Mathematik für Ingenieur-Bachelor: Schritt für Schritt mit ausführlichen Lösungen
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| Main Authors: | , |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2011
|
| Edition: | 1. Aufl. |
| Series: | Studium
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | 346 S. graph. Darst. 240 mm x 170 mm |
| ISBN: | 9783834813817 3834813818 |
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INHALTSVERZEICHNIS
1 ELEMENTARES HANDWERKSZEUG 17
1.1 KLAMMERSETZUNG 17
1.1.1 PUNKT- VOR STRICHRECHNUNG 17
1.1.2 POTENZ- VOR PUNKTRECHNUNG 17
1.1.3 KLAMMERN 17
1.2 BRUCHRECHNUNG 18
1.2.1 GRUNDSAETZLICHES 18
1.2.2 MULTIPLIKATION UND DIVISION VON BRUECHEN 19
1.2.3 ADDITION UND SUBTRAKTION VON BRUECHEN 20
1.3 GROESSENVERHAELTNISSE BEI BRUECHEN 21
1.4 FAKULTAET, BINOMIALKOEFFIZIENT, BINOMISCHER SATZ 22
1.4.1 FAKULTAET 22
1.4.2 BINOMIALKOEFFIZIENT 23
1.4.3 BINOMISCHER SATZ 23
2 ERWEITERTES HANDWERKSZEUG 25
2.1 POTENZEN, WURZELN, LOGARITHMEN 25
2.1.1 POTENZEN 25
2.1.2 POTENZGESETZE 25
2.1.3 WURZELN 26
2.1.4 WURZELGESETZE 27
2.1.5 DER BEGRIFF DES LOGARITHMUS 28
2.1.6 DUALER, DEKADISCHER UND NATUERLICHER LOGARITHMUS 29
2.1.7 LOGARITHMENGESETZE 30
2.2 GLEICHUNGEN, UNGLEICHUNGEN, BETRAEGE 31
2.2.1 ALLGEMEINES ZU GLEICHUNGEN 31
2.2.2 QUADRATISCHE GLEICHUNGEN 33
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/1007686413
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
8 INHALTSVERZEICHNIS
2.2.3 UNGLEICHUNGEN - BEGRIFF UND LOESUNGSMENGE 34
2.2.4 UNGLEICHUNGEN - MULTIPLIKATION MIT BEKANNTEN ZAHLEN 35
2.2.5 UNGLEICHUNGEN - DIVISION DURCH ZAHLEN 36
2.2.6 UNGLEICHUNGEN - MULTIPLIKATION/DIVISION OHNE VORZEICHENINFORMATION
36
2.2.7 BETRAEGE 40
2.2.8 BETRAGSGLEICHUNGEN UND -UNGLEICHUNGEN 41
2.3 UMGANG MIT DEM SUMMENZEICHEN 42
2.3.1 EINFACHE SUMMEN 42
2.3.2 RECHENREGELN FUER EINFACHE SUMMEN 44
2.3.3 DOPPELSUMMEN 45
2.3.4 WEITERE RECHENREGELN FUER DOPPELSUMMEN 46
2.4 SINUS, KOSINUS UND SO WEITER 46
2.4.1 BEGRIFFE AM RECHTWINKLIGEN DREIECK 46
2.4.2 SINUS UND KOSINUS 47
2.4.3 TANGENS UND KOTANGENS 50
2.4.4 DER EINHEITSKREIS 50
2.4.5 GRAD- UND BOGENMASS 55
2.4.6 VERWIRRUNG BEI TASCHENRECHNER-BENUTZUNG 57
2.4.7 ADDITIONSTHEOREME 58
3 FUNKTIONEN I: BEGRIFF UND AUFGABE DER ANALYSIS 59
3.1 FUNKTIONEN 59
3.1.1 BEGRIFF 59
3.1.2 NUTZEN VON FUNKTIONEN 61
3.1.3 GRAPH DER FUNKTION 61
3.2 BESCHREIBUNGSFORMEN VON FUNKTIONEN 63
3.3 AUFGABEN DER ANALYSIS 64
4 FUNKTIONEN II: RATIONALE FUNKTIONEN 65
4.1 GANZRATIONALE FUNKTIONEN: POLYNOME 65
4.1.1 ALLGEMEINES 65
4.1.2 BERECHNUNG VON FUNKTIONSWERTEN VON POLYNOMEN 65
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS 9
4.1.3 GRAPHEN VON POLYNOMEN N-TEN GRADES, WENN N UNGERADE IST 66
4.1.4 GRAPHEN VON POLYNOMEN N-TEN GRADES, WENN N GERADE IST 68
4.1.5 GRAPHEN VON POLYNOMEN ZWEITEN GRADES 69
4.1.6 PARABELN ZEICHNEN 71
4.1.7 GRAPHEN VON POLYNOMEN ERSTEN GRADES 74
4.1.8 POLYNOME NULLTEN GRADES UND IHRE GRAPHEN 75
4.2 GEBROCHEN RATIONALE FUNKTIONEN 75
4.2.1 BEGRIFFE 75
