Die Methode der Finiten Elemente für Ingenieure: Grundlagen, Theorie und praktische Anwendung mit dem FEM-Baukasten
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Frankfurt am Main
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2012
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IMAGE 1
INHALT 1
INHALT
1 EINFUEHRUNG 6
1.1 VORWORT 6
1.2 HINWEISE ZUM LESEN 8
1.3 SCHREIBWEISEN, BILDER 10
2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 12
2.1 LOKAL-GLOBAL TRANSFORMATION 12
2.2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 16
2.2.1 ZWISCHENELIMINIERUNG 16
2.2.2 DIREKTE LOESUNGSALGORITHMEN 18
2.2.3 ITERATIVE LOESUNGSALGORITHMEN 24
2.2.4 NUMERISCHER VERGLEICH DER EFFEKTIVITAET 26
2.2.5 BEISPIELE 27
2.3 KONSTRUKTION VON LAGRANGE'SCHEN POLYNOMEN 30
2.3.1 EINDIMENSIONALE POLYNOME 31
2.3.2 ZWEIDIMENSIONALE POLYNOME IN ORTHOGONALEN KOORDINATEN 35
2.3.3 DREIDIMENSIONALE POLYNOME IN ORTHOGONALEN KOORDINATEN 37
2.3.4 ZWEIDIMENSIONALE POLYNOME IN DREIECKKOORDINATEN 39
2.3.5 DREIDIMENSIONALE POLYNOME IN TETRAEDERKOORDINATEN 41
2.3.6 ZUSAMMENFASSUNG UND SERENDIPITY-FUNKTIONEN 42
2.4 ANGEPASSTE KOORDINATENSYSTEME 43
2.4.1 STRECKENKOORDINATEN 43
2.4.2 VIERECKKOORDINATEN 46
2.4.3 HEXAEDERKOORDINATEN 52
2.4.4 DREIECKKOORDINATEN 55
2.4.5 TETRAEDERKOORDINATEN 63
2.4.6 PENTAEDERKOORDINATEN 68
2.4.7 ZUSAMMENFASSUNG 69
2.5 NUMERISCHE INTEGRATION 70
2.5.1 EIN- UND MEHRDIMENSIONALE INTEGRATIONSBEREICHE 70
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IMAGE 2
2 INHALT
2.5.2 DREIECKIGER INTEGRATIONSBEREICH 73
2.5.3 TETRAEDER INTEGRATIONSBEREICH 75
3 GRUNDLAGEN DER TECHNISCHEN MECHANIK 76
3.1 EINTEILUNG DER TRAGWERKE 76
3.2 VERSCHIEBUNGS-VERZERRUNGS-BEZIEHUNG, MATERIALGESETZ UND
GLEICHGEWICHT. 83
3.3 DAS GEBIET UND DER RAND EINES TRAGWERKS, RANDBEDINGUNGEN 83
3.4 KOORDINATENSYSTEME, VORZEICHENREGELN UND INDIZES 86
3.5 VERZERRUNGEN 89
3.5.1 DER EINACHSIGE VERZERRUNGSZUSTAND 90
3.5.2 DER ZWEIACHSIGE VERZERRUNGSZUSTAND 91
3.5.3 DER DREIACHSIGE VERZERRUNGSZUSTAND 93
3.6 SPANNUNGEN 94
3.6.1 DER EINACHSIGE SPANNUNGSZUSTAND 95
3.6.2 DER ZWEIACHSIGE SPANNUNGSZUSTAND 98
3.6.3 DER DREIACHSIGE SPANNUNGSZUSTAND 102
