Spektraltheorie
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Berlin [u.a.]
Springer
2014
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INHALTSVERZEICHNIS
I DISTRIBUTIONEN UND DIFFERENTIALOPERATOREN 1
1 FR6CHETRAEUME 2
1.1 KONVERGENZBEGRIFFE UND
FUNKTIONENRAEUME 3
1.2 HALBNORMEN UND LOKALKONVEXE TOPOLOGIEN 7
1.3 STETIGE LINEARE ABBILDUNGEN UND ISOMORPHIEN 13
1.4 PRINZIPIEN DER FUNKTIONALANALYSIS 19
1.5 AUFGABEN 24
2 DISTRIBUTIONEN 27
2.1 TESTFUNKTIONEN 27
2.2 SCHWACHE ABLEITUNGEN UND DISTRIBUTIONEN 35
2.3 TVAEGER
VON DISTRIBUTIONEN 41
2.4 TENSORPRODUKTE VON DISTRIBUTIONEN 45
2.5 FALTUNG VON DISTRIBUTIONEN 48
2.6 AUFGABEN. ^ 52
3 FOURIER-TRANSFORMATION 56
3.1 SCHNELL FALLENDE FUNKTIONEN 58
3.2 HERMITE-FUNKTIONEN 62
3.3 TEMPERIERTE DISTRIBUTIONEN 66
3.4 HOLOMORPHE FOURIER-TRANSFORMIERTE 68
3.5 AUFGABEN 73
4 SOBOLEV-RAEUME 77
4.1 APPROXIMATIONSSAETZE 77
4.2 SOBOLEV-HILBERTRAEUME 82
4.3 EINBETTUNGSSAETZE 86
4.4 FORTSETZUNGSOPERATOREN 91
4.5 SPUROPERATOREN 96
4.6 AUFGABEN 99
5 LINEARE DIFFERENTIALOPERATOREN 102
5.1 DIE WAERMELEITUNGSGLEICHUNG AUF R
N
102
5.2 BEISPIELE VON
FUNDAMENTALLOESUNGEN 107
5.3 KONSTRUKTION VON FUNDAMENTALLOESUNGEN 111
5.4 REGULARITAET VON LOESUNGEN 116
5.5 ELLIPTISCHE DIFFERENTIALOPERATOREN 120
5.6 RANDWERTPROBLEME 125
5.7 AUFGABEN 129
II LOKALKONVEXE METHODEN DER ANALYSIS 133
6 TOPOLOGISCHE VEKTORRAEUME 135
6.1 LINEARE TOPOLOGIEN 136
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X
INHALTSVERZEICHNIS
6.2 LOKALBESCHRAENKTE RAEUME UND QUASI-NORMEN 141
6.3 AUFGABEN 144
7 LOKALKONVEXE RAEUME 146
7.1 DAS PRINZIP DER GLEICHMAESSIGEN BESCHRAENKTHEIT 147
7.2 PROJEKTIVE TOPOLOGIEN 149
7.3 INDUKTIVE LOKALKONVEXE TOPOLOGIEN 153
7.4 (LF)
-RAEUME 158
7.5 GEWEBE UND DER SATZ VOM ABGESCHLOSSENEN
GRAPHEN 162
7.6 AUFGABEN 167
8 DUALITAET 170
8.1 POLARE LOKALKONVEXE TOPOLOGIEN 170
8.2 REFLEXIVE RAEUME 175
8.3 (DF)
-RAEUME 180
8.4 EXAKTE SEQUENZEN 183
8.5 KOMPAKTE KONVEXE MENGEN 187
8.6 AUFGABEN 193
9 LOESUNG LINEARER GLEICHUNGEN 197
9.1 ABGESCHLOSSENE OPERATOREN UND DUALE OPERATOREN 198
9.2 NORMAL AUFLOESBARE UND SURJEKTIVE OPERATOREN 202
9.3 DIE MITTAG-LEFFLER-METHODE 206
9.4 GLOBALE LOESBARKEIT LINEARER DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 209
9.5 STETIGE LOESUNGSOPERATOREN 215
9.6 STETIGE LINEARE LOESUNGSOPERATOREN UND PROJEKTIONEN 218
9.7 FORTSETZUNG UND LIFBING LINEARER
OPERATOREN 223
9.8 AUFGABEN 227
10 VEKTORFUNKTIONEN UND TENSORPRODUKTE 231
10.1 FUNKTIONENRAEUME UND E -PRODUKTE 232
10.2 -PRODUKTE LINEARER OPERATOREN 238
10.3 HOLOMORPHE FUNKTIONEN UND COUSIN-PROBLEME 241
10.4 E -TENSORPRODUKTE UND APPROXIMATIONSEIGENSCHAFT 246
10.5 7R -TENSORPRODUKTE UND
BOCHNER-INTEGRALE 252
10.6 AUFGABEN 258
11 OPERATORIDEALE UND NUKLEARE RAEUME 263
11.1 APPROXIMATIONSZAHLEN UND INTEGRALOPERATOREN 264
11.2 NUKLEARE OPERATOREN 269
11.3 SPUREN 273
11.4 NUKLEARE RAEUME 277
11.5 SCHNELL FALLENDE FOLGEN 283
11.6 AUFGABEN 286
12 EXAKTE SEQUENZEN UND TENSORPRODUKTE 290
12.1 .S?OO -RAEUME UND
LIFTING-SAETZE 291
INHALTSVERZEICHNIS
XI
