Mathematik für Physiker und Ingenieure: Basiswissen für das Grundstudium 1 : mit mehr als 1400 Aufgaben und Lösungen online
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Berlin
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2013
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Inhaltsverzeichnis
1 Vektorrechnung 13
1.1 Skalare und Vektoren. 13
1.2 Addition von Vektoren. 16
1.2.1 Summe zweier Vektoren: Geometrische Addition. 16
1.3 Subtraktion von Vektoren. 17
1.3.1 Der Gegenvektor. 17
1.3.2 Differenz zweier Vektoren: Geometrische Subtraktion. 18
1.4 Das rechtwinklige Koordinatensystem . 19
1.5 Komponente und Projektion eines Vektors. 20
1.6 Komponentendarstellung im Koordinatensystem. 22
1.6.1 Ortsvektoren. 22
1.6.2 Einheitsvektoren. 23
1.6.3 Komponentendarstellung eines Vektors. 24
1.6.4 Summe zweier Vektoren in Komponentenschreibweise . 25
1.6.5 Differenz von Vektoren in Komponentenschreibweise. 27
1.7 Multiplikation eines Vektors mit einem
Skalar
. 28
1.8 Betrag eines Vektors. 29
1.9 Übungsaufgaben. 31
2 Skalarprodukt, Vektorprodukt 37
2.1 Skalarprodukt. 37
2.1.1 Sonderfälle. 40
2.1.2
Kommutatív-
und Distributivgesetz . 40
2.2 Kosinussatz. 40
2.3 Skalares Produkt in Komponentendarstellung. 41
2.4 Vektorprodukt . 42
2.4.1 Drehmoment. 42
"Die mit einem Stern (*) gekennzeichneten Abschnitte werden beim ersten Durchgang anhand
der Leitprogramme übersprungen.
