Zur Entwicklung von Variablenkonzepten beim Verallgemeinern mathematischer Muster:
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IMAGE 1
INHALTSVERZEICHNIS
GELEITWORT V
DANKSAGUNG VII
ABBILDUNGSVERZEICHNIS X V
T ABELLENVERZEICHNIS XXI
VERZEICHNIS DER EPISTEMOLOGISCHEN DREIECKE XXIII
TRANSKRIPTIONSREGELN X X V
EINLEITUNG 1
1 VARIABLEN IN DER ELEMENTAREN ALGEBRA
- BEDEUTUNG UND SCHWIERIGKEITEN 7
1.1 DIE BEDEUTUNG VON VARIABLEN UND VARIABLENKONZEPTEN 7
1.1.1 VARIABLEN UND VARIABLENKONZEPTE 8
1.1.2 DIE ROLLE VON VARIABLEN IN DER ELEMENTAREN ALGEBRA 14
1.1.2.1 VARIABLEN ALS TEIL DER FORMALISIERUNG 16
1.1.2.2 VARIABLEN ALS MITTEL FUER MATHEMATISCHE TAETIGKEITEN AUF
ALLGEMEINER EBENE 19
1.2 SCHWIERIGKEITEN BEIM VARIABLENVERSTAENDNIS 2 2
1.2.1 DIE UEBERBETONUNG DES KALKUELS UND DIE FEHLENDE SINNSTIFTUNG 2 4
1.2.2 DIE VIELDEUTIGKEIT VON VARIABLEN 2 7
1.2.3 DER BRUCH ZWISCHEN ARITHMETIK UND ALGEBRA 32
1.3 WEITERFUEHRENDE FORSCHUNGSINTERESSEN 35
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IMAGE 2
X INHALTSVERZEICHNIS
2 LERNTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 3 9
2.1 BEGRIFFSENTWICKLUNG AUS KONSTRUKTIVISTISCHER PERSPEKTIVE 4 0
2.2 BEGRIFFSENTWICKLUNG AUS EPISTEMOLOGISCHER PERSPEKTIVE 44
2.2.1 DER BESONDERE CHARAKTER VON KOMMUNIKATION 4 5
2.2.2 DER BESONDERE CHARAKTER MATHEMATISCHER BEGRIFFE 4 7
2.2.3 DAS EPISTEMOLOGISCHE DREIECK 50
2.2.4 DIE ROLLE DER , ALLTAGSBEGRIFFE' IN DER BEGRIFFSENTWICKLUNG 5 5
2.3 ZUSAMMENFASSUNG 58
3 ZUR PROPAEDEUTISCHEN ENTWICKLUNG VON VARIABLENKONZEPTEN IN DER
GRUNDSCHULE 61
3.1 DIDAKTISCHE GRUNDLAGEN 61
3.1.1 DAS GENETISCHE PRINZIP 62
3.1.1.1 KOMPETENZ-, PROZESS- UND SUBJEKTORIENTIERUNG ALS GRUNDLEGENDE
SICHTWEISEN DER MATHEMATIKDIDAKTIK 63
3.1.1.2 DIE GENETISCHE SICHTWEISE A U F MATHEMATISCHE LERNPROZESSE 6 6 '
3.1.2 DAS SPIRALPRINZIP 68
3.2 ,EARLY ALGEBRA' 71
3.2.1 ALGEBRAISIERUNG DES MATHEMATIKUNTERRICHTS DER GRUNDSCHULE 72
3.2.2 UNTERSUCHUNGEN ZU ALGEBRAISCHEN KOMPETENZEN VON GRUNDSCHULKINDERN
76
3.2.3 ZUSAMMENFUHRUNG DER UEBERLEGUNGEN ZUR PROPAEDEUTISCHEN ENTWICKLUNG
VON VARIABLENKONZEPTEN 78
3.3 DIE BEDEUTUNG DER SPRACHE UND DER WORTVARIABLEN 80
3.3.1 ZUR PHYLOGENETISCHEN ENTWICKLUNG DER ALGEBRAISCHEN SPRACHE. 80
3.3.2 ZUR ONTOGENETISCHEN ENTWICKLUNG DER ALGEBRAISCHEN SPRACHE 84
3.3.3 DIE ROLLE VON QUASI-VARIABLEN 88
