Lineare Algebra: eine Einführung in die Wissenschaft der Vektoren, Abbildungen und Matrizen
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Inhaltsverzeichnis
Was wir wissen müssen, bevor wir anfangen können. 1
1.1 Mengen. 1
1.2 Äquivalenzrelationen. 4
1.3 Abbildungen. 7
1.4 Wann haben zwei Mengen gleich viele Elemente? . 13
1.5 Die
Σ
-Notation
. 18
1.6
Beweispľinzipien
. 20
1.7 Verständnisfragen, Übungen und Tipps. 22
Körper. 29
2.1 Die Definition. 29
2.1.1 Gesetze der Addition. 29
2.1.2 Gesetze der Multiplikation. 30
2.1.3 Distributivgesetz. 30
2.2 Beispiele von Körpern. 32
2.2.1 Der Körper der komplexen Zahlen . 33
2.2.2 Der Quaternionenschiefkörper. 36
2.2.3 Einige endliche Körper. 40
2.2.4 Konstruktion eines Körpers mit vier Elementen. 44
2.3 Automorphismen von Körpern. 46
2.3.1 Die Definitionen. 47
2.3.2 Der Körper der rationalen Zahlen. 47
2.3.3 Der Körper der reellen Zahlen . 50
2.3.4 Konjugiert-komplexe Zahlen . 51
2.4 Verständnisfragen, Übungen und Tipps. 52
Vektorräume. 59
3.1 Die Definition. 59
3.2 Beispiele von Vektorräumen. 61
3.2.1 Vektor räume mit Hilfe von Geometrie. 61
3.2.2 Der Vektorraum Kn. 62
XI
XII
Inhaltsverzeichnis
3.2.3 Der Vektorraum aller
m x
я
-Matrizen. 63
3.2.4 Der Vektorraum aller unendlichen Folgen . 64
3.2.5 Ein Vektorraum unendlicher Folgen. 64
3.2.6 Vektorräume von Funktionen. 64
3.2.7 Lösungen eines Gleichungssystems. 65
3.2.8 Teilmengen einer Menge . 65
3.2.9 Körper als Vektorräume. 65
3.3 Elementare Theorie der Vektorräume. 66
3.3.1 Der Begriff der Basis. 67
3.3.2 Der Steinitzsche Austauschsatz. 75
3.3.3 Der Dimensionssatz. 83
3.3.4 Faktorräume. 85
3.4 Zur Geschichte der linearen Algebra. 92
3.5 Verständnisfragen, Übungen und Tipps. 94
4 Anwendungen von Vektorräumen. 105
4.1 Lineare Gleichungssysteme. 105
4.1.1 Begriffe und Fragen. 105
4.1.2 Exkurs über Matrizen . 106
4.1.3 Lösbarkeit von linearen Gleichungssystemen. 111
4.1.4 Der Gaußsche Algorithmus . 116
4.2 Affine Geometrie . 122
4.2.1 Affine Räume. 123
4.2.2 Unterräume. 126
4.3 Codierungstheorie . 129
4.3.1 Grundlegende Begriffe. 129
4.3.2 Lineare Codes. 133
4.4 Verständnisfragen, Übungen und Tipps. 139
5 Lineare Abbildungen. 147
5.1 Definitionen und grundlegende Eigenschaften . 147
5.2 Darstellung von linearen Abbildungen durch Matrizen. 154
5.3 Der Homomorphiesatz . 162
5.4 Der Dualraum . 166
5.5 Verständnisfragen, Übungen und Tipps. 171
6 Polynomringe. 177
6.1 Ringe. 177
6.1.1 Gesetze der Addition. 177
6.1.2 Gesetz der Multiplikation. 178
6.1.3 Distributivgesetze. 178
Inhaltsverzeichnis
XIII
6.2 Was ist eigentlich xi. 179
6.3 Polynomdivision. 187
6.4 Ideale von K[x]. 192
6.5 Verständnisfragen, Übungen und Tipps. 195
7 Determinanten . 203
7.1 Die Determinantenfunktion. 203
7.2 Permutationen. 207
7.3 Gerade und ungerade Permutationen. 211
7.4 Die Leibnizsche Determinantenformel. 218
7.5 Wie berechnet man eine Determinante?. 222
7.6 Der Multiplikationssatz. 233
7.7 Verständnisfragen, Übungen und Tipps. 236
8 Diagonalisierbarkeit . 241
8.1 Einführung . 241
8.2 Eigenvektoren und Eigenwerte. 243
8.3 Das charakteristische Polynom. 249
8.4 Das Minimalpolynom. 256
8.5 Verständnisfragen, Übungen und Tipps. 265
9 Elementarste Gruppentheorie. 271
9.1 Beispiele von Gruppen. 271
9.1.1 Gruppen in bekannten Strukturen. 273
9.1.2 Gruppen aus bekannten Objekten. 274
9.1.3 Gruppen aus Permutationen. 276
9.2 Einfache Strukturaussagen für Gruppen. 278
9.2.1 Untergruppen . 278
9.2.2 Zyklische Gruppen. 282
9.2.3 Der Homomorphiesatz . 285
9.3 Verständnisfragen, Übungen und Tipps. 289
10 Skalarprodukte. 295
10.1 Ein Beispiel . 295
10.2 Bilinearformen. 297
10.3 Skalarprodukte. 307
10.4 Orthogonale Abbildungen. 315
10.5 . und eine zweite symmetrische Bilinearform? . 324
10.6 Verständnisfragen, Übungen und Tipps. 329
XIV
Inhaltsverzeichnis
11 Lösungen .337
11.1 Lösungsvektoren der D-Aufgaben.337
11.2 Tipps zur Lösung der Übungsaufgaben .339
Literatur.359
Sachverzeichnis.361
Lineare
Algebra
Dieses Lehrbuch ist leicht verständlich, speziell für Anfänger der Mathematik sowohl
im Bachelor- als auch im Lehramtsstudium. Unter den vielen Büchern über Lineare
Algebra, die Sie in der Bibliothek oder einer Buchhandlung finden, eignet dieses sich
besonders dafür. Ihr erstes Mathematikbuch zu sein. Der Stil ist locker, lustig, leicht
und unterhaltsam. Vor allem wurde versucht, die üblichen k.o.-Schläge, wie etwa „wie
man leicht sieht", „trivialerweise folgt", „man sieht unmittelbar", zu vermeiden. Durch
viele Lernhilfen ist das Buch ideal geeignet zum Selbststudium: Zu jedem Kapitel
gibt es zunächst eine Reihe von insgesamt über 250 „ganz dummen" Fragen, die zur
unmittelbaren Kontrolle dienen; dann gibt es eine reiche Auswahl von leicht lösbaren
Übungsaufgaben und schließlich tiefergehende „Projekte".
Alles in allem über 300 Übungsaufgaben - mit Tipps zu ihrer Lösung. Das Buch liegt
nun in einer verbesserten und neu gesetzten Neuauflage vor.
Der Inhalt
Mathematik: Eine Mutprobe? - Was wir wissen müssen, bevor wir anfangen können
- Körper - Vektorräume - Anwendungen von Vektorräumen - Lineare Abbildungen -
Polynomringe - Determinanten - Diagonalisierbarkeit - Elementarste Gruppentheorie
- Skalarprodukte - Adieu! - Lösungsvektoren - Tipps zur Lösung der Übungsaufgaben
Die Zielgruppen
• Studierende der Mathematik, Informatik und Physik ab dem 1. Semester
• Lehrerinnen und Lehrer an Gymnasien |
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