Mathematik für die ersten Semester:
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Sprache: | German |
Veröffentlicht: |
München
Oldenbourg
2011
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IMAGE 1
INHALTSVERZEICHNIS
I GRUNDLAGEN 1
2
3 3.1
LOGIK 3
MENGEN 7
RELATIONEN 15
ABBILDUNGEN 18
11
4 4.1 4.2 4.3
5 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6
ARITHMETIK 23
DIE NATUERLICHEN ZAHLEN 25
DAS PRINZIP DER VOLLSTAENDIGEN INDUKTION 25
DER BINOMISCHE SATZ 26
PRIMZAHLEN 29
ERWEITERUNGEN DER ZAHLENMENGE 31
DIE GANZEN ZAHLEN 31
GRUPPE 33
DIE RATIONALEN ZAHLEN 34
KOERPER 35
DIE REELLEN ZAHLEN 36
DIE KOMPLEXEN ZAHLEN 37
111 ELEMENTARE GEOMETRIE 43
6 EBENE GEOMETRIE 45
7 TRIGONOMETRIE 51
8 VEKTOREN 55
8.1 VEKTORADDITION 56
8.2 SKALARMULTIPLIKATION 57
8.3 EINHEITSVEKTOR 58
8.4 SKALARPRODUKT 59
8.5 KREUZPRODUKT 62
8.6 PARALLELVERSCHIEBUNG 63
8.7 POLARKOORDINATEN 64
8.8 VEKTORRAURN 65
IMAGE 2
X INHALTSVERZEICHNIS
9 GEOMETRIE DES 1R 3 69
9.1 GERADENGLEICHUNGEN 69
9.2 ABSTAND EINES PUNKTES VON EINER GERADEN 71
9.3 EBENENGLEICHUNGEN . 73
9.4 REGULAERE POLYEDER . 74
9.5 ORTHONORMALBASIS . 74
IV LINEARE ALGEBRA 79
10 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 81
10.1 DARSTELLUNG VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 83
10.2 ELEMENTAROPERATIONEN 83
10.3 GAUSSSCHES ELIMINATIONSVERFAHREN 84
11 MATRIZEN 89
11.1 ADDITION UND MULTIPLIKATION VON MATRIZEN 89
11.2 DIE TRANSPONIERTE MATRIX 91
11.3 ELEMENTARMATRIZEN 92
11.4 INVERSION VON MATRIZEN 93
11.5 DAS MATRIXINVERSIONSVERFAHREN 95
12 DETERMINANTEN 99
12.1 SAETZE UEBER DETERMINANTEN 101
12.2 BERECHNUNG VON DETERMINANTEN 103
12.3 DIE ADJUNGIERTE MATRIX 107
12.4 DIE CRAMERSCHE REGEL 109
13 TRANSFORMATIONEN MIT MATRIZEN 113
13.1 DREHUNGEN 114
13.2 STRECKUNG UND SPIEGELUNGEN 117
13.3 ORTHOGONALE MATRIZEN 118
13.4 LOESUNGSMENGEN IRREGULAERER LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 120
14 ITERATIVE LOESUNG VON LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMEN 127
14.1 DAS VERFAHREN NACH GAUSS UND SEIDEL. 127
14.2 STABILITAET. 128
V ALGEBRA UND GEOMETRIE 129
15 POLYNOME 131
15.1 GESCHLOSSENE LOESUNGSVERFAHREN 135
15.2 APPROXIMATION DER NULLSTELLEN 138
16 ZWEIDIMENSIONALE QUADRATISCHE FORMEN 143
16.1 ALLGEMEINE GLEICHUNGEN ZWEITEN GRADES 146
16.2 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 149
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS
XI
VI
19
20
21
22
VII
17 17.1 17.2 17.3 17.4 17.5 17.6
18 18.1
DIE KEGELSCHNITTE 151
DIE ELLIPSE 151
DIE PARABEL. 158
DIE HYPERBEL 160
TANGENTEN UND POLAREN DER KEGELSCHNITTE 166