3.4 ZUSAMMENFASSUNG 89
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS X I
4 DAS VERALLGEMEINERN MATHEMATISCHER MUSTER 93
4.1 DAS VERALLGEMEINERN ALS LEITIDEE ZUR EINFUEHRUNG VON VARIABLEN 94
4.1.1 DIE TAETIGKEIT DES VERALLGEMEINERNS AUS ALGEBRAISCHER PERSPEKTIVE 9
4
4.1.1.1 VERALLGEMEINERN - KOGNITIVE UND SPRACHLICHE TAETIGKEIT 9 6
4.1.1.2 VERALLGEMEINERN - ALLGEMEINE UND ALGEBRAISCHE TAETIGKEIT 97
4.1.2 DER KONTEXT DES VERALLGEMEINERNS ALS ZUGANG ZUR ALGEBRA 98
4.1.2.1 UNBESTIMMTE UND VERAENDERLICHE BEIM VERALLGEMEINERN. 100
4.1.2.1 DER KONTEXT DES VERALLGEMEINERNS VOR DEM HINTERGRUND DES
SPIRALPRINZIPS 100
4.1.2.3 FOLGEN - EIN KONTEXT ZUM VERALLGEMEINERN 105
4.2 DAS VERALLGEMEINERN ALS GRUNDLEGENDE TAETIGKEIT IM
MATHEMATIKUNTERRICHT 109
4.2.1 MATHEMATIK ALS DIE WISSENSCHAFT VON DEN MUSTERN 110
4.2.2 VERALLGEMEINERN: DAS ALLGEMEINE IM BESONDEREN SEHEN UND
BESCHREIBEN J . 113
4.3 ZUSAMMENFASSUNG 116
5 FORSCHUNGSFRAGEN UND UNTERSUCHUNGSDESIGN 119
5.1 ZENTRALE FORSCHUNGSFRAGE 119
5.2 AUFBAU DER INTERVIEWSTUDIE 122
5.2.1 DAS KLINISCHE INTERVIEW ALS METHODE ZUR DATENERHEBUNG 124
5.2.2 DIE KONZEPTION DER INTERVIEWAUFGABEN 125
5.2.2.1 DAS AUFGABENFORMAT PLAETTCHENMUSTER 126
5.2.2.2 DAS AUFGABENFORMAT PARTNERZAHLEN 133
5.2.2.3 DAS AUFGABENFORMAT ZAUBERTRICK 139
5.2.3 AUSWAHL DER TEILNEHMENDEN SCHUELERSCHAFT 147
5.2.4 AUSWERTUNG DER DATEN 148
5.3 AUFFAECHERUNG DER ZENTRALEN FORSCHUNGSFRAGE 150
IMAGE 4
XII INHALTSVERZEICHNIS
6 ERGEBNISSE 153
6.1 DIE ENTWICKLUNG VON VARIABLENKONZEPTEN IM VERALLGEMEINERUNGSPROZESS
153
6.1.1 ERSTES FALLBEISPIEL: THORSTEN 154
6.1.2 ZWEITES FALLBEISPIEL: LARS 163
6.1.3 ZUSAMMENFASSUNG UND FAZIT 168
6.2 SPRACHLICHE MITTEL ZUR VERALLGEMEINERUNG MATHEMATISCHER MUSTER 169
6.2.1 VERALLGEMEINERUNGSWEISEN 170
6.2.2 ANGABE EINES BEISPIELS 172
6.2.3 AUFZAEHLUNG MEHRERER BEISPIELE 176
6.2.4 QUASI-VARIABLEN 177
6.2.5 BEDINGUNGSSAETZE 178
6.2.6 VERWENDUNG VON WOERTERN ODER ZEICHEN MIT VARIABLENCHARAKTER. 180
6.2.7 MISCHFORMEN 182
6.2.8 ZUSAMMENFASSUNG UND FAZIT 183
6.3 DER ZUSAMMENHANG VON STRUKTURIERUNG UND VERSPRACHLICHUNG 185
6.3.1 FALLBEISPIEL: KAI 186
6.3.2 ZUSAMMENFASSUNG UND FAZIT 191
6.4 DIE ROLLE DES KONTEXTES BEI DER VERALLGEMEINERUNG 193
6.4.1 VERALLGEMEINERUNGEN IM KONTEXT PLAETTCHENMUSTER 194
6.4.2 VERALLGEMEINERUNGEN IM KONTEXT PARTNERZAHLEN 196
