Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen: Anfangs- und Randwertprobleme
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Berlin [u.a.]
De Gruyter
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Inhaltsverzeichnis
Vorwort zur zweiten Auflage
v
Vorwort zur ersten Auflage vi
1 Einleitung: Beispiele und Anwendungen 1
1.1 Anfangswertprobleme. 1
1.2 Randwertprobleme . 4
1
Ein- und Mehrschrittverfahren zur numerischen Lösung von
Anfangswertaufgaben
2 Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme 12
2.1 Definition des Verfahrens . 12
2.2 Konsistenz. 17
2.2.1 Konsistenzbedingungen . 17
2.2.2 Konsistenz spezieller Verfahren . 19
2.3 Die Methode der Taylor-Entwicklung. 24
2.4 Runge-Kutta-Formeln. 27
2.5 Implizite Runge-Kutta-Formeln. 34
2.6 Konvergenz . 41
2.7 Stabilität. 45
2.8
Adaptive
Schrittweitenkontrolle . 48
2.9 Steife Differentialgleichungen. 50
2.9.1 Stabilität und Steifheit von Differentialgleichungen. 51
2.9.2 Einseitige Lipschitz-Bedingung und steife Differential¬
gleichungssysteme . 58
2.9.3 Stabilitätsbedingungen für Einschrittverfahren. 62
2.10 Unstetige Galerkin-Verfahren . 70
2.10.1 Variationelle Formulierung. 71
2.10.2 Galerkin-Approximation und Galerkin-Orthogonalität. 72
2.10.3 Fehlerabschätzungen und Schrittweitenkontrolle. 75
Inhaltsverzeichnis
3 Mehrschrittverfahren für Anfangswertaufgaben 79
3.1 Definition des Verfahrens . 79
3.2 Konsistenz von Mehrschrittverfahren . 91
3.3 Stabilität und Konvergenz.104
3.4 Charakterisierung der Lipschitz-Stabilität. Die Wurzelbedingung . 108
II
Näherungsverfahren für Randwertprobleme
4 Schießverfahren für Randwertprobleme 122
4.1 Das einfache Schießverfahren für lineare Randwertprobleme . 122
4.2 Das einfache Schießverfahren für nichtlineare Randwertprobleme . . . 128
4.3 Die Mehrzielmethode . 130
5 Differenzenverfahren für Randwertprobleme 134
5.1 Singular gestörte (gewöhnliche) Differentialgleichungen. 134
5.2 Differenzenapproximationen für lineare gewöhnliche
Differentialgleichungen zweiter Ordnung.137
5.3 Stabilität und Konvergenz mit Maximumprinzipien.140
5.4 Stabilität und Konvergenz mithilfe von Kompaktheitsmethoden .145
5.5 Differenzenapproximationen für nichtlineare Randwertprobleme . 151
6 Differenzenapproximationen für Randwertprobleme durch
Variationsmethoden 159
6.1 Variationelle Formulierung eines eindimensionalen Modellproblems . 159
6.2 Die einfachste Finite-Elemente-Methode für das Modellproblem . 163
6.3 Erste Fehlerabschätzungen . 166
6.4 Galerkin-Verfahren für nichtlineare Probleme . 176
7 Kollokationsverfahren 179
7.1 Lineare Randwertprobleme
т
-ter
Ordnung .179
7.2 Praktische Aspekte des Kollokationsverfahrens .183
8
Adaptive
Gitter für Randwertaufgaben gewöhnlicher
Differentialgleichungen 186
8.1 Differenzenapproximationen auf nichtäquidistanten Gittern. 186
8.2 Interpolationsfehlerindikatoren. 187
8.3 Residuen-Schätzer. 189
8.4 Gitterverteilungsfunktionen. 190
Inhaltsverzeichnis_xi
Ш
Anhang
A
Theorie gewöhnlicher Differentialgleichungen 197
A.l Klassifikation gewöhnlicher Differentialgleichungen.198
A.2 Existenz und Eindeutigkeit von Lösungen von Anfangswertproblemen 200
A.3 Lineare Differentialgleichungen .202
A.4 Systeme mit konstanten Koeffizienten.206
A.5 Lineare Differentialgleichungen
я
-ter
Ordnung .207
A.6 Lineare Differentialgleichungen
η
-ter
Ordnung mit konstanten
Koeffizienten.211
A.7 Lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung .214
В
Theoretische Übungsaufgaben mit Musterlösungen 220
С
Praktische Übungsaufgaben mit Musterlösungen 255
Literaturverzeichnis 283
Abbildungsverzeichnis 287
Tabellenverzeichnis 289
Index 291 |
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