Zahlen und ihre Struktur: Mathematische und philosophische Untersuchungen im Umfeld der Ideen natürlicher und reeller Zahlen und ihrer Nichtstandardmodelle
Gespeichert in:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Würzburg
Königshausen & Neumann
2013
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| Schlagworte: | |
| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Beschreibung: | 276 S. graph. Darst. |
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INHALT
VORWORT 9
1 EINFUEHRUNG 11
1.1 AUSGANGSPUNKTE, ZIELE UND GESICHTSPUNKTE 11
1.2 RESULTATE UND ZUSAMMENFASSUNGEN 12
2 MATHEMATISCHE GESICHTSPUNKTE 17
2.1 DIE PEANO-AXIOME DER NATUERLICHEN ZAHLENREIHE 17
2.2 REKURSIVE DEFINITION VON ADDITION UND MULTIPLIKATION 19
2.3 MONOMORPHIE DER PEANO-AXIOME 21
2.4 BEISPIELE FUER PEANOSTRUKTUREN 23
2.5 PEANO-ARITHMETIK 25
2.6 ORDNUNGSEIGENSCHAFTEN 27
2.7 DIE UNENDLICHKEIT DER ZAHLENREIHE 30
2.8 NICHTISOMORPHE MODELLE IN DER GRUPPENTHEORIE 33
2.9 PEANOSTRUKTURERWEITERUNGEN 35
2.10 HYPERNATUERLICHE ZAHLEN 37
2.10.1 ADJUNKTIONSMETHODE 37
2.10.2 ULTRAPOTENZMETHODE 42
2.10.3 SKOLEMSCHE METHODE 48
2.10.4 VERGLEICH DER METHODEN 51
BIBLIOGRAPHISCHE HINWEISE 52
3 MATHEMATIK UND FORMALE LOGIK 53
3.1 VORAUSSETZUNGEN, GESICHTSPUNKTE UND ZIELE DER FORMALEN LOGIK 53
3.2 GRUNDBEGRIFFE DER FORMALEN PROPOSITIONSLOGIK 55
3.2.1 FORMALE LOGIK DER UNBESTIMMTEN PROPOSITIONEN 55
3.2.2 FORMALE LOGIK DER PROPOSITIONSBESTIMMUNG: BEWERTUNG UND
GUELTIGKEIT, PROPOSITIONSLOGISCHE GESETZE 59
3.2.3 PROPOSITIONSLOGISCHE FOLGERUNG UND DER MODELLBEGRIFF 62
3.2.4 PROPOSITIONSLOGISCHES SCHLIESSEN 63
3.2.5 PROPOSITIONSLOGISCHE DEDUKTION 64
3.2.6 ADAEQUATHEIT DER PROPOSITIONSLOGIK 65
3.2.7 ALGEBRA DER PROPOSITIONEN 66
3.2.5 MATHEMATISIERUNG DER FORMALEN PROPOSITIONSLOGIK: BEMERKUNGEN ZUR
AXIOMATIK 67 3.2.9 GRENZEN DER FORMALEN PROPOSITIONSLOGIK 68
3.3 GRUNDBEGRIFFE DER FORMALEN PRAEDIKATENLOGIK 69
3.3.1 FORMALE LOGIK DER UNBESTIMMTEN PRAEDIKATE 69
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IMAGE 2
6 INHALT
3.3.2 FREIE VARIABLEN UND QUANTIFIZIERUNG 72
3.3.3 FORMALE LOGIK DER PRAEDIKATENBESTIMMUNG: INTERPRETATION UND
ERSSLLBARKEIT, PRAEDIKATENLOGISCHE GESETZE 75
3.3.4 PRAEDIKATENLOGISCHE FOLGERUNG UND DER MODELLBEGRIFF 78
3.3.5 PRAEDIKATENLOGISCHE SCHLUESSE 79
3.3.6 PRAEDIKATENLOGISCHE DEDUKTION 81
3.3.7 PRAEDIKATENLOGISCHE ADAEQUATHEIT 81
3.3.8 KLASSISCHE SYLLOGISTIK 82
3.3.9 MATHEMATISIERUNG DER FORMALEN PRAEDIKATENLOGIK: BEMERKUNGEN ZUR
AXIOMATIK . 86 3.3.10 GRENZEN DER FORMALEN PRAEDIKATENLOGIK 86
3.4 AXIOMENSYSTEME IM RAHMEN DER FORMALEN PRAEDIKATENLOGIK 87
3.4.1 STRUKTUREN, INTERPRETATIONEN UND MODELLE 87
3.4.2 DEFINITIONEN 88
3.4.3 THEOREME UND BEWEISE 90
3.5 WIDERSPRUCHSFREIHEIT UND VOLLSTAENDIGKEIT 92
3.5.1 RELATIVE (MODELLABHAENGIGE) WIDERSPRUCHSFREIHEIT UND
VOLLSTAENDIGKEIT VON AXIOMENSYSTEMEN 92 3.5.2 DEDUKTIVE