6.4.3 VERALLGEMEINERUNGEN IM KONTEXT ZAUBERTRICK 198
6.4.4 ZUSAMMENFASSUNG U N D FAZIT 200
6.5 DIE VERALLGEMEINERUNG VON MUSTERN VERSCHIEDENER DARSTELLUNGSEBENEN
201
6.5.1 DIE LOSLOESUNG VON DER GEOMETRISCH-VISUALISIERTEN EBENE 202
6.5.2 DIE VERKNUEPFUNG VON VERSCHIEDENEN DARSTELLUNGSEBENEN 206
6.5.3 DIE STRUKTURENTWICKLUNG A U F GEOMETRISCH-VISUALISIERTER UND
ARITHMETISCHER EBENE 210
6.5.4 ZUSAMMENFASSUNG UND FAZIT 216
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS
XIII
6.6 DIE ROLLE VON EXPLIZITEN UND REKURSIVEN SICHTWEISEN BEI DER
VERALLGEMEINERUNG 216
6.6.1 EXPLIZITE UND REKURSIVE DEUTUNGEN DER FOLGEN 218
6.6.1.1 EXPLIZITE DEUTUNGEN 218
6.6.1.2 REKURSIVE DEUTUNGEN 221
6.6.1.3 DER WECHSEL ZWISCHEN DEN SICHTWEISEN ALS UMDEUTUNG DER FOLGE 224
6.6.2 PROPORTIONALITAETSANNAHME 225
6.6.3 DIE BEDEUTUNG VERSCHIEDENER MUSTERSTRUKTURIERUNGEN FUER DIE
VERALLGEMEINERUNG 232
6.6.4 ZUSAMMENFASSUNG UND FAZIT 234
6.7 DIE VERALLGEMEINERUNG VON BEZIEHUNGEN ZWISCHEN UNBESTIMMTEN ZAHLEN
235
6.7.1 OPERATIONALE UND STRUKTURELLE DEUTUNGEN DER BEZIEHUNG 236
6.7.2 EINSEITIGE UND BEIDSEITIGE DEUTUNGEN DER BEZIEHUNG 238
6.7.3 DAS EINNEHMEN VERSCHIEDENER PERSPEKTIVEN A U F DIE BEZIEHUNG
ZWISCHEN ZWEI ZAHLEN 240
6.7.4 ANFORDERUNGSBEDINGTE WECHSEL 243
6.7.5 DURCH DEN CHARAKTER DER BEZIEHUNG BEDINGTE WECHSEL 245
6.7.6 ZUSAMMENFASSUNG UND FAZIT 252
6.8 DIE DEUTUNG DER WORTVARIABLEN ,ZAHP IM KONTEXT DES VERALLGEMEINERNS
254
6.8.1 DEUTUNG DER WORTVARIABLEN ,ZAHF ALS UNBESTIMMTE UND ,ZAHL+20' ALS
NEUE UNABHAENGIGE VARIABLE 255
6.8.2 DEUTUNG DER WORTVARIABLEN ,ZAHL' ALS UNBESTIMMTE U N D ,ZAHL+20'
ALS TERM 258
6.8.3 ORIENTIERUNG AN DEN SYMBOLEN ,+20' OHNE EXPLIZITE DEUTUNG DER
WORTVARIABLEN 261
6.8.4 ZUSAMMENFASSUNG UND FAZIT 264
6.9 DIE ROLLE DER VERALLGEMEINERUNG BEIM ARGUMENTIEREN 265
6.9.1 ERSTES FALLBEISPIEL: NIKLAS 267
6.9.2 ZWEITES FALLBEISPIEL: ALI 271
IMAGE 6
X I V INHALTSVERZEICHNIS
6.9.3 ZUSAMMENFASSUNG UND FAZIT 274
7 ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK. 277
7.1 ZUSAMMENFASSUNG 278
7.2 AUSBLICK 284
7.2.1 FOLGERUNGEN UND FRAGEN FUER DIE ERFORSCHUNG VON LERNPROZESSEN UND
FUER DIE UNTERRICHTSENTWICKLUNG 284
7.2.2 FOLGERUNGEN FUER DIE PRAXIS 286
7.3 SCHLUSSBEMERKUNG 289
LITERATURVERZEICHNIS 291 |
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