Analysis kompakt für Dummies: [auf einen Blick: die Grundlagen der Integralrechnung verstehen ; fehlerfrei differenzieren ; die wichtigsten Formeln und Gleichungen begreifen]
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Weinheim
Wiley-VCH
2012
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IMAGE 1
INHALTSVERZEICHNIS
UEBER DEN AUTOR 9
EINFUEHRUNG 19
UEBER DIESES BUCH 19
KONVENTIONEN IN DIESEM BUCH 19
WIE SIE DIESES BUCH EINSETZEN 20
TOERICHTE ANNAHMEN UEBER DEN LESER 20
WIE DIESES BUCH AUFGEBAUT IST 20
TEIL I: ANALYSIS - EIN UEBERBLICK 20
TEIL II: DIE VORAUSSETZUNGEN FUER DIE ANALYSIS 20
TEIL III: GRENZWERTE 21
TEIL IV: DIFFERENTIATION 21
TEIL V: INTEGRATION 21
TEIL VI: DER TOP-TEN-TEIL 21
SYMBOLE, DIE IN DIESEM BUCH VERWENDET WERDEN 21
WIE ES WEITERGEHT 22
TEIL I ANALYSIS - EIN UEBERBLICK 23
KAPITEL 1 WAS IST ANALYSIS? 25
WAS ANALYSIS NICHT IST 25
WAS ALSO IST ANALYSIS? 26
BEISPIELE FUER DIE ANALYSIS AUS DER PRAXIS 27
KAPITEL 2 DIE BEIDEN WICHTIGEN KONZEPTE DER ANALYSIS:
DIFFERENTIATION UND INTEGRATION 29
DIFFERENTIATION - DEFINITION 29
DIE ABLEITUNG IST EINE STEIGUNG 29
DIE ABLEITUNG IST EINE AENDERUNGSRATE 30
UND JETZT ZUR INTEGRATION 31
11
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/1011201224
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
ANALYSIS KOMPAKT FUER DUMMIES
KAPITEL 3 WARUM DIE ANALYSIS FUNKTIONIERT 35
DAS GRENZWERTKONZEPT: EIN MATHEMATISCHES MIKROSKOP 35
WAS PASSIERT BEIM VERGROESSERN? 36
ZWEI WARNUNGEN - NUR ZUR VORSICHT 39
ICH KOENNTE MEINE LIZENZ VERLIEREN, MATHEMATIK ZU BETREIBEN 39 UND WAS UM
ALLES IN DER WELT BEDEUTET »UNENDLICH EIGENTLICH? 39
TEIL II DIE VORAUSSETZUNGEN FUER DIE ANALYSIS U1
KAPITEL 4 UEBERBLICK UEBER VOR-ALGEBRA UND ALGEBRA 1*3
WAS SIE UEBER BRUECHE WISSEN SOLLTEN 43
EIN PAAR SCHNELLE REGELN 43
BRUECHE MULTIPLIZIEREN 44
BRUECHE DIVIDIEREN 44
BRUECHE ADDIEREN 45
BRUECHE SUBTRAHIEREN 46
BRUECHE KUERZEN 46
BETRAG (ABSOLUTWERT) - ABSOLUT EINFACH 48
POTENZEN MACHEN STARK 48
ZU DEN WURZELN DER WURZELN 49
WURZELN, WURZELN UEBERALL! 49
LOGARITHMEN . WIRKLICH KEINE HEXEREI 50
FAKTORISIEREN - WER BRAUCHT DAS SCHON? 51
DEN GROESSTEN GEMEINSAMEN TEILER HERAUSZIEHEN 51
QUADRATISCHE GLEICHUNGEN LOESEN 52
METHODE 1: FAKTORISIEREN 52
METHODE 2: DIE ABC-FORMEL 53
METHODE 3: QUADRATISCHE ERGAENZUNG 54
KAPITEL 5 VERRUECKTE PUNKTIONEN UND IHRE WUNDERBAREN GRAPHEN 55
WAS IST EINE FUNKTION? 55
