Mathematisch für Anfänger: Beiträge zum Studienbeginn von Matroids Matheplanet
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Heidelberg, Neckar
Spektrum Akad. Verl.
2011
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INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT
V
I BEWEISE UND BEWEISTECHNIK 1
1
WAS IS
T MATHEMATIK
?
3
1.1 AUSGEWAEHLTE ANTWORTEN 4
1.2 ZUSAMMENFASSUNG 7
1.3 EMPFEHLENSWERTE BUECHER 8
2 MATHEMATISC
H FUER ANFAENGER
11
2.1 LEKTION 1: VOM WORT ZUM SATZ 12
2.2 LEKTION 2: UNIVERSELLES VOKABULAR 17
2.3 LEKTION 3: PRAEDIKATE 18
2.4 LEKTION 4. KONJUNKTIONEN (UEBERLEITUNGEN) 20
2.5 LEKTION 5: SCHLUSSWORTE, SCHLUSSPUNKTE 22
3
BEWEISE
,
IMME
R
NUR BEWEIS
E
23
3.1 BEWEISEN LERNEN 23
3.2 DER ZWECK DER UEBUNGEN 24
3.3 UNTERSCHEIDE WAHR UND FALSCH 24
3.4 EINIGE GEBOTE UND VERBOTE 24
3.5 MATHEMATIK IST STRUKTUR 25
3.6 MATHEMATIK FUER UND DURCH DIE PRAXIS 26
3.7 UND WIE LERNT MAN BEWEISEN? 26
4 DI
E BEWEISVERFAHRE
N
27
4.1 DER DIREKTE BEWEIS 27
4.1.1 EINFACHE ZAHLENTHEORIE 27
4.1.2 AUSSAGENLOGIK 29
4.1.3 GESETZE DER AUSSAGENLOGIK 31
4.1.4 MENGENLEHRE 32
4.1.5 FAKULTAET UND BINOMIALKOEFFIZIENT 33
4.2 DER INDIREKTE BEWEIS 35
4.2.1 WURZEL AUS 2 IST NICHT RATIONAL 35
4.2.2 ES GIBT UNENDLICH VIELE PRIMZAHLEN 36
4.3 DER KONSTRUKTIVE BEWEIS 37
4.3.1 NULLSTELLE EINER FUNKTION 37
5 DA
S PRINZI
P DER VOLLSTAENDIGE
N INDUKTIO
N
39
5.1 WER HAT DIE VOLLSTAENDIGE INDUKTION ERFUNDEN? 40
5.2 IST INDUKTION NUR FUER FOLGEN UND REIHEN? 41
5.3 WIE FUNKTIONIERT DIE VOLLSTAENDIGE INDUKTION? 41
5.4 KANN MAN SICH AUF DIE VOLLSTAENDIGE INDUKTION VERLASSEN? 43
5.5 KANN MAN WIRKLICH DEN INDUKTIONSSCHLUSS UNENDLICH OFT ANWENDEN? .
. 44
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN
HTTP://D-NB.INFO/1012864073
DIGITALISIERT DURCH
XI
I INHALTSVERZEICHNIS
5.6 KANN MAN INDUKTION IMMER ANWENDEN? 45
5.7 INDUKTION IST NICHT GEEIGNET, WENN 46
5.8 WAS IST SCHWER AN DER VOLLSTAENDIGEN INDUKTION? 47
5.9 ANWENDUNGEN DER VOLLSTAENDIGEN INDUKTION 47
5.9.1 GEOMETRIE 47
5.9.2 MENGENLEHRE 49
5.9.3 BINOMIALKOEFFIZIENTEN 50
5.9.4 GEOMETRISCHES UND ARITHMETISCHES MITTEL 52
5.9.5 SUMMENFORMELN 53
5.9.6 ABSCHAETZUNGEN 56
5.9.7 TEILBARKEIT 57
5.9.8 ZAHLENTHEORIE 58
5.9.9 REKURSIV DEFINIERTE FOLGEN 59
5.9.10 EINDEUTIGKEITSBEWEIS 60
5.10 ZUM SCHLUSS 61
6 DE
R UNENDLICH
E ABSTIE
G
63
6.1 EINFUEHRUNG 63
6.2 \/
2 IST IRRATIONAL 64
6.2.1 DAS UEBLICHE VERFAHREN 64
6.2.2
\/2
IST IRRATIONAL MIT UNENDLICHEM ABSTIEG 64
6.3 DISKUSSION DER METHODE 66
6.3.1 IST AUCH
Y/9
IRRATIONAL? 66
6.3.2 IST DIE WURZEL AUS 5 IRRATIONAL? 67
6.3.3 DIE WURZEL EINER NICHT-QUADRATZAHL IST IRRATIONAL 67
6.4 INKOMMENSURABLE LAENGEN IM FUENFECK 67
7 UEBE
R DA
S AUSWAHLAXIO
M
69
7.1 DAS AUSWAHLPROBLEM 69
7.2 DAS AUSWAHLAXIOM 70
7.3 WOHLORDNUNG 71
7.4 LEMMA VON ZORN 72
7.5 AEQUIVALENZ DER AUSSAGEN 74