WIDERSPRUCHSFREIHEIT UND VOLLSTAENDIGKEIT VON AXIOMENSYSTEMEN 94 3.5.3
EXISTENZ UND WIDERSPRUCHSFREIHEIT 96
3.6 GRUNDBEGRIFFE DER FORMALEN KLASSENLOGIK UND RELATIONENLOGIK 97
3.6.1 EXTENSIONALE UND INTENSIONALE AUFFASSUNG VON PRAEDIKATEN 97
3.6.2 KLASSENBILDUNG 98
3.6.3 RELATIONEN UND FUNKTIONEN 99
3.6.4 GESETZE DER KLASSEN- UND RELATIONENLOGIK 99
3.6.5 ISOMORPHIE DER KLASSENALGEBRA MIT DER ALGEBRA DER PROPOSITIONEN
UND MIT DER MONADISCHEN PRAEDIKATENALGEBRA 100
3.6.6- AEQUIVALENZ DER KLASSENLOGIK MIT DER MONADISCHEN PRAEDIKATENLOGIK
101
3.6.7 MENGENLEHRE ALS MATHEMATISIERUNG DER KLASSENLOGIK 102
3.6.8 GRENZEN DER FORMALEN KLASSEN- UND RELATIONENLOGIK 103
3.7 ZUM PROBLEM DER ANTINOMIEN IM UMKREIS DER FORMALEN LOGIK 103
3.7.1 ANTINOMIEN DER KLASSENBILDUNG 104
3.7.2 ANTINOMIEN DER MODELLBILDUNG 109
3.8 MATHEMATISCHE MENGENLEHRE 112
3.8.1 FINSLER-MENGENLEHRE 113
3.8.2 CANTOR-MENGENLEHRE 118
3.8.3 DAS AUSWAHLPRINZIP 119
3.8.4 MATHEMATIK UND MENGENLEHRE 120
3.9 ZUR FORMALLOGISCHEN DARSTELLUNG DER GESETZMAESSIGKEITEN NATUERLICHER
ZAHLEN 121 3.9.1 AXIOME, PRAEDIKATE UND STRUKTUREN 121
3.9.2 DEFINITIONEN 122
3.9.3 THEOREME UND BEWEISE 123
3.10 AUSBLICK: PRINZIPIELLE GRENZEN DER FORMALEN LOGIK 126
3.10.1 SYMBOLISIERUNG UND FORMALE DARSTELLUNG 126
3.10.2 GRENZEN DER REIN FORMALEN LOGIK 127
3.10.3 GRENZENDER ANWENDUNG DER FORMALEN LOGIK 128
BIBLIOGRAPHISCHE HINWEISE 129
4 KOMMUNIKATION UND MECHANISCHE MANIPULATION 131
4.1 WARUM SYMBOLISIERUNG? 131
4.2 SYMBOLISCHE DARSTELLUNG VON ZAHLEN: ZIFFERN UND ZAHLENSYSTEME 132
4.3 EINE SPRACHE ZUR SYMBOLISCHEN DARSTELLUNG DER FORMALEN LOGIK 133
IMAGE 3
INHALT 7
4.4 SYMBOLISIERUNGEN 135
4.5 INTERPRETATIONEN UND MODELLE: SYMBOLISCHE FOLGERUNG UND
ERFUELLBARKEIT 138
4.6 SEQUENZENKALKUEL: SYMBOLISCHE ABLEITBARKEIT UND SYNTAKTISCHE
WIDERSPRUCHSFREIHEIT.... 142 4.7 SEMANTISCHE UND SYNTAKTISCHE BEGRIFFE
144
4.8 DAS ENDLICHKEITSTHEOREM 145
4.9 NICHTSTANDARDMODELLE DER ARITHMETIK: DER SATZ VON SKOLEM 147
4.10 DIE ORDNUNGSSTRUKTUR VON ABZAEHLBAREN NICHTSTANDARDMODELLEN 149
4.11 KONSTRUKTION VON NICHTSTANDARDMODELLEN 151
4.11.1 ADJUNKTIONSMETHODE 152
4.11.2 ULTRAPOTENZMETHODE 154
4.11.3 EIN UEBERGANG VON DER ADJUNKTIONSMETHODE ZUR ULTRAPOTENZMETHODE
157
4.11.4 SKOLEMS KONSTRUKTIONSMETHODE 158
4.11.5 AXIOMATIKFUR NICHTSTANDARDMODELLE 159
4.11.6 WAS SIND UND WAS SOLLEN DIE NICHTSTANDARDZAHLEN? 160
4.12 VOLLSTAENDIGKEIT 162
4.13 AUFZAEHLBARKEIT UND ENTSCHEIDBARKEIT 165
4.14 DIE GOEDELSCHEN UNVOLLSTAENDIGKEITSSAETZE 169
4.15 DAS SKOLEMSCHE PARADOXON 174
4.16 DIE SPRACHEN ERSTER STUFE IM VERGLEICH MIT SPRACHEN HOEHERER STUFE
177
4.17 ZUSAMMENFASSUNG UND DISKUSSION 179
4.18 PRINZIPIELLE GRENZEN DER SYMBOLISIERBARKEIT: DIE FINSLERSCHEN SAETZE
181
4.19 PRINZIPIELLE NICHT-SYMBOLISIERBARKEIT DER FINSLER-MENGENLEHRE 187
BIBLIOGRAPHISCHE HINWEISE 189
5 NICHTSTANDARDKONSTRUKTIONEN FUER REELLE ZAHLEN 191