DIE DEFINIERENDE EIGENSCHAFT EINER FUNKTION 55
UNABHAENGIGE UND ABHAENGIGE VARIABLEN 56
FUNKTIONSNOTATION 57
ZUSAMMENGESETZTE FUNKTIONEN 57
WIE SIEHT EINE FUNKTION AUS? 58
ALLGEMEINE FUNKTIONEN UND IHRE GRAPHEN 59
GERADEHERAUS - GERADEN IN DER EBENE 59
PARABEL- UND BETRAGSFUNKTIONEN - GERADE HERAUS 63
12
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS
EINIGE UNGERADE FUNKTIONEN 63
EXPONENTIALFUNKTIONEN 63
LOGARITHMISCHE FUNKTIONEN 64
INVERSE FUNKTIONEN 65
SCHIEBEN, SPIEGELN, DEHNEN, STAUCHEN 66
HORIZONTALE TRANSFORMATIONEN 66
VERTIKALE TRANSFORMATIONEN 67
KAPITEL 6 TRIGONOMETRIE IST TRUMPF! 69
TRIGONOMETRIE IM CRASHKURS 69
SINUS, KOSINUS UND TANGENS ZEICHNEN 70
INVERSE TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 71
TEIL 111 GRENZWERTE 73
KAPITEL 7 GRENZWERTE UND STETIGKEIT 75
BIS AN DIE GRENZEN - NEIN 75
DREI FUNKTIONEN ERKLAEREN DEN GRENZWERT 75
WEITER ZU DEN EINSEITIGEN GRENZWERTEN 77
DIE FORMALE DEFINITION EINES GRENZWERTS - WIE ERWARTET! 78
UNENDLICHE GRENZWERTE UND VERTIKALE ASYMPTOTEN 78
GRENZWERTE AN DER UNENDLICHKEIT - HABEN SIE GUTE SCHUHE AN? 79
GRENZWERTE UND STETIGKEIT VERKNUEPFEN 80
STETIGKEIT UND GRENZWERTE GEHEN NORMALERWEISE HAND IN HAND 81 DIE
AUSNAHME FUER EIN LOCH BRINGT DIE WAHRHEIT ANS LICHT 81
DIE UEBERFLUESSIGE MATHEMATIK DER STETIGKEIT AUSSORTIEREN 82
KAPITEL 8 GRENZWERTE AUSWERTEN 83
EINFACHE GRENZWERTE 83
GRENZWERTE, DIE SIE SICH MERKEN SOLLTEN 83
EINSETZEN UND EINKOCHEN 84
DIE »ECHTEN AUFGABENSTELLUNGEN MIT GRENZWERT 84
EINEN GRENZWERT MIT DEM TASCHENRECHNER BESTIMMEN 84
AUFGABENSTELLUNGEN MIT GRENZWERT ALGEBRAISCH LOESEN 86
GRENZWERTE BEI UNENDLICH AUSWERTEN 88
GRENZWERTE BEI UNENDLICH UND HORIZONTALE ASYMPTOTEN 88
ALGEBRA FUER GRENZWERTE BEI UNENDLICH VERWENDEN 89
13
IMAGE 4
ANALYSIS KOMPAKT FUER DUMMIES
TEIL IV DIFFERENTIATION 91
KAPITEL 9 DIFFERENTIATION - ORIENTIERUNG 93
DIFFERENTIATION: SUCHT DIE STEIGUNG! 93
DIE STEIGUNG EINER GERADEN 95
DIE ABLEITUNG EINER GERADEN 96
DIE ABLEITUNG: EINFACH EINE AENDERUNGSRATE 97
GESCHWINDIGKEIT - DIE UNS VERTRAUTESTE AENDERUNGSRATE 97
DIE BEZIEHUNG ZWISCHEN AENDERUNGSRATE UND STEIGUNG 98
DIE ABLEITUNG EINER KURVE 98
DER DIFFERENZQUOTIENT 100
DURCHSCHNITTLICHE AENDERUNGSRATE UND MOMENTANE AENDERUNGSRATE 106 SEIN
ODER NICHT SEIN? DREI FAELLE, IN DENEN DIE ABLEITUNG NICHT EXISTIERT 107
KAPITEL 10 REGELN FUER DIE DIFFERENTIATION - WAS SEIN MUSS, MUSS SEIN!