8 DA
S KUGELWUNDE
R
79
8.1 EINLEITUNG 79
8.2 DIE FREIE GRUPPE MIT ZWEI ERZEUGERN 80
8.3 PARADOXE ZERLEGUNG EINER LOECHRIGEN SPHAERE 85
8.4 VON DER LOECHRIGEN SPHAERE ZUR VOLLKUGEL 89
8.5 ABSCHLUSS 93
I
I LINEAR
E ALGEBR
A 95
9 LINEAR
E ALGEBR
A FUER ABSOLUT
E ANFAENGE
R
97
9.1 EINFUEHRUNG 97
INHALTSVERZEICHNIS XII
I
9.2 VEKTORRAEUME 98
9.3 UNTERVEKTORRAEUME 103
9.4 LINEARE UNABHAENGIGKEIT 107
9.5 SCHLUSS 109
10
LINEARE GLEICHUNGSSYSTEM
E
111
10.1 EINFUEHRUNG 111
10.2 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME: WAS IST DAS? 111
10.2.1 EINFUEHRENDES BEISPIEL 111
10.2.2 DEFINITIONEN 113
10.2.3 DARSTELLUNG MIT MATRIZEN 114
10.3 LOESUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 115
10.3.1 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS 115
10.3.2 BEISPIEL 1: EINDEUTIGE LOESUNG 119
10.3.3 BEISPIEL 2: KEINE LOESUNG 122
10.3.4 BEISPIEL 3: UNENDLICH VIELE LOESUNGEN 123
10.4 RANGBESTIMMUNG EINER MATRIX 127
11 LINEARE ABBILDUNGE
N UND IHRE DARSTELLENDE
N MATRIZE
N
129
11.1 EINFUEHRUNG 129
11.2 LINEARE ABBILDUNGEN 130
11.3 BILD UND KERN EINER LINEAREN ABBILDUNG 131
11.4 DIMENSIONSFORMEL UND WEITERE EIGENSCHAFTEN 133
11.5 LINEARE ABBILDUNG AM BEISPIEL 134
11.6 DARSTELLUNGEN LINEARER ABBILDUNGEN AM BEISPIEL 135
11.7 DARSTELLUNGSMATRIZEN LINEARER ABBILDUNGEN 136
11.8 BERECHNUNG EINER DARSTELLUNGSMATRIX AM BEISPIEL 138
11.9 ABBILDEN MIT EINER DARSTELLENDEN MATRIX 141
11.10 BEISPIEL ZUM BASISWECHSEL 142
12
DETERMINANTE
N
145
12.1 EINFUEHRUNG 145
12.2 DETERMINANTE: WAS IST DAS? 146
12.3 SPEZIALFAELLE 147
12.3.1 DER FALL
N
= 1 147
12.3.2 DER FALL
N
= 2 148
12.3.3 DER FALL N = 3 151
12.4 DER ALLGEMEINE FALL 154
12.5 PRAKTISCHE BERECHNUNG VON DETERMINANTEN 159
12.5.1 DER GAUSSSCHE ALGORITHMUS 159
12.5.2 DIE LAPLACESCHE ENTWICKLUNGSFORMEL 161
13 DIAGONALISIE
R BARKEIT
163
13.1 EINFUEHRUNG 163
13.2 DIAGONALISIERBARKEIT: WAS IST DAS? 163
XIV
INHALTSVERZEICHNIS
13.3 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 165
13.4 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN AM BEISPIEL 169
13.5 DIAGONALISIERBARKEITSKRITERIEN 171
13.6 EINE PRAKTISCHE ANWENDUNG 174
II
I ANALYSI
S 177
1
4 DI
E STANDARDLOESUNGSVERFAHRE
N FUER POLYNOMGLEICHUNGE
N
179
14.1 LINEARE GLEICHUNGEN 179
14.2 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 180
14.3 GLEICHUNGEN DRITTE
N UND VIERTEN GRADES 182
14.4 WEITERE LOESUNGSVERFAHREN FUER SPEZIALFAELLE 182
14.4.1 N-T
E WURZELN 182
14.4.2 BIQUADRATISCHE GLEICHUNG 183
14.4.3 ANDERE DURCH SUBSTITUTION LOESBARE GLEICHUNGEN 184
14.4.4 EIN SPEZIALFALL DES WURZELZIEHENS 184
14.4.5 BINOM-GLEICHUNGEN 185
14.4.6 GRADREDUZIERUNG DURCH AUSKLAMMERN 186
14.4.7 GRADREDUZIERUNG DURCH POLYNOMDIVISION 186
14.5 SELTENE LOESUNGSMETHODEN UND APPROXIMATIONEN 188
14.5.1 METHODE DES QUADRAT-EXTREMS 188
