Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie: das Wichtigste ausführlich für das Lehramts- und Bachelorstudium
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| Language: | German |
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Wiesbaden
Springer Spektrum
[2012]
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| Edition: | 2., überarbeitete und erweiterte Auflage |
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| Physical Description: | XII, 476 Seiten Illustrationen, Diagramme |
| ISBN: | 9783834823786 |
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| adam_text | Lernbuch Lineare Algebra
und Analytische Geometrie
Dieses Lernbuch von Gerd Fischer ist eine neuartig konzipierte Einführung in die
Lineare Algebra und Analytische Geometrie. Die Stoffauswahl ist zugeschnitten auf
die wichtigsten Lehrinhalte des Bachelorstudiums. Die Darstellung mit sehr aus-
führlichen Erläuterungen, vielen anschaulichen Beispielen und Beispielaufgaben,
die Schritt für Schritt erklärt und vollständig durchgerechnet werden, sowie zahl¬
reichen sorgfältigen Abbildungen erleichtert das Lernen und geht auf die Verständ¬
nisschwierigkeiten der Studienanfänger ein. Das Buch ist besonders auch für Stu¬
dierende des Lehramts gut geeignet. Es ist ein umfassendes Lern- und Arbeitsbuch
und kann auch zum Selbststudium und als Nachschlagewerk benutzt werden.
Der Inhalt
■ Lineare Geometrie im reellen n-dimensionalen Raum
■ Grundlagen (Mengen, Gruppen, Körper, Polynome)
■ Vektorräume, lineare Abbildungen und Matrizen
■ Determinanten
■ Eigenwerte und
Normalformen
■ Bilineare Algebra und Geometrie
Inhalt
0
Lineare Geometrie
im
и
-dimensionalen
reellen Raum 1
0.1 Der
n-dimensionale
reelle Raum .......................... 1
0.1.1 Zahlen..................................... 1
0.1.2 Der Vektorraum R .............................. 7
0.1.3 Multiplikation von Vektoren......................... 11
0.2 Geraden ........................................ 12
0.2.1 Ausblick.................................... 12
0.2.2 GeradenimR* ................................ 12
0.2.3 Geraden in der Ebene............................. 16
0.3 Abstände und Winkel................................. 20
0.3.1 Das Skalarprodukt im R .......................... 20
0.3.2 Anwendungen in der Elementargeometrie................. 22
0.3.3 WinkelimR ................................. 26
0.3.4 Senkrechte Vektoren und Abstände..................... 33
0.3.5 Die HESSEsche Normalform einer Geradengleichung.......... 35
0.3.6 Lineare Unabhängigkeit........................... 38
0.3.7 Das Vektorprodukt im R3 .......................... 41
0.3.8 Abstand von Geraden ............................ 46
0.4 Ebenen......................................... 51
0.4.1 Ebenen im R ................................. 51
0.4.2 EbenenimR3................................. 55
0.4.3 Abstand eines Punktes von einer Ebene.................. 59
0.4.4 Das Spatprodukt ............................... 61
0.5 Lineare Gleichungssysteme............................. 64
0.5.1 Zwei Geraden in der Ebene ......................... 64
0.5.2 Beschreibung durch Matrizen........................ 66
0.5.3 Koeffizientenmatrix in Zeilenstufenform.................. 67
0.5.4 Das GAUSSsche Eliminationsverfahren................... 73
0.5.5 Wahl der Pivots und Rundungsfehler ................... 77
1 Grundlagen 81
1.1 Mengen, Relationen, Abbildungen......................... 81
1.1.1 Mengen und Teilmengen........................... 81
1.1.2 Operationen mit Mengen........................... 83
1.1.3 Abbildungen.................................. 85
1.1.4 Abzählbare Mengen*............................. 89
1.1.5 Äquivalenzrelationen*............................ 93
1.2 Halbgruppen und Gruppen............................. 98
1.2.1 Die natürlichen Zahlen* ........................... 98
1.2.2 Verknüpfungen und Halbgruppen.....................103
1.2.3 Gruppen....................................105
