Erste Hilfe in Analysis: Überblick und Grundwissen mit vielen Abbildungen und Beispielen
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| Format: | Buch |
| Sprache: | German |
| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer Spektrum
2012
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| Beschreibung: | 246 S. graph. Darst. |
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|---|---|
| adam_text | Inhalt
Vorwort.............................................................5
Die Themen des Buches............................................9
Kapitel 1 : Grundlegendes........................................ 13
1. Mengen.......................................... 14
2. Umgang mit Mengen............................... 16
3. Relationen........................................ 18
4. Funktionen....................................... 20
5. Visualisierung von Funktionen........................ 22
6. Injektive, surjektive und bijektive Funktionen............ 24
7. Umgang mit Funktionen............................ 26
8. Umkehrfunktionen und Einschränkungen .............. 28
9. Bild und Urbild.................................... 30
10. Umgang mit
Quantoren
............................. 32
11. Die vollständige Induktion........................... 34
12. Das Prinzip vom kleinsten Element.................... 36
Kapitel 2: Die reellen und komplexen Zahlen.................... 37
1. Irrationale Zahlen.................................. 40
2. Algebraische und transzendente Zahlen ................ 42
3. Abzählbarkeit und Überabzählbarkeit.................. 44
4. Die Körperaxiome ................................. 46
5. Die Anordnungsaxiome ............................. 48
6. Supremum und Infimum ............................ 50
7. Die Vollständigkeit................................. 52
8. Die Dezimaldarstellung............................. 54
9. Die Intervallschachtelung............................ 56
10. Wurzeln und rationale Exponenten.................... 58
11. Komplexe Zahlen.................................. 60
12. Umgang mit komplexen Zahlen....................... 62
2
Inhak
Kapitel 3 : Folgen und Grenzwerte................................65
1. Folgen........................................... 66
2. Grenzwerte von Folgen.............................. 68
3. Monotone Folgen und Pendelfolgen................... 70
4. Die Limesregeln................................... 72
5. Cauchy-Folgen.................................... 74
6. Teilfolgen ........................................ 76
7. Häufungspunkte von Folgen ......................... 78
8. Der Satz von Bolzano-Weierstraß..................... 80
9. Limes
Superior
und Inferior ......................... 82
10. Offene Epsilon-Umgebungen........................ 84
11. Konvergenz in den komplexen Zahlen................. 86
12. Die Unendlichkeitssymbole.......................... 88
Kapitel 4: Reihen.................................................91
1. Unendliche Reihen................................. 92
2. Folgen versus Reihen............................... 94
3. Die geometrische Reihe............................. 96
4. Dezimaldarstellungen als Reihen...................... 98
5. Die harmonische Reihe ............................ 100
6. Das Cauchy-Kriterium............................. 102
7. Das Leibniz-Kriterium............................. 104
8. Absolute und bedingte Konvergenz................... 106
9. Majorantenkriterhim und Minorantenkriterium......... 108
10. Wurzelkriterium und Quotientenkr
iter
ium ............ 110
11. Produkte von Reihen .............................. 112
12. Die Exponentialreihe.............................. 114
Kapitel 5: Stetigkeit............................................. 117
1. Die Limesstetigkeit ............................... 118
2. Grenzwerte von Funktionen ........................ 120
3. Unstetigkeiten ................................... 122
4. Die Umgebungsstetigkeit........................... 124
5. Die gleichmäßige Stetigkeit......................... 126
6. Die Lipschitz-Stetigkeit............................ 128
7. Stetige Fortsetzungen.............................. 130
8. Der Zwischenwertsatz ............................. 132
9. Der Extremwertsatz von Weierstraß.................. 134
10. Die Stetigkeit der Umkehrfunktion................... 136
11. Punktweise und gleichmäßige Konvergenz............. 138
12. Potenzreihen..................................... 140
Inhalt 3
Kapitel 6: Elementare Funktionen.............................. 143
1. Polynome ....................................... 144
2. Rationale Funktionen.............................. 146
3. Die reelle Exponentialfunktion ...................... 148
4. Der natürliche Logarithmus......................... 150
5. Die allgemeine Exponentialfunktion.................. 152
6. Der allgemeine Logarithmus........................ 154
7. Die komplexe Exponentialfunktion................... 156
8. Bilder der komplexen Exponentialfunktion............. 158
9. Sinus und Kosinus ................................ 160
10. Weitere trigonometrische Funktionen ................ 162
11. Die Arkusfunktionen .............................. 164
12. Die Brücke zur Geometrie.......................... 166
Kapitel 7: Differentiation....................................... 169
1. Geraden und ihre Darstellungen..................... 170
2. Differenzen- und Differentialquotienten .............. 172
3. Lineare Approximationen .......................... 174
4. Ableitungsregeln.................................. 176
5. Stetigkeit und Differenzierbarkeit.................... 178
6. Höhere Ableitungen............................... 180
7. Der Mittelwertsatz der Differentialrechnung........... 182
8. Ableitung und Monotonie .......................... 184
9. Lokale Extremwerte............................... 186
10. Konvexität....................................... 188
11. Krümmungsverhalten.............................. 190
12. Die Taylor-Entwicklung............................ 192
Kapitel 8: Integration........................................... 195
1. Partitionen und Treppenfunktionen .................. 196
2. Das Riemann-Integral ............................. 198
3. Das Darboux-Integral ............................. 200
4. Eigenschaften des Integrals ......................... 202
5. Zum Umfang der integrierbaren Funktionen........... 204
6. Das Regelintegral................................. 206
7. Der Mittelwertsatz der Integralrechnung.............. 208
8. Der Hauptsatz ................................... 210
9. Integrationsregeln ................................ 212
10. Uneigentliche Integrale............................ 214
11. Der Vertauschungssatz............................. 216
12. Integral und Flächeninhalt.......................... 218
4 Inhalt
Zum Studium der Mathematik ...................................221
Anhänge..........................................................227
1. Junktoren ....................................... 228
2.
Quantoren
....................................... 230
3. Axiome für die reellen Zahlen ....................... 231
4. Epsilontik....................................... 232
5. Grenzwerte von Folgen und unendliche Summen ....... 234
6. Reihenentwicklungen.............................. 235
7. Ableitungen...................................... 236
8. Integrierbare Funktionen........................... 237
Literatur .........................................................239
Notationen.......................................................240
Index .............................................................242
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