14.5.2 DIE NEWTON-ITERATION 188
14.5.3 REGULA FALSI 190
14.5.4 DAS ALLSEITS BELIEBTE RATE
N 191
14.5.5 DAS YYHOEHERE RATEN
" 193
14.5.6 SYMMETRISCHE KOEFFIZIENTEN 194
14.6 ABSCHLUSS 195
15 DIFFERENTIALGLEICHUNGE
N
197
15.1 EINFUEHRUNG 197
15.2 KLASSIFIKATION VOR DER LOESUNG 198
15.3 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 199
15.3.1 EINFACHSTES BEISPIEL 199
15.3.2 HOMOGENE GLEICHUNG 200
15.3.3 INHOMOGENE GLEICHUNG 200
15.4 DIE PROBE MACHEN 202
15.5 NICHTLINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 203
15.5.1 TRENNUNG DER VERAENDERLICHEN 203
15.5.2 SUBSTITUTION 205
15.5.3 BERNOULLI-DIFFERENTIALGLEICHUNG 207
15.5.4 RICCATI-DIFFERENTIALGLEICHUNG 208
15.5.5 EXAKTE DIFFERENTIALGLEICHUNG 210
15.5.6 INTEGRIERENDER FAKTOR (EULERSCHER MULTIPLIKATOR) 213
INHALTSVERZEICHNIS XV
15.5.7 PARAMETRISIERUNG 215
15.5.8 CLAIRAUT-DIFFERENTIALGLEICHUNG 217
15.5.9 D'ALEMBERT-DIFFERENTIALGLEICHUNG 218
15.6 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN HOEHERER ORDNUNG 219
15.6.1 KONSTANTE KOEFFIZIENTEN 219
15.6.2 EULERSCHE DIFFERENTIALGLEICHUNG 224
16 DI
E BEZIEHUNGE
N VO
N SINUS UND COSINU
S
227
16.1 ADDITIONSTHEOREME 227
16.2 MULTIPLIKATIONSTHEOREME 231
16.3 THEOREME ZU DOPPELTEN UND HALBEN WINKELN 233
16.4 THEOREME MIT ARCUS-FUNKTIONEN 235
16.5 ALTERNATIVE HERLEITUNGEN MIT KOMPLEXEN ZAHLEN 236
16.5.1 ADDITIONSTHEOREME 236
16.5.2 WEITERE BEZIEHUNGEN 237
17 DOPPELINTEGRAL
E
239
17.1 EINFUEHRUNG 239
17.2 DOPPELINTEGRAL UEBER EINEM RECHTECK 240
17.3 DOPPELINTEGRAL UEBER EINEM ALLGEMEINEREN BEREICH 244
17.4 EIGENSCHAFTEN UND MITTELWERTSAETZE 248
17.5 KOORDINATENTRANSFORMATION 250
17.6 POLARKOORDINATEN 253
18 KURVENINTEGRAL
E
257
18.1 BEGRIFFE UND DEFINITIONEN 257
18.2 KURVENLAENGE 258
18.3 KURVENINTEGRAL BEZUEGLICH DER BOGENLAENGE 260
18.4 KURVENINTEGRAL UEBER EIN VEKTORFELD 261
18.5 EIGENSCHAFTEN DER KURVENINTEGRALE 264
18.6 KURVENINTEGRALE UEBER GRADIENTENFELDERN 265
19 OBERFLAECHENINTEGRALE
267
19.1 EINFUEHRUNG 267
19.2 OBERFLAECHENINHALT 269
19.3 OBERFLAECHENINTEGRALE EINER SKALAREN FUNKTION 272
19.4 FLUSSINTEGRALE 274
20 EULERS BERECHNUNGE
N DER ZETAFUNKTIO
N
279
21 DI
E RIEMANNSCH
E VERMUTUN
G
283
21.1 DIE RIEMANNSCHE ZETAFUNKTION 284
21.1.1 MEROMORPHE FORTSETZUNG 285
21.1.2 DIE NULLSTELLEN 286
21.1.3 DIE VERMUTUNG 288
21.2 DIE PRIMZAHLFUNKTION 289
21.2.1 DIE EULERSCHE PRODUKTENTWICKLUNG 289
XV
I INHALTSVERZEICHNIS
21.2.2 DIE PRIMZAHLFUNKTION 290
21.2.3 DIE JAGD AUF DIE SCHWELLE 293
21.2.4 DIE BEWEISIDEEN 293
2
2 DI
E SAETZ
E VO
N HEINE-BOREL
, BOLZANO-WEIERSTRA
SS UN
D MONTEL
. 297
22.1 VORBEREITUNGEN 297
22.2 KOMPAKTHEIT IN NORMIERTEN RAEUMEN 299
22.3 DER SATZ VON MONTEL 300
22.4 ABSCHLUSS 305
2
3 GEOMETRI
E IN DER TEETASS
E 307
LITERATURVERZEICHNI
S
313
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