6 _Inhaltsverzeichnis
2.4.2 Das Drehmoment als Vektor. 43
2.4.3 Definition des Vektorprodukts. 44
2.4.4 Sonderfalle. 45
2.4.5 Vertauschung der Reihenfolge. 46
2.4.6 Allgemeine Fassung des Hebelgesetzes. 46
2.5 Vektorprodukt in Komponentendarstellung. 47
2.6 Übungsaufgaben. 49
3 Einfache Funktionen, Trigonometrische Funktionen 53
3.1 Der mathematische Funktionsbegriff. 53
3.1.1 Der Funktionsbegriff. 53
3.2 Graphische Darstellung von Funktionen. 56
3.2.1 Ermittlung des Graphen aus der Gleichung für die Gerade . . 57
3.2.2 Bestimmung der Gleichung einer Geraden aus ihrem Graphen 59
3.2.3 Graphische Darstellung von Funktionen. 60
3.2.4 Veränderung von Funktionsgleichungen und ihrer Graphen . 62
3.3 Winkelfunktionen, Trigonometrische Funktionen . 63
3.3.1 Einheitskreis. 63
3.3.2 Sinusfunktion. 64
3.3.3 Kosinusfunktion . 71
3.3-4 Zusammenhang zwischen Kosinus- und Sinusfunktion . 72
3.3.5 Tangens, Kotangens. 73
3.3.6 Additionstheoreme,
Superposition
von Trigonometrischen Funk¬
tionen . 74
3.4 Übungsaufgaben. 78
4 Potenzen, Logarithmus, Umkehrfunktionen 82
4.1 Potenzen, Exponentialfunktion. 82
4.1.1 Potenzen . 82
4.1.2 Rechenregeln für Potenzen . 83
4.1.3 Exponentialfunktion. 84
4.2 Logarithmus, Logarithmusfunktion. 86
4.2.1 Logarithmus . 86
4.2.2 Rechenregeln für Logarithmen . 89
7
4.2.3 Logarithmusfunktion. 91
4.3 Hyperbolische Funktionen*. 92
4.4 Umkehrfunktionen,
inverse
Funktionen. 94
4.4.1 Umkehrfunktion oder
inverse
Funktion. 94
4.4.2 Umkehrfunktionen der trigonometrischen Funktionen: Arcusfunk-
tionen* . 96
4.4.3 Umkehrfunktionen der hyperbolischen Funktionen: Areafunk-
tionen* . 98
4.4.4 Logarithmusfunktion als Umkehrfunktion der Exponentialfunk¬
tion: . 99
4.5 Mittelbare Funktion, Funktion einer Funktion. 99
4.6 Übungsaufgaben. 101
Differentialrechnung 103
5.1 Folge und Grenzwert. 103
5.1.1 Die Zahlenfolge. 103
5.1.2 Grenzwert einer Zahlenfolge. 104
5.1.3 Grenzwert einer Funktion. 106
5.2 Stetigkeit. 108
5.3 Reihe und Grenzwert. 109
5.3.1 Reihe . 109
5.3.2 Geometrische Reihe. 111
5.4 Die Ableitung einer Funktion. 112
5.4.1 Die Steigung einer Geraden. 112
5.4.2 Die Steigung einer beliebigen Kurve. 112
5.4.3 Der Differentialquotient. . 114
5.4.4 Physikalische Anwendung: Die Geschwindigkeit. 115
5.4.5 Das Differential. 116
5.5 Praktische Berechnung des Differentialquotienten. 117
5.5.1 Differentiationsregeln. 117
5.5.2 Ableitung einfacher Funktionen. 119
5.5.3 Ableitung komplizierter Funktionen . 123
5.6 Höhere Ableitungen . 125
5.7
Maxima
und
Minima
. 126
8_Inhaltsverzeichnis
5.8 Differentiationsregeln, Ableitung einfacher Funktionen. 129
5.9 Tangentenvektor und Normalenvektor. 130
5.10 Übungsaufgaben. 131
6 Integralrechnung 134
6-1 Die Stammfunktion. 134
6.2 Flächenproblem und bestimmtes Integral. 136
6.3 Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung. 138
6.4 Bestimmtes Integral. 141
6.4.1 Beispiele für das bestimmte Integral. 143
6.5 Zur Technik des Integrierens. 145
6.5.1 Verifizierungsprinzip. 145
6.5.2 Stammintegrale. 146
6-5.3 Konstanter Faktor und Summe. 147
6.5.4 Integration durch Substitution. 147
6.5.5 Partielle Integration. 149
6.6 Rechenregeln für bestimmte Integrale. 150
6.7 Substitution bei bestimmten Integralen . 151
6.8 Mittelwertsatz der Integralrechnung. 153
6.9 Uneigentliche Integrale. 153
6.10 Arbeit im Gravitationsfeld. 155
6.11 Übungsaufgaben. 158
7 Taylorreihe und Potenzreihen 163
7.1 Vorbemerkung . 163
7.2 Entwicklung einer Funktion in eine Taylorreihe. 164
7.3 Gültigkeitsbereich der Taylorentwicklung (Konvergenzbereich) . 168
7.4 Das Näherungspolynom. 169
7.4.1 Abschätzung des Fehlers. 171
7.5 Allgemeine Taylorreihenentwicklung. 172
7.6 Nutzen der Taylorreihenentwicklung. 173
7.6.1 Polynome als Näherungsfunktionen. 173
7.6.2 Tabelle gebräuchlicher Näherungspolynome. 176
7.6.3 Integration über Potenzreihenentwicklung. 177
7.7 Übungsaufgaben. 179
9
8 Komplexe Zahlen 183
8.1 Definition und Eigenschaften der komplexen Zahlen . 183
8.1.1 Die imaginäre Zahl. 183
8.1.2 Komplexe Zahlen. 183
8.1.3 Anwendungsgebiete . 184
8.1.4 Rechenregeln für komplexe Zahlen. 184
8.2 Komplexe Zahlen in der Gauß'schen Zahlenebene. 186
8.2.1 Die Gauß'sche Zahlenebene. 186
