Lesebuch Mathematik für das erste Studienjahr:
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|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2013
|
| Series: | Lehrbuch
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
| Physical Description: | XI, 328 S. graph. Darst. |
| ISBN: | 9783642347542 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeîchnïs
Vorwort..........................................................
v
Gebrauchsanleitung
...............................................
vii
1 Vom Abstand zur
Topologie
................................. 1
1.1 Metrische Räume............................................... 2
1.1.1 Beispiele für Metriken...................................... 3
1.1.2 Diskussion der Begriffsbildung .............................. 13
1.2 Stetigkeit und Grenzwerte....................................... 15
1.2.1 Stetige Funktionen......................................... 16
1.2.2 Grenzwerte............................................... 18
1.3 Vollständigkeit und Kompaktheit................................. 23
1.3.1 Vollständige metrische Räume............................... 24
1.3.2 Kompakte metrische Räume................................ 28
1.4
Topologie
..................................................... 30
1.4.1 Umgebungen.............................................. 31
1.4.2 Stetigkeit für
topologische
Räume ........................... 35
1.4.3 Offene Teilmengen......................................... 37
1.4.4 Häufungspunkte und Grenzwerte............................ 41
1.5 Offene Überdeckungen.......................................... 44
1.5.1 Quasikompakte Teilmengen................................. 45
1.5.2 Der Satz von Heine-Borel................................... 48
1.6 Zusammenfassung und Ausblick.................................. 50
2 Von der linearen Gleichung zur Geometrie................... 55
2.1 Rechenregeln.................................................. 56
2.1.1 Lineare Gleichungssysteme.................................. 58
2.1.2 Vektorräume.............................................. 68
2.1.3 Homomorphismen......................................... 72
2.2 Basis und Dimension........................................... 78
2.2.1 Linear
kombinationen
....................................... 78
2.2.2 Dimension................................................ 83
2.2.3 Anwendung auf lineare Gleichungssysteme.................... 86
2.2.4 Unendliche Dimension...................................... 89
2.3 Normern....................................................... 94
2.3.1 Motivation der Begriffsbildung.............................. 95
2.3.2 Äquivalenz von Normen.................................... 102
2.3.3 Innere Produkte........................................... 105
2.3.4 Komplexe Vektorräume .................................... 109
2.4 Zusammenfassung und Ausblick.................................. 115
3 Vom Volumen zum Integral.................................. 121
3.1 Heuristiken zur Volumenbestimmung ............................. 122
3.2 Messbare Mengen.............................................. 128
3.2.1 cr-Algebren............................................... 129
3.2.2 Äußere Maße.............................................. 135
3.2.3 p-Lebesgue-messbare Mengen............................... 141
3.3 Maße......................................................... 146
3.3.1 Lebesgue-Maße............................................ 148
3.3.2 Wahrscheinlichkeitsmaße ................................... 154
3.4 Integrale...................................................... 159
3.4.1 Messbare Funktionen ...................................... 161
3.4.2 Einfache Funktionen und ihre Integrale....................... 163
3.4.3 Integrierbare Funktionen................................... 169
3.5 Produktmaße und iterierte Integrale.............................. 176
3.5.1 Produktmaße............................................. 177
3.5.2 Iterierte Integrale.......................................... 182
3.5.3 Dominierte Konvergenz..................................... 185
3.6 Zusammenfassung und Ausblick.................................. 187
4 Von der Linearisierung zum Gleichungslösen................. 191
4.1 Linearisierung und Differenzierbarkeit............................. 192
4.1.1 Differenzierbarkeit und Ableitung............................ 194
4.1.2 Konstruktion differenzierbarer Abbildungen................... 199
4.2 Lösungsmengen nichtlinearer Gleichungen......................... 202
4.2.1 Implizite Funktionen....................................... 203
4.2.2 Anwendung des Fixpunktprinzips............................ 205
4.2.3 Lokale Parametrisierung von Lösungsmengen ................. 208
4.3 Differentialgleichungen erster Ordnung............................ 213
4.3.1 Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.......... 215
4.3.2 Der Satz von Picard-Lindelöf................................ 219
4.4 Höhere Ableitungen............................................ 220
4.4.1 Der Satz von Schwarz...................................... 222
4.4.2 Die Taylor-Entwicklung.................................... 226
4.5 Potenzreihen und analytische Funktionen.......................... 233
4.5.1 Potenzreihendarstellung von Funktionen...................... 233
4.5.2 Skalare Potenzreihen....................................... 237
4.5.3 Analytische Funktionen.................................... 241
4.5.4 Potenzreihenansatz für partielle Differentialgleichungen......... 243
4.6 Zusammenfassung und Ausblick.................................. 245
5 Von der Struktur zur Rechnung.............................. 249
5.1 Lineare Abbildungen ........................................... 250
5.1.1 Darstellende Matrizen...................................... 250
5.1.2 Matrizenmultiplikation..................................... 253
5.1.3 Eigenwerte und Eigenvektoren .............................. 257
5.2 Determinanten................................................. 261
5.2.1 Geometrische Heuristik..................................... 263
5.2.2 Permutationen und Vorzeichenwechsel........................ 265
5.2.3 Abbildungseigenschaften.................................... 273
5.3 Berechnung von Integralen...................................... 279
5.3.1 Die Transformationsformel................................. 279
5.3.2 Koordinatenberechnungen.................................. 282
5.4 Multilineare Abbildungen....................................... 288
5.4.1 Bi- und Sesquilinearformen................................. 288
5.4.2 Potenzreihen.............................................
5.5 Zusammenfassung und Ausblick..................................
A
Mengentheorie......................................... 3^3
Literaturverzeichnis ........................................
Mathematische Symbole und Index........................... 321
zeptán
des Messens
-
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Das Buch richtet sich sm Jjesei;
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vertraut
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