1.2.4 Die ganzen Zahlen als additive Gruppe*..................108
1.2.5 Untergruppen und Homomorphismen...................112
1.3 Ringe und Körper...................................114
1.3.1 Die ganzen Zahlen als Ring*.........................114
1.3.2 Der Körper der rationalen Zahlen......................119
1.3.3 Dezimalbruchentwicklung rationaler Zahlen*...............126
1.3.4 Konstruktion der reellen Zahlen*......................130
1.3.5 Reelle Zahlen als Dezimalbrüche*......................138
1.3.6 Komplexe Zahlen...............................143
1.3.7 Endliche Körper*...............................149
1.3.8 Rückblick und Ausblick...........................155
1.4 Polynome*.......................................157
1.4.1 Polynome und Polynomfunktionen.....................157
1.4.2 Der Ring der Polynome............................158
1.4.3 Division mit Rest...............................160
1.4.4 Nullstellen von Polynomen.........................161
1.4.5 Eine Vorzeichenregel für reelle Polynome.................165
1.4.6 Der Fundamentalsatz der Algebra .....................167
2 Vektorräume und lineare Abbildungen 173
2.1 Grundlagen ......................................174
2.1.1 Vektorräume..................................174
2.1.2 Untervektorräume ..............................177
2.1.3 Operationen mit Untervektorräumen....................178
2.1.4 Lineare Unabhängigkeit...........................181
2.2 Basis und Dimension.................................188
2.2.1 Erzeugendensysteme und Basen ......................188
2.2.2 Dimension eines Vektorraums........................191
2.2.3 Charakterisierungen einer Basis.......................196
2.2.4 Praktische Verfahren zur Bestimmung einer Basis ............199
2.2.5 Summen und direkte Summen .......................203
2.2.6 Der Rang einer Matrix............................210
2.3
Lineare
Abbildungen.................................216
2.3.1 Definitionen und Beispiele..........................216
2.3.2 Elementare Eigenschaften linearer Abbildungen.............220
2.3.3 Spezielle lineare Abbildungen........................223
2.3.4 Eine Dimensionsformel für lineare Abbildungen.............227
2.3.5 Lineare Gleichungssysteme.........................229
2.3.6 Quotientenvektorräume*...........................234
2.4 Lineare Abbildungen und Matrizen ........................240
2.4.1 Erzeugung linearer Abbildungen......................240
2.4.2 Die darstellende Matrix einer linearen Abbildung............242
2.4.3 Multiplikation von Matrizen.........................247
2.4.4 Rechenregeln für Matrizen..........................251
2.4.5 Die allgemeine lineare Gruppe .......................255
2.4.6 Elementarmatrizen..............................257
2.4.7 Lineare Gleichungssysteme und Elementarmatrizen* ..........264
2.4.8 Die LR-Zerlegung*..............................265
2.4.9 Dualität*....................................268
2.5 Transformationen...................................271
2.5.1 Basistransformationen und Koordinatentransformationen........271
2.5.2 Transformationsformel für lineare Abbildungen.............274
2.5.3 Eine Normalform für darstellende Matrizen................276
3 Determinanten 281
3.1 Motivation.......................................281
3.1.1 Lineare Gleichungssysteme.........................281
3.1.2 Flächeninhalt und Orientierung.......................282
3.2 Berechnung von Determinanten...........................287
3.2.1 Axiome für Determinanten .........................287
3.2.2 Weitere Eigenschaften der Determinante..................290
3.2.3 Permutationen.................................298
3.2.4 Die alternierende Gruppe ..........................304
3.2.5 Existenz und Eindeutigkeit .........................305
3.3 Minoren ........................................311
3.3.1 Die komplementäre Matrix .........................311
3.3.2 LAPLACE-Entwicklung............................313
