Statistik - Wahrscheinlichkeitstheorie und Schätzverfahren:
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Göttingen
Hogrefe
2013
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| Series: | Statistik / Heinz Holling
[2] Bachelorstudium Psychologie |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Über dieses Buch........................................................... 9
1.1 Zum Inhalt dieses Buches................................................... 11
1.2 Danksagung.................................................................. 13
2 Wahrscheinlichkeitsrechnung............................................. 15
2.1 Wozu wird die Wahrscheinlichkeitstheorie benötigt?....................... 17
2.1.1 Das Konzept der Wahrscheinlichkeit im Alltag und in der Wissenschaft.. 17
2.1.2 Zufall, Ergebnisse und Ereignisse: Ein einführendes Beispiel............. 19
2.2 Beschreibung von Zufallsvorgängen........................................ 21
2.2.1 Ergebnisräume............................................................... 21
2.2.2 Ereignisräume................................................................ 24
2.3 Mengenoperationen.......................................................... 25
2.4 Wahrscheinlichkeit............................................................ 29
2.4.1 Wahrscheinlichkeiten und ihre Interpretation............................... 31
2.5 Folgerungen aus den Axiomen von Kolmogorov........................... 35
2.6 Bedingte Wahrscheinlichkeiten.............................................. 38
2.7 Stochastische Unabhängigkeit.............................................. 41
2.8 Rechnen mit bedingten und unbedingten Wahrscheinlichkeiten.......... 43
2.8.1 Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit............................... 44
2.8.2 Der Satz von
Bayes
.......................................................... 46
2.9 Kombinatorik.................................................................. 51
2.10 Software....................................................................... 59
2.10.1
R
............................................................................... 59
Zusammenfassung.................................................................... 60
Zentrale Begriffe....................................................................... 61
Notation................................................................................ 64
3 Zufallsvariablen............................................................. 65
3.1 Definition von Zufallsvariablen............................................... 68
3.2 Diskrete Zufallsvariablen..................................................... 76
3.3 Stetige Zufallsvariablen und ihre Verteilungen.............................. 81
3.3.1 Wahrscheinlichkeitsverteilung einer stetigen Zufalisvariablen: Stetige
Gleichverteilung.............................................................. 86
3.3.2 Normalverteilung............................................................. 87
3.4 Quanfile von Zufallsvariablen................................................ 92
3.4.1 Quantile stetiger Zufallsvariablen............................................ 92
3.4.2 Quantile diskreter Zufallsvariablen.......................................... 94
3.5 Erwartungswert und Varianz einer Zufallsvariablen........................ 95
3.5.1 Erwartungswert einer Zufallsvariablen...................................... 96
3.5.2 Varianz einer Zufallsvariablen ............................................... 98
3.6 Erwartungswert und Varianz der Normalverteilung........................100
3.7 Erwartungswert und Varianz transformierter Zufallsvariablen.............101
3.7.1 Erwartungswert transformierter Zufallsvariablen...........................101
3.7.2 Varianz transformierter Zufallsvariablen.................................... 103
3.7.3 Standardisierung von Zufallsvariablen......................................104
3.8 Mehrdimensionale Zufallsvariablen .........................................105
3.8.1 Zweidimensionale Zufallsvariablen und deren Verteilung..................106
3.8.2 Unabhängigkeit von Zufallsvariablen........................................113
3.8.3 Berechnungsformeln für ein- und zweidimensionale Zufallsvariablen .... 114
3.8.4 Kovarianz und Korrelation von Zufallsvariablen ............................116
3.9 Rechnen mit Erwartungswerten und Varianzen von Zufallsvariablen.....118
3.9.1 Erwartungswert der Summe von Zufallsvariablen..........................118
3.9.2 Varianz der Summe von Zufallsvariablen...................................118
Zusammenfassung....................................................................122
Zentrale Begriffe.......................................................................125
Notation................................................................................128
4 Verteilungen.................................................................129
4.1 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen........................131
4.1.1 Die Binomialverteilung.......................................................131
4.1.2 Die hypergeometrische Verteilung..........................................138
4.1.3 Die geometrische Verteilung.................................................142
4.1.4 Die negative Binomiaiverteilung.............................................143
4.1.5 Die Poissonverteilung........................................................ 144
4.1.6 Die Multinomialverteilung....................................................146
4.2 Spezielle stetige Wahrscheinlichkeitsverteilungen......................... 149
4.2.1 Die stetige Gleichverteilung..................................................149
4.2.2 Die Betaverteilung............................................................150
4.2.3 Die ^-Verteilung.............................................................152
4.2.4 Zur Bedeutung der Freiheitsgrade...........................................160
4.2.5 Die ¿-Verteilung...............................................................161
4.2.6 Die F-Verteilung..............................................................165
4.2.7 Zusammenhänge zwischen der Normal-,
χ2-,
t-,
und
F-
Verteilung.......168
4.3
Software
....................................................................... 169
4.3.1
SPSS
.......................................................................... 169
4.3.2
R
............................................................................... 172