109 GRUNDLEGENDE REGELN DER DIFFERENTIATION 109
DIE KONSTANTENREGEL 109
DIE POTENZREGEL 109
DIE REGELN ZU DEM VIELFACHEN VON KONSTANTEN 111
DIE SUMMENREGEL - UND DIE KENNEN SIE SCHON 111
DIE DIFFERENZREGEL - MACHT KAUM EINEN UNTERSCHIED 111
TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN DIFFERENZIEREN 111
EXPONENTIELLE UND LOGARITHMISCHE FUNKTIONEN DIFFERENZIEREN 112
DIFFERENTIATIONSREGELN FUER PROFIS - WIR SIND DIE CHAMPS! 113
DIE PRODUKTREGEL 113
DIE QUOTIENTENREGEL 114
DIE KETTENREGEL 114
KAPITELN DIFFERENTIATION UND DIE FORM VON KURTEN 117
EIN AUSFLUG MIT DER ANALYSISGRUPPE 117
UEBER DIE BERGE UND DURCH DIE TAELER: POSITIVE UND NEGATIVE STEIGUNGEN 118
KRUEMMUNG UND WENDEPUNKTE 118
DAS TAL DER TRAENEN: EIN LOKALES MINIMUM 119
EIN ATEMBERAUBENDER AUSBLICK: DAS ABSOLUTE MAXIMUM 119
AUTOPANNE: AUF DEM SCHEITELPUNKT HAENGEN GEBLIEBEN 119
VON NUN AN GING'S BERGAB! 119
IHR REISETAGEBUCH 119
LOKALE EXTREMWERTE FINDEN 120
DIE KRITISCHEN WERTE HERAUSLEIERN 120
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS
DER TEST DER ERSTEN ABLEITUNG 121
DER TEST DER ZWEITEN ABLEITUNG - TESTS, TESTS, TESTS! 123
ABSOLUTE EXTREMWERTE FUER EIN GESCHLOSSENES INTERVALL FINDEN 124
DIE ABSOLUTEN EXTREMWERTE UEBER DEN GESAMTEN DEFINITIONSBEREICH EINER
FUNKTION FINDEN 126
KRUEMMUNG UND WENDEPUNKTE BESTIMMEN 127
DIE GRAPHEN VON ABLEITUNGEN - BIS ZUM ABWINKEN 129
KAPITEL 12 PROBLEMLOS GLUECKLICH: DER DIFFERENTIATION SEI DANK! 133
WIE SIE DAS MEISTE AUS IHREM LEBEN MACHEN: OPTIMIERUNGSPROBLEME 133 DAS
MAXIMALE VOLUMEN EINER SCHACHTEL 133
HUSCH, HUSCH: POSITION, GESCHWINDIGKEIT UND BESCHLEUNIGUNG 135 MAXIMALE
UND MINIMALE HOEHE 138
GESCHWINDIGKEIT UND ABSTAND 138
GESAMTE ZURUECKGELEGTE DISTANZ 139
GUMMIGERUCH UND BREMSSTREIFEN: BESCHLEUNIGUNG UND ABBREMSEN 140 UND
JETZT ALLES ZUSAMMEN 140
(RELATIV) VERKETTETE AENDERUNGSRATEN 140
EINEN TROG AUFFUELLEN 141
TANGENTEN UND NORMALEN: AUF DIE SPITZE GETRIEBEN 143
DIE AUFGABENSTELLUNG MIT DER TANGENTE 143
DAS NORMALLINIENPROBLEM 145
TEIL V INTEGRATION 1U9
KAPITEL 13 INTEGRATION UND FLAECHENANNAEHERUNG - EIN EINSTIEG 151
DIE FLAECHE UNTER EINER KURVE BESTIMMEN 151
DER UMGANG MIT NEGATIVEN FLAECHEN 152
FLAECHEN ANNAEHERN 153
FLAECHEN MIT HILFE LINKER SUMMEN ANNAEHERN 153
FLAECHEN MIT HILFE RECHTER SUMMEN ANNAEHERN 155
DIE SUMMENNOTATION 157
DIE GRUNDLAGEN SUMMIEREN 157
RIEMANN-SUMMEN IN SIGMA-NOTATION 158
EXAKTE FLAECHEN MIT HILFE DES BESTIMMTEN INTEGRALS ERMITTELN 160
KAPITEL U INTEGRATION: DIE RUECKWAERTS-DIFFERENTIATION 163