3.3.3 Die CRAMERsche Regel............................314
4 Eigenwerte 315
4.1 Grundbegriffe.....................................315
4.1.1 Eigenwerte und Eigenvektoren.......................315
4.1.2 Endomorphismen des K2 ..........................318
4.1.3 Differentialgleichungen*...........................320
4.1.4 Das charakteristische Polynom.......................325
4.2 Diagonalisierung und Trigonalisierung.......................329
4.2.1 Diagonalisierbarkeit .............................329
4.2.2 Geometrische und algebraische Vielfachheit................331
4.2.3 Rechenverfahren zur Diagonalisierung...................335
4.2.4 Trigonalisierung*...............................337
4.2.5 Zerlegung in Haupträume* .........................343
4.2.6 Nilpotente Endomorphismen*........................349
4.2.7 Die JORDANsche Normalform*.......................356
4.2.8 Gedämpfte Schwingungen*.........................358
5 Bilineare Algebra und Geometrie 363
5.1 Kegelschnitte*.....................................363
5.1.1 Die Gleichungen der ebenen Schnitte eines Kreiskegels.........363
5.1.2 Geometrische Eigenschaften der Kegelschnitte*..............366
5.1.3 Kegelschnitte durch vorgegebene Punkte*.................370
5.1.4 Pol und Polare* ................................377
5.2 Bilinearformen.....................................380
5.2.1 Definitionen und beschreibende Matrix..................380
5.2.2 Transformationsformel für darstellende Matrizen.............383
5.2.3 Entartung und Rang einer Bilinearform..................384
5.2.4 Diagonalisierung einer symmetrischen Bilinearform...........385
5.2.5 Das Trägheitsgesetz von Sylvester*....................390
5.2.6 Exkurs über affine Geometrie*........................393
5.2.7 Quadriken* ..................................396
5.3 Euklidische und
unitare
Vektorräume.......................409
5.3.1 Hermitesche Formen.............................409
5.3.2 Definitheit...................................410
5.3.3 Orthogonalität.................................418
5.3.4 QR-Zerlegung und Methode der kleinsten Quadrate*..........424
5.3.5 Orthogonale und unitäre Endomorphismen................429
5.3.6 Die Gruppe SO(3)* ..............................435
5.3.7 Selbstadjungierte Endomorphismen....................442
5.3.8 Hauptachsentransformation von Quadriken*...............447
5.3.9 Der Trägheitstensor* .............................458
5.3.10 Ausblick....................................466
Literaturverzeichnis 469
Index 471
Symbolverzeichnis 473
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| author | Fischer, Gerd 1939- |
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| spelling | Fischer, Gerd 1939- Verfasser (DE-588)128621052 aut Lernbuch Lineare Algebra und Analytische Geometrie das Wichtigste ausführlich für das Lehramts- und Bachelorstudium Gerd Fischer. Unter Mitarbeit von Florian Quiring 2., überarbeitete und erweiterte Auflage Wiesbaden Springer Spektrum [2012] © 2012 XII, 476 Seiten Illustrationen, Diagramme txt rdacontent n rdamedia nc rdacarrier Studium Lineare Algebra (DE-588)4035811-2 gnd rswk-swf Analytische Geometrie (DE-588)4001867-2 gnd rswk-swf (DE-588)4123623-3 Lehrbuch gnd-content Lineare Algebra (DE-588)4035811-2 s Analytische Geometrie (DE-588)4001867-2 s DE-604 Quiring, Florian ctb Erscheint auch als Online-Ausgabe 978-3-8348-2379-3 Vorangegangen ist 978-3-8348-0838-7 Digitalisierung UB Passau - ADAM Catalogue Enrichment application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=025214883&sequence=000003&line_number=0001&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Inhaltsverzeichnis Digitalisierung UB Passau - ADAM Catalogue Enrichment application/pdf http://bvbr.bib-bvb.de:8991/F?func=service&doc_library=BVB01&local_base=BVB01&doc_number=025214883&sequence=000004&line_number=0002&func_code=DB_RECORDS&service_type=MEDIA Klappentext |
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