Zusammenfassung....................................................................175
Zentrale Begriffe.......................................................................175
Notation................................................................................177
5 Stichprobenverteilungen...................................................179
5.1 Stichprobenverteilung einer Statistik........................................181
5.2 Stichprobenverteilung des Mittelwerts einer normalverteilten Zufallsva¬
riablen.........................................................................183
5.3 Stichprobenverteilung des Mittelwerts nicht normalverteilter Zufallsva¬
riablen .........................................................................188
5.4 Stichprobenverteilung von Anteilswerten...................................193
5.5 Stichprobenverteilung der Varianz ..........................................198
5.6 Bootstrap-Verfahren..........................................................199
Zusammenfassung....................................................................205
Zentrale Begriffe.......................................................................206
Notation................................................................................207
6 Punktschätzung von Parametern.........................................209
6.1 Einleitendes Beispiel.........................................................211
6.2 Gütekriterien von Schätzern.................................................214
6.2.1 Erwartungstreue..............................................................215
6.2.2 Konsistenz....................................................................217
6.2.3 Effizienz.......................................................................219
6.3 Maximum-Likelihood-Schätzung ............................................221
6.3.1 Schätzung des Parameters einer Binomialverteilung......................221
6.3.2 Schätzung des Erwartungswerts einer Normalverteilung..................223
6.3.3 Rationale der Maximum-Likelihood-Schätzung.............................226
6.4 Methode der kleinsten Quadrate............................................232
6.5 Bayesianische Schätzmethoden.............................................236
6.6 Bootstrap-Verfahren..........................................................245
Zusammenfassung....................................................................245
Zentrale Begriffe.......................................................................247
Notation................................................................................249
7 intervallschätzungen.......................................................251
7.1 Konfidenzintervalle...........................................................254
7.1.1 Interpretation von Konfidenzintervalten.....................................256
7.2 Konfidenzintervalle für Erwartungswerte....................................257
7.2.1 Konfidenzintervalle für den Erwartungswert
μ
normalverteilter Varia¬
blen mit bekannter Varianz
σ2
...............................................258
7.2.2 Konfidenzintervalle für den Erwartungswert
μ
normalverteilter Varia¬
blen mit unbekannter Varianz
σ2
............................................260
7.2.3 Zufallsvariablen mit unbekannter Verteilung................................262
7.3 Konfidenzintervalle für Varianzen............................................264
7.4 Konfidenzintervalle für Anteilswerte.........................................266
7.4.1 Approximative Konfidenzintervalle für Anteilswerte........................266
7.4.2 Wilson-Konfidenzintervalle...................................................267
7.5 Konfidenzintervalle für die Regressionskoeffizienten in linearen
Modellen......................................................................270
7.6 Konfidenzintervalle für die Produkt-Moment-Korrelation...................272
7.7 Einseitige Konfidenzintervalle...............................................275
7.8 Bootstrap-Intervalle...........................................................277
7.9 Bayesianische Intervallschätzungen........................................278
7.10 Software.......................................................................281
7.10.1 SPSS..........................................................................281
7.10.2
R
...............................................................................283
Zusammenfassung....................................................................286
Zentrale Begriffe.......................................................................287
Notation................................................................................289
Anhang................................................................................291
Literatur................................................................................293
Glossar.................................................................................294
Sachregister...........................................................................304
Normalverteilungstabelle.............................................................306
Quantile der #2-Verteilung............................................................309
Quantile der t-Verteilung..............................................................313
Quantile der F-Verteilung.............................................................315
f
ie Wahrscheinlichkeitsrechnung
stellt eine
wichtige
Grundlage für die
Schätzung von statistischen Parametern dar. Daher führt das Lehrbuch
zunächst umfassend in wesentliche Konzepte der Wahrscheinlichkeitstheo¬
rie ein. Ausführlich werden Zufallsvariablen und Wahrscheinlichkeitsvertei¬
lungen erläutert. Anschließend stellt der Band die gängigsten Verfahren der
Parameterschätzung vor, zu denen u. a. die Maximum-Likelihood-Schätzung
und die immer populärer werdenden Bayes-Verfahren gehören.
Um die Darstellung der statistischen Konzepte nicht zu überfrachten, wird
in diesem Buch auf mathematische Ableitungen und Beweise weitgehend
verzichtet. Die Inhalte werden durch konsequenten Bezug auf anschauliche
Beispiele nachvollziehbar vermittelt. Zusätzlich wird das Vorgehen mit den
gängigen Statistikprogrammen SPSS und
R
beschrieben. Der Text wird an¬
hand von Kästen, Zusammenfassungen und Abbildungen strukturiert. Ver¬
tiefende Informationen stehen auf der Webseite zum Buch zur Verfügung.
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