12.2 -SEQUENZEN 296
12.3 HOLOMORPHE FUNKTIONEN MIT RANDBEDINGUNGEN 301
12.4 DIE EIGENSCHAFTEN (DN) UND (FI) 304
12.5 EIN SPLITTING-SATZ 309
12.6 UNTERRAEUME UND QUOTIENTENRAEUME VON S 315
12.7 AUFGABEN 317
III LINEARE OPERATOREN UND SPEKTRALTHEORIE 321
13 BANACHALGEBREN .* 322
13.1 GRUNDLAGEN 324
13.2 DER ANALYTISCHE FUNKTIONALKALKUEL 328
13.3 GELFAND-THEORIE 334
13.4 UNIFORME ALGEBREN UND GEMEINSAME SPEKTREN 342
13.5- EINSEITIGE IDEALE UND HOLOMORPHE OPERATORFUNKTIONEN 346
13.6 AUFGABEN 351
14 FREDHOLMOPERATOREN UND KOMPAKTE OPERATOREN 354
14.1 SEMI-FREDHOLMOPERATOREN UND STOERUNGSSAETZE 355
14.2 SINGULAERE INTEGRALOPERATOREN 362
14.3 INVERSION HOLOMORPHER FREDHOLM-FUNKTIONEN 367
14.4 SPEKTRALPROJEKTIONEN 375
14.5 DIE WEYISCHE UNGLEICHUNG 378
14.6 . INVARIANTE UNTERRAEUME 383
14.7 AUFGABEN 388
15 C* -ALGEBREN UND NORMALE OPERATOREN 393
15.1 C*-ALGEBREN 394
15.2 DER STETIGE FUNKTIONALKALKUEL 399
15.3 * -DARSTELLUNGEN UND BESCHRAENKTER BOREL-FUNKTIONALKALKUEL 403
15.4 SPEKTRALMASSE UND -INTEGRALE 408
15.5 SPEKTRALTHEORIE NORMALER OPERATOREN 412 *
15.6 AUFGABEN 418
16 SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN 421
16.1 SPEKTRALSATZ UND UNBESCHRAENKTER BOREL-FUNKTIONALKALKUEL 422
16.2 SPEKTREN SELBSTADJUNGIERTER OPERATOREN 428
16.3 SELBSTADJUNGIERTE OPERATOREN UND QUANTENMECHANIK 434 '
16.4 ERWEITERUNG SYMMETRISCHER OPERATOREN 440
16.5 HALBBESCHRAENKTE OPERATOREN 444
16.6 STOERUNGEN SELBSTADJUNGIERTER OPERATOREN 449
16.7 GELFAND-TRIPEL UND VERALLGEMEINERTE EIGENVEKTOREN 457
16.8 AUFGABEN 460
LITERATURVERZEICHNIS 465
INDEX 473
Aufbaukurs Funktionalanalysis und Operatortheorie
In diesem Buch finden Sie eine Einführung in die Funktionalanalysis und Operatorthe¬
orie auf dem Niveau eines Master-Studiengangs. Ausgehend von Fragen zu partiellen
Differentialgleichungen und Integralgleichungen untersuchen Sie lineare Gleichungen
im Hinblick auf Existenz und Struktur von Lösungen sowie deren Abhängigkeit von
Parametern. Dazu lernen Sie verschiedene Konzepte und Methoden kennen: Distri¬
butionen,
Fourier-Transformation,
Sobolev-Räume, Dualitätstheorie im Rahmen lo¬
kalkonvexer Räume,
topologische Tensorprodukte,
exakte Sequenzen, Banachalgebren,
Fredholmoperatoren, Funktionalkalküle sowie selbstadjungierte Operatoren und ihre
Rolle in der Quantenmechanik.
Das Buch eignet sich hervorragend als Begleitlektüre zu einer Vorlesung über diese
Themen und auch zum Selbststudium. Es ist ausführlich und leicht verständlich ge¬
schrieben, die Konzepte und Resultate werden durch Abbildungen und viele Beispiele
illustriert. Anhand zahlreicher Übungsaufgaben können Sie Ihr Verständnis des Stoffes
testen, anhand anderer diesen selbstständig weiterentwickeln. Lösungen finden Sie auf
der Website zum Buch unter
www.springer-spektrum.de.
An Vorkenntnissen benötigen Sie neben dem Stoff der Anfängervorlesungen einen
Grundkurs über Funktionalanalysis sowie Grundlagen der Funktionentheorie, der
Topologie
und der Maßtheorie. |
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