VERGLEICH DER KEGELSCHNITTE 169
BEGRUENDUNG DER BEZEICHNUNG "KEGELSCHNITT" 169
SPHAERISCHE GEOMETRIE 177
SPHAERISCHE TRIGONOMETRIE 180
INFINITESIMALRECHNUNG 183
FOLGEN 185
REIHEN 193
STETIGE FUNKTIONEN 199
FUNKTIONENFOLGEN UND FUNKTIONENREIHEN 201
DIFFERENTIALRECHNUNG 205
23 DER DIFFERENTIALQUOTIENT 207
23.1 ABLEITUNGEN EINFACHER FUNKTIONEN 208
23.2 ABLEITUNGSREGELN 210
24 DIE EXPONENTIALFUNKTION 215
24.1 DER NATUERLICHE LOGARITHMUS 218
24.2 GRENZWERTE 219
24.3 IRRATIONALITAET DER BASIS DER NATUERLICHEN LOGARITHMEN 221
24.4 DIE ALLGEMEINE POTENZ 221
24.5 LOGARITHMISCHES DIFFERENZIEREN 222
25 DIE WINKELFUNKTIONEN 225
25.1 DIE KREISBOGENFUNKTIONEN 226
25.2 DIE HYPERBELFUNKTIONEN 228
26 KURVENDISKUSSION 233
26.1 BEISPIEL EINER KURVENDISKUSSION . 234
27 APPROXIMATION VON FUNKTIONEN 237
27.1 DER ALLGEMEINE BINOMISCHE SATZ . 237
27.2 FOURIER-ANALYSE 240
27.3 DIE TAYLOR-REIHE 242
28 FUNKTIONEN MEHRERER VARIABLEN 249
28.1 PARTIELLE DIFFERENTIATION 249
28.2 DAS TOTALE DIFFERENTIAL 251
28.3 IMPLIZITE DIFFERENTIATION 252
IMAGE 4
XII INHALTSVERZEICHNIS
VIII INTEGRALRECHNUNG 255
29 DAS INTEGRAL 257
30 INTEGRATIONSMETHODEN 261
30.1 DIREKTE INTEGRATION 261
30.2 INTEGRATION MITTELS SUBSTITUTION 262
30.3 PARTIELLE INTEGRATION 263
30.4 LOGARITHMISCHE INTEGRATION 265
30.5 PARTIALBRUCHZERLEGUNG 266
30.6 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 269
31 KURVENLAENGE UND KURVENKRUEMMUNG 273
32 MEHRFACHINTEGRALE 275
32.1 ROTATIONSKOERPER 276
33 INTEGRALTRANSFORMATIONEN 279
33.1 BEWEIS DER GLEICHUNGEN FUER DIE FOURIER-KOEFFIZIENTEN 279
33.2 FOURIER-TRANSFORMATION 280
33.3 ETWAS FUNKTIONENTHEORIE 282
33.4 LAPLACE-TRANSFORMATION 284
33.5 RECHENREGELN FUER DIE LAPLACE- TRANSFORMATION 287
IX VEKTORANALYSIS 291
34 DIFFERENTIATION VON FELDERN 293
34.1 VEKTORALGEBRA 293
34.2 DIFFERENTIATION EINES VEKTORFELDES NACH EINEM SKALAR 294
34.3 RAEUMLICHE DIFFERENTIATION EINES FELDES 295
34.4 MEHRFACHE DIFFERENTIATION EINES FELDES 298
34.5 DER LAPLACE-OPERATOR IN POLARKOORDINATEN 299
35 INTEGRALSAETZE 303
35.1 DER SATZ VON GAUSS 304
35.2 GREENSEHE SAETZE 306
35.3 DER SATZ VON STOKES . 307
X DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 311
36 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 313
36.1 HOMOGENE LINEARE DGL MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 314
36.2 LINEARE DGL MIT STOERFUNKTION .315
36.3 TRENNUNG DER VARIABLEN . 316
36.4 LOESEN VON DGL MIT DER LAPLACE- TRANSFORMATION .316
LITERATUR 319
STICHWORTVERZEICHNIS 323 |
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