Grundlagen der Ingenieurmathematik im Bachelorstudium: [120 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung]
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Aachen
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2012
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INHALTSVERZEICHNIS
1 G R U N D L A G E N 1
1.1 MENGEN U N D MATHEMATISCHE AUSSAGEN: EIN KURZER UBERBLICK 2
1.2 ZAHLEN 9
1.2.1 ZAHLENBEREICHE 9
1.2.2 KOMPLEXE ZAHLEN 12
1.3 GLEICHUNGEN U N D UNGLEICHUNGEN 15
2 ANALYSIS 2 1
2.1 FOLGEN UND REIHEN 22
2.1.1 DEFINITIONEN U N D BEGRIFFE 22
2.1.2 GRENZWERTE VON FOLGEN U N D REIHEN 24
2.2 FUNKTIONEN VON EINER VERAENDERLICHEN 25
2.2.1 DARSTELLUNGSFORMEN VON FUNKTIONEN 26
2.2.2 EIGENSCHAFTEN VON FUNKTIONEN 28
2.2.3 DIE UMKEHRFUNKTION 30
2.3 GRENZWERTE UND STETIGKEIT VON FUNKTIONEN EINER VERAENDERLICHEN 32
2.3.1 DER GRENZWERT VON F ( X ) FUER X - * X Q 32
2.3.2 DER GRENZWERT VON F ( X ) FUER X - O O 34
2.3.3 STETIGKEIT EINER FUNKTION 36
2.4 DIFFERENTIALRECHNUNG VON FUNKTIONEN EINER VERAENDERLICHEN 38
2.4.1 DIFFERENZIERBARKEIT EINER FUNKTION 38
2.4.2 EXTREMA U N D WENDEPUNKTE VON FUNKTIONEN 43
2.4.3 DIE KURVENDISKUSSION 45
2.4.4 NAEHERUNGSWEISE BESTIMMUNG VON FUNKTIONSAENDERUNGEN 46
2.4.5 DIE REGEL VON L HOSPITAL 48
2.4.6 APPROXIMATION VON FUNKTIONEN 50
2.4.7 EINIGE WICHTIGE FUNKTIONEN 53
2.5 INTEGRALRECHNUNG VON FUNKTIONEN EINER VERAENDERLICHEN 54
3 LINEARE ALGEBRA 6 7
3.1 VEKTOREN UND MATRIZEN 68
3.1.1 OPERATIONEN MIT MATRIZEN 69
3.2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 76
3.2.1 LOESEN VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 77
3.3 DETERMINANTEN 80
3
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INHALTS VERZEICHNIS
4 REIHEN U N D R E I H E N E N T W I C K L U N G VON F U N K T I O N E N
8 5
4.1 UNENDLICHE REIHEN 86
4.1.1 ZAHLENREIHEN 86
4.1.2 POTENZREIHEN 91
4.2 TAYLOR-REIHEN: POTENZREIHENENTWICKLUNG VON FUNKTIONEN 94
4.2.1 INTEGRATION DURCH REIHENENTWICKLUNG 96
4.2.2 DIE GRENZWERTREGEL VON L HOSPITAL 97
5 DIFFERENTIALRECHNUNG M I T F U N K T I O N E N M E H R E R E R
VARIABLEN 1 0 1
5.1 FUNKTIONEN VON MEHREREN VARIABLEN 102
5.1.1 DEFINITION UND BESCHREIBUNG 102
5.1.2 GRENZWERTE UND STETIGKEIT 107
5.1.3 PARTIELLE DIFFERENTIATION 109
5.1.4 DAS TOTALE DIFFERENTIAL 115
5.1.5 PARTIELLE ELASTIZITAETEN 116
5.2 EXTREMWERTAUFGABEN 118
5.2.1 EXTREMA OHNE NEBENBEDINGUNGEN 118
5.2.2 EXTREMA UNTER NEBENBEDINGUNGEN 120
6 I N T E G R A T I O N S R E C H N U N G M I T F U N K T I O N E N M E
H R E R E R VARIABLEN 1 2 9
6.1 MEHRFACHINTEGRALE 130
6.1.1 DOPPELINTEGRALE 130
6.1.2 DREIFACHINTEGRALE 137
6.2 EINE WICHTIGE ANWENDUNG DER INTEGRATION: FOURIER-TRANSFORMATIONEN
140
7 DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1 4 7
7.1 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 1. ORDNUNG 148
7.2 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG MIT KONSTANTEN
KOEFFIZIENTEN . 156 7.2.1 HOMOGENE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2.
ORDNUNG 157
7.2.2 INHOMOGENE LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 2. ORDNUNG 160
8 UE B U N G S A U F G A B E N Z U R SELBSTKONTROLLE 1 6 7
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