5.1 ANGEORDNETE KOERPER 191
5.1.1 ARCHIMEDISCHE KOERPER UND DIE KLASSISCHE AUFFASSUNG DER REELLEN
ZAHLEN 191 5.1.2 KONSTRUKTIONEN DER REELLEN ZAHLEN 193
5.1.3 NICHTARCHIMEDISCHE KOERPER 196
5.1.4 REELL-ABGESCHLOSSENE KOERPER 197
5.2 NICHTSTANDARDERWEITERUNGEN DER REELLEN ZAHLEN 198
5.2.1 MOTIVATION 198
5.2.2 FOLGENRINGE 200
5.2.3 ULTRAPOTENZMETHODE 202
5.2.4 ADJUNKTION 204
5.2.5 STANDARD- UND NICHTSTANDARDELEMENTE, MONADEN 206
5.2.6 INTERNE MENGEN UND FUNKTIONEN, NICHTSTANDARDERWEITERUNGEN,
STETIGKEIT 209
5.3 SYMBOLISIERUNGEN 211
5.3.1 SYMBOLISIERUNG DER AXIOME DER REELLEN ZAHLEN 211
5.3.2 NICHTSTANDARDMODELLE 212
5.3.3 AXIOMATIK 213
5.3.4 THEORIE DER REELL-ABGESCHLOSSENEN KOERPER 214
5.4 AUSBLICK AUF EINIGE GRUNDBEGRIFFE DER NICHTSTANDARDANALYSIS 216
5.4.1 LIMES UND STETIGKEIT 216
5.4.2 DIFFERENTIAL 217
5.5 WAS SIND UND WAS SOLLEN REELLE NICHTSTANDARDZAHLEN? 218
BIBLIOGRAPHISCHE HINWEISE 219
IMAGE 4
8 INHALT
ANHANG 221
THORALF SKOLEM: UEBER DIE BEDEUTUNG DES SATZES VON LOEWENHEIM-SKOLEM 223
VORBEMERKUNG DES HERAUSGEBERS 223
HISTORISCHE UND SYSTEMATISCHE BEMERKUNGEN 223
ANWENDUNG DES SATZES VON LOEWENHEIM AUF DIE AXIOMATIK DER MENGENLEHRE 226
UEBER DIE NICHT-KATEGORIZITAET MATHEMATISCHER BEGRIFFE 233
DISKUSSION 237
GREGOR SCHNEIDER: NACHWORT 241
LITERATUR 255
SYMBOLREGISTER 262
SACHREGISTER 264
NAMENREGISTER 275
Im Zentrum des Buches stehen mathematische und philosophi¬
sche Untersuchungen im Umfeld der Ideen natürlicher und reel¬
ler Zahlen und ihrer Nichtstandardmodelle. Zahlen standen am
Beginn des mathematischen Denkens und bilden bis heute einen
systematischen Bezugspunkt im Aufbau und Verständnis der Ma¬
thematik. Für jede logische und philosophische Untersuchung
der Mathematik spielt die Idee der Zahl eine zentrale Rolle. Im
vorliegenden Buch wird anhand der natürlichen Zahlen, und
später der reellen Zahlen, auf Fragen im Umfeld der Unend¬
lichkeit der Zahlenreihe und der Eindeutigkeit des
axiomatisch
definierten Zahlbegriffs eingegangen, bis hin zur konkreten
Einführung von Nichtstandardzahlen. An zentraler Stelle stehen
Auseinandersetzungen um die Bedeutung und Tragweite der
klassischen formalen Logik, der Mengenlehre und der moder¬
nen symbolischen (mathematischen) Logik als Darstellungsmittel
mathematischer Zusammenhänge. Dies schliesst eine originelle
philosophische Diskussion von Paradoxien und von verschie¬
denartigen Grenzen logischer und symbolischer Darstellbarkeit
mit ein, die auch Paul Finslers Gedanken zur Grundlegung der
Mathematik einbeziehen. Im Anhang findet sich ein Nachwort
von Gregor Schneider, welches die vorliegenden Untersuchun¬
gen mit einigen modernen Tendenzen in der Philosophie der
Mathematik konfrontiert, sowie ein bisher nicht auf Deutsch er¬
schiener Aufsatz von Thoralf Skolem aus dem Jahre 1 941 über
die Grundlegung der Mengenlehre.
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