8.2.2 Komplexe Zahlen in der Schreibweise mit Winkelfunktionen . 187
8.3 Die Exponentialform einer komplexen Zahl . 189
8.3.1 Eulersche Formel. 189
8.3.2 Umkehrformeln zur Eulerschen Formel. 190
8.3.3 Komplexe Zahlen als Exponenten. 190
8.3.4 Multiplikation und Division komplexer Zahlen. 193
8.3.5 Potenzieren und Wurzelziehen komplexer Zahlen. 194
8-3.6 Periodizität von
r
· eia. 195
8.4 Übungsaufgaben . 197
9 Differentialgleichungen 202
9.1 Begriff der Differentialgleichung, Einteilung der Differentialgleichungen202
9.1.1 Begriff der Differentialgleichung, Separation der Variablen . . 202
9.1.2 Einteilung der Differentialgleichungen. 203
9.2 Die allgemeine Lösung der linearen Differentialgleichung 1. und 2.
Ordnung. 206
9.2.1 Lösung homogener linearer Differentialgleichungen, der Expo-
nentialansatz. 206
9.2.2 Allgemeine Lösung der inhomogenen linearen Differentialgleichung
2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . 213
9.3 Variation der Konstanten*. 218
9.3.1 Variation der Konstanten für den Fall einer Doppelwurzel . . 218
9.3.2 Bestimmung einer speziellen Lösung der inhomogenen Differential¬
gleichung . 220
9.4 Randwertprobleme. 221
9.4.1 Randwertprobleme bei Differentialgleichungen 1. Ordnung . . 221
10 _Inhaltsverzeichnis
9.4.2 Randwertprobleme bei Differentialgleichungen 2. Ordnung . . 222
9.5 Anwendungen. 224
9.5.1 Der radioaktive Zerfall. 224
9.5.2 Der harmonische ungedämpfte Oszillator . 224
9.6 Übungsaufgaben. 233
10 Wahrscheinlichkeitsrechnung 237
10.1 Einleitung. 237
10.2 Wahrscheinlichkeitsbegriff. 238
10.2.1 Ereignis, Ergebnis, Zufallsexperiment. 238
10.2.2 Die „klassische" Definition der Wahrscheinlichkeit . 239
10.2.3 Die „statistische" Definition der Wahrscheinlichkeit. 240
10.2.4 Allgemeine Eigenschaften der Wahrscheinlichkeiten. 242
10.2.5 Wahrscheinlichkeit für Verbundereignisse . 244
10.3 Abzählmethoden. 247
10.3.1 Permutationen. 247
10.3.2 Kombinationen. 249
10.4 Übungsaufgaben. 251
11 Wahrscheinlichkeitsverteilungen 252
11.1 Diskrete und kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen . 252
11.1.1 Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen. 252
11.1.2 Kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilungen. 254
11.2 Mittelwert. 257
11.3
Binomial
Verteilung und Normalverteilung. 259
11.3.1 Eigenschaften der Normalverteilung. 261
11.3.2 Herleitung der
Binomial
Verteilung. 264
11.4 Anhang
A
. 266
11.5 Übungsaufgaben. 269
12 Fehlerrechnung 270
12.1 Aufgabe der Fehlerrechnung. 270
12.2 Mittelwert und Varianz . 271
12.2.1 Mittelwert. 271
11
12.2.2 Varianz. 271
12.2.3 Mittelwert und Varianz in Stichprobe und Grundgesamtheit . 273
12.2.4 Fehler des Mittelwerts. 275
12.3 Mittelwert und Varianz bei kontinuierlichen Verteilungen . 276
12.4 Normalverteilung. 277
12.4.1 Verteilung von Zufallsfehlern. 277
12.4.2 Vertrauensintervall oder Konfidenzintervall. 278
12.5 Gewogenes Mittel. 279
12.6 Fehlerfortpflanzungsgesetz. 280
12.7 Regressionsgerade, Korrelation. 281
12.7.1 Regressionsgerade, Ausgleichskurve. 281
12.7.2 Korrelation und Korrelationskoeffizient . 285
12.8 Übungsaufgaben. 288
Anbang 292
Grundbegriffe der Mengenlehre. 292
Funktionsbegriff . 294
Quadratische Gleichungen. 295
Der Computer als Hilfsmittel bei mathematischen Aufgaben. 296
Literatur 298
Sachwortverzeichnis 299 |
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| spelling | Weltner, Klaus 1927-2020 Verfasser (DE-588)123326095 aut Mathematik für Physiker und Ingenieure Basiswissen für das Grundstudium 1 : mit mehr als 1400 Aufgaben und Lösungen online Klaus Weltner 17. überarb. Aufl. Berlin Springer Spektrum 2013 305 S. graph. Darst. txt rdacontent n rdamedia nc rdacarrier Springer-Lehrbuch (DE-604)BV040461476 1 Erscheint auch als Online-Ausgabe 978-3-642-30085-1 X:MVB text/html http://deposit.dnb.de/cgi-bin/dokserv?id=4053001&prov=M&dok_var=1&dok_ext=htm Inhaltstext text/html http://www.springer.com/de/book/9783642300844 Ausführliche Beschreibung Digitalisierung SAB Aschaffenburg application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=025308924&sequence=000002&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Inhaltsverzeichnis |
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