STAMMFUNKTIONEN SUCHEN - DIE UMGEKEHRTE DIFFERENTIATION 163
DAS VOKABULAR: WELCHEN UNTERSCHIED MACHT ES? 164
DIE MUESSIGE FLAECHENFUNKTION 164
15
IMAGE 6
ANALYSIS KOMPAKT FUER DUMMIES
RUHM UND EHRE MIT DEM HAUPTSATZ DER ANALYSIS 167
DER HAUPTSATZ DER ANALYSIS: TEIL 2 170
WARUM DER HAUPTSATZ FUNKTIONIERT: DIE VERBINDUNG ZWISCHEN INTEGRATION
UND DIFFERENTIATION 172
STAMMFUNKTIONEN FINDEN: DREI GRUNDLEGENDE TECHNIKEN 174
UMKEHRREGELN FUER STAMMFUNKTIONEN 174
RATEN UND PRUEFEN 176
DIE SUBSTITUTIONSMETHODE 178
FLAECHEN MIT HILFE VON SUBSTITUTIONSAUFGABEN BESTIMMEN 179
KAPITEL 15 INTEGRATIONSTECHNIKEN FUER PROFIS 183
TEILWEISE (PARTIELLE) INTEGRATION: TEILEN UND HERRSCHEN! 183
DAS U AUSWAEHLEN 185
TEILWEISE INTEGRATION: BEIM ZWEITEN WIE BEIM ERSTEN MAL 187
A, B UND C IN TEILBRUECHEN (PARTIALBRUECHEN) 188
1. FALL: DER NENNER ENTHAELT NUR LINEARE FAKTOREN 188
2. FALL: DER NENNER ENTHAELT NICHT ZU KUERZENDE QUADRATISCHE FAKTOREN 189
BONUSRUNDE: KOEFFIZIENTEN AEHNLICHER TERME GLEICHSETZEN 191
KAPITEL 16 GRAU IST ALLE THEORIE: MIT INTEGRALEN ECHTE PROBLEME LOESEN
193
DER MITTELWERTSATZ FUER INTEGRALE UND DER DURCHSCHNITTSWERT 193
DIE FLAECHE ZWISCHEN ZWEI KURVEN - DER DOPPELTE SPASS 197
DIE VOLUMEN UNREGELMAESSIGER KOERPER ERMITTELN 200
DIE PFANNKUCHENSTAPELMETHODE 200
DIE STAPEL-DONUTS-AUF-DEN-SICH-JEMAND-GESETZT-HAT-METHODE 201
BOGENLAENGEN ANALYSIEREN 203
DIE REGEL VON L'HOPITAL: ANALYSIS FUER DIE KRANKEN 205
UNEIGENTLICHE INTEGRALE: AM VERLAUF ZU ERKENNEN 206
UNEIGENTLICHE INTEGRALE MIT VERTIKALEN ASYMPTOTEN 206
UNEIGENTLICHE INTEGRALE MIT EINER ODER ZWEI UNENDLICHEN
INTEGRATIONSGRENZEN 208
TEIL VI DER TOP-TEN-TEIL 211
KAPITEL 17 ZEHN DINGE, DIE SIE SICH MERKEN SOLLTEN 213
DEN PLATZ, WO IHRE SONNENBRILLE LIEGT 213
A 2 - B2 = (A-B)(A + B) 213
- = 0, ABER - IST UNDEFINIERT 213
5 0
16
IMAGE 7
INHALTSVERZEICHNIS
IRGENDETWAS 0 = 1 213
SGHKAHTGA 214
TRIGONOMETRISCHE WERTE FUER 30-, 45- UND 60-GRAD-WINKEL 214 SIN 2 O + COS
2 0 = 1 214
DIE PRODUKTREGEL 214
DIE QUOTIENTENREGEL 214
WO SIE IHRE SCHLUESSEL HINGELEGT HABEN 214
KAPITEL 18 ZEHN DINGE, DIE SIE VERGESSEN KOENNEN 215
(A + B) 2 = A2 + B2-FALSCH! 215
SLA 2 +B 2 =A + B -FALSCH! 215
STEIGUNG = HZL _ FALSCH! 215
A -FALSCH! 215
3A + C C
-!T Z =3!R 2 - FALSCH! 216
DX WENN K EINE KONSTANTE IST, DANN IST - KX = K'X + KX' - FALSCH! 216
DX
DIE QUOTIENTENREGEL IST -| - ] = VU ~ VU _ FALSCH! 216
DX\V) V
\X 2 DX = -X 3 -FALSCH! 216
J(SINJR)U!R = COSJR+C -FALSCH! 216
DEN SATZ VON GREEN 216
STICHWORTVERZEICHNIS 217
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