3.6.4 VERGLEICHSSPANNUNGEN 103
3.7 DAS ELASTISCHE MATERIALGESETZ 103
3.7.1 DAS EINACHSIGE MATERIALGESETZ 104
3.7.2 DAS ZWEIACHSIGE MATERIALGESETZ 104
3.7.3 DAS DREIACHSIGE MATERIALGESETZ 106
3.8 TRAGWERKE MIT REINEN VERSCHIEBUNGSFREIHEITSGRADEN 107
3.8.1 STAB 107
3.8.2 DIE SCHEIBE 116
3.8.3 DAS VOLUMEN 122
3.8.4 ZUSAMMENFASSUNG 127
3.9 TRAGWERKE MIT VERSCHIEBUNGS- UND VERDREHUNGSFREIHEITSGRADEN 129
3.9.1 DER SCHUBSTARRE BALKEN 129
3.9.2 DER SCHUBWEICHE BALKEN 139
3.9.3 DIE SCHUBSTARRE PLATTE 144
3.9.4 DIE SCHUBWEICHE PLATTE 149
3.9.5 ZUSAMMENFASSUNG 152
IMAGE 3
INHALT 3
3.10 DIE DISKRETISIERUNG DER TRAGWERKE 154
3.11 GRENZEN EINER LINEAREN THEORIE 155
3.11.1 VERSCHIEBUNGS-VERZERRUNGS-BEZIEHUNGEN 156
3.11.2 MATERIALGESETZ 159
3.11.3 GLEICHGEWICHTSBEDINGUNGEN 162
3.11.4 FOLGERUNGEN 165
4 GRUNDZUEGE EINER FEM-BERECHNUNG 166
4.1 1 SCHRITT: ZERLEGUNG DES TRAGWERKS IN FINITE ELEMENTE 167
4.2 2. SCHRITT: DIE BEHANDLUNG DES EINZELNEN ELEMENTS 169
4.3 3. SCHRITT: UEBERGANGSBEDINGUNGEN 172
4.4 4. SCHRITT: KNOTENGLEICHGEWICHT UND TRAGWERKSVERSCHIEBUNGEN 179
4.5 5. SCHRITT: ELEMENTVERSCHIEBUNGEN, SCHNITTKRAEFTE UND LAGERKRAEFTE 179
4.6 UEBERLEGUNGEN ZUR ELEMENTSTEIFIGKEITSMATRIX 180
4.7 UEBERLEGUNGEN ZUR TRAGWERKSSTEIFIGKEITSMATRIX 182
4.8 EFFEKTIVE SPEICHERFORM DER TRAGWERKSSTEIFIGKEITSMATRIX 183
4.9 BEISPIEL 186
5 FINITE ELEMENTE MIT VERSCHIEBUNGSFREIHEITSGRADEN 192
5.1 STABELEMENTE 193
5.1.1 STABELEMENT MIT 2 KNOTEN, LOESUNG DER DIFFERENTIALGLEICHUNG 193
5.1.2 STABELEMENT MIT 2 KNOTEN, ANWENDUNG DES P.D.V.V 199
5.1.3 STABELEMENT MIT 3 BZW. 4 KNOTEN 203
5.1.4 STABELEMENT MIT NICHT KONSTANTEM QUERSCHNITT 208
5.2 FEDERELEMENTE 212
5.2.1 FEDERELEMENT ALS RICHTUNGSFEDER 212
5.2.2 FEDERELEMENT ALS FREIHEITSGRADFEDER 213
5.3 EIN ALLGEMEINES PARAMETRISIERTES ELEMENT 215
5.4 SCHEIBENELEMENTE 225
5.4.1 DREIECKELEMENT MIT 3 KNOTEN 226
5.4.2 DREIECKELEMENT MIT 6 KNOTEN 231
5.4.3 VIERECKELEMENT MIT 4 KNOTEN 234
5.4.4 VIERECKELEMENT MIT 8 KNOTEN 237
IMAGE 4
4 INHALT
5.5 VOLUMENELEMENTE 239
5.5.1 HEXAEDERELEMENT MIT 8 KNOTEN 240
5.5.2 HEXAEDERELEMENT MIT 20 KNOTEN 242
5.5.3 TETRAEDERELEMENT MIT 4 KNOTEN 243
5.5.4 TERAEDERELEMENT MIT 10 KNOTEN 244
5.5.5 PENTAEDERELEMENTE MIT 6 UND 15 KNOTEN 245
6 FINITE ELEMENTE MIT VERSCHIEBUNGS- UND VERDREHUNGSFREIHEITSGRADEN 246
6.1 SCHUBSTARRE BALKEN-ELEMENTE 247
6.1.1 BALKENELEMENT, LOESUNG DER DIFFERENTIALGLEICHUNG 247
6.1.2 BALKENELEMENT, ANWENDUNG DES P.D.V.V 252
6.1.3 BALKENELEMENTE MIT GELENKEN, LOESUNG DER DIFFERENTIALGLEICHUNG 256
6.1.4 BALKENELEMENT MIT GELENKEN, ZWISCHENELIMINIERUNG 260
6.1.5 BALKENELEMENT MIT NICHT KONSTANTEM QUERSCHNITT 262
6.2 SCHUBWEICHE BALKENELEMENTE 268
6.2.1 BALKENELEMENT, LOESUNG DER DIFFERENTIALGLEICHUNG 268
6.2.2 BALKENELEMENT, ANWENDUNG DES P.D.V.V 275
6.2.3 BALKENELEMENTE MIT GELENKEN, LOESUNG DER DGL 276
6.3 SCHUBSTARRE PLATTENELEMENTE 278
6.3.1 EIN INKOMPATIBLES 3-KNOTEN-ELEMENT 280
6.3.2 DAS DKT 3-KNOTEN-ELEMENT 284
6.4 SCHUBWEICHE PLATTENELEMENTE 287
6.4.1 DAS MINDLIN 6-KNOTEN-ELEMENT 288
6.4.2 DAS MINDLIN 8-KNOTEN-ELEMENT 291
7 LASTEN 295
7.1 EINZELLASTEN 295
7.2 LINIENLASTEN FUER STAEBE, SCHEIBEN UND VOLUMEN 298
7.3 FLAECHENLASTEN FUER SCHEIBEN UND VOLUMEN 301
8 BESONDERHEITEN 302
8.1 SYMMETRIE UND ANTIMETRIE 302
8.2 SCHIEFE RANDBEDINGUNGEN 310
8.3 FEHLERSUCHE, MODELLQUALITAET 317
IMAGE 5
INHALT 5
9 NETZGENERIERUNG 322
9.1 TRIANGULIERUNG VON PUNKTMENGEN 324
9.2 RAND UND RANDKNOTEN 327
9.3 INNENKNOTEN 328
9.3.1 EINFLUSSBEREICHE VON RANDKURVEN 330
9.3.2 ERWEITERTE EINFLUSSBEREICHE 332
9.3.3 EINFLUSSBEREICHE VON STEUERKURVEN 334
9.4 GEOMETRISCHE OPTIMIERUNG VON NETZEN 335
9.5 BANDBREITENOPTIMIERUNG VON NETZEN 339
10 ANWENDUNGSBEISPIELE 346
10.1 DIE NECKARBRUECKE BEI WERNAU 346
10.2 HALLE IN STAHLBAUWEISE 348
10.3 DECKENPLATTE MIT DURCHBRUCH 350
10.4 FASSADENKONSTRUKTION 352
10.5 UMLENKHEBEL 353
10.6 BILDROEHRE 356
10.7 ZAHNRAD 357
11 TESTBEISPIELE 359
11.1 SCHUBSTARRE BALKEN MIT KONSTANTEM QUERSCHNITT 360
11.2 STAEBE UND SCHUBSTARRE BALKEN MIT VERAENDERLICHEM QUERSCHNITT 362
11.3 SCHUBWEICHE BALKEN 366
11.4 SCHEIBEN 367
11.5 PLATTEN 375
11.5.1 DAS DKT-ELEMENT 377
11.5.2 DAS MINDLIN-ELEMENT MIT 6 KNOTEN 379
11.5.3 DAS MINDLIN-ELEMENT MIT 8 KNOTEN 381
11.5.4 GEGENUEBERSTELLUNGEN 385
11.6 VOLUMEN 387
LITERATURVERZEICHNIS 391
INDEX 396 |
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