4.2.2 UNENDLICHKEITSSTELLEN UND LUECKEN BEI GEBROCHEN RATIONALEN
FUNKTIONEN 76
4.2.3 VERHALTEN IM UNENDLICHEN 79
4.2.4 VEREINFACHUNG ECHT GEBROCHEN RATIONALER FUNKTIONEN 79
4.2.5 PARTIALBRUCHZERLEGUNG 81
5 EINSCHUB: KOMPLEXE ZAHLEN 83
5.1 EIN AUSGANGSPUNKT (EINER VON VIELEN) 83
5.2 KOMPLEXE ZAHLEN IN ARITHMETISCHER FORM 85
5.2.1 REAL- UND IMAGINAERTEIL, REIN IMAGINAERE UND KONJUGIERT KOMPLEXE
ZAHLEN 85
5.2.2 ADDITION UND SUBTRAKTION KOMPLEXER ZAHLEN 86
5.2.3 MULTIPLIKATION KOMPLEXER ZAHLEN 86
5.2.4 DIVISION KOMPLEXER ZAHLEN 87
5.2.5 POTENZIEREN EINER KOMPLEXEN ZAHL 87
5.3 GAUSSSCHE ZAHLENEBENE 87
5.4 TRIGONOMETRISCHE DARSTELLUNG KOMPLEXER ZAHLEN 88
5.5 UEBERGAENGE VON EINER DARSTELLUNGSFORM ZUR ANDEREN DARSTELLUNGSFORM 90
5.5.1 VON DER TRIGONOMETRISCHEN ZUR ARITHMETISCHEN FORM 90
5.5.2 VON DER ARITHMETISCHEN ZUR TRIGONOMETRISCHEN FORM 92
5.6 MULTIPLIKATION UND DIVISION BEI TRIGONOMETRISCHER FORM 95
5.7 POTENZIEREN UND RADIZIEREN BEI TRIGONOMETRISCHER FORM 96
5.7.1 POTENZEN 96
5.7.2 WURZELN AUS KOMPLEXEN ZAHLEN 96
5.8 DIE EULERSCHE FORMEL 98
IMAGE 4
10 INHALTSVERZEICHNIS
6 FUNKTIONEN III: RATIONALE BIS TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 99
6.1 ECHT GEBROCHEN RATIONALE FUNKTIONEN (FORTSETZUNG) 99
6.1.1 LOESUNG DER GLEICHUNG: NENNERPOLYNOM GLEICH NULL 99
6.1.2 ANSAETZE FUER DIE PARTIALBRUECHE 104
6.1.3 BESTIMMUNG DER ANSATZKOEFFIZIENTEN 106
6.2 UNECHT GEBROCHEN RATIONALE FUNKTIONEN 109
6.3 EXPONENTIALFUNKTIONEN 111
6.3.1 BEGRIFF 111
6.3.2 GRAPHEN VON EXPONENTIALFUNKTIONEN 111
6.3.3 ZEICHNEN DES GRAPHEN 113
6.4 HYPERBELFUNKTIONEN 113
6.5 LOGARITHMUSFUNKTIONEN 114
6.5.1 BEGRIFF 114
6.5.2 GRAPHEN VON LOGARITHMUSFUNKTIONEN 114
6.6 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 115
6.6.1 ZUGANG ZUM GRAPH VON Y=SIN X 115
6.6.2 ZUGANG ZUM GRAPH VON Y=COS X 118
6.6.3 ZUGANG ZU DEN GRAPHEN VON Y=TAN X UND Y=COT X 119
6.6.4 ERGAENZUNG: TANGENS UND KOTANGENS AM EINHEITSKREIS 121
7 FUNKTIONEN IV: VERWANDTE FUNKTIONEN UND IHRE GRAPHEN 123
7.1 BEGRIFFSERKLAERUNG 123
7.2 ADDITIONEN UND SUBTRAKTIONEN 124
7.2.1 ADDITION UND SUBTRAKTION ZUR FUNKTION 124
7.2.2 ADDITION UND SUBTRAKTION ZUM ARGUMENT 125
7.3 MULTIPLIKATIONEN 126
7.3.1 MULTIPLIKATION DER FUNKTION MIT (-1) 126
7.3.2 MULTIPLIKATION DES ARGUMENTS MIT (- 1) 126
7.4 BETRAGSBILDUNGEN 127
7.4.1 BETRAGSBILDUNG IM ARGUMENT 127
7.4.2 VON DER FUNKTION ZUM BETRAG DER FUNKTION 128
7.5 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN UND IHRE VERWANDTEN 131
7.5.1 BETRAGSBILDUNGEN 131
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS 11
7.5.2 WAAGERECHTE VERSCHIEBUNGEN MIT UND OHNE SPIEGELUNG 132
7.5.3 WAAGERECHTE STRECKUNGEN UND STAUCHUNGEN 134
8 FUNKTIONEN V: STETIGKEIT, BESCHRAENKTHEIT, MONOTONIE 135
8.1 STETIGKEIT 135
8.1.1 DEFINITION 135
8.1.2 KONSEQUENZEN VON STETIGKEIT UND UNSTETIGKEIT 136
8.1.3 ARTEN DER UNSTETIGKEIT 137
8.1.4 SUCHE NACH UNSTETIGKEITSSTELLEN 138
8.2 BESCHRAENKTHEIT 140
8.2.1 DEFINITIONEN 140
8.2.2 STETIGKEIT UND BESCHRAENKTHEIT 141
8.3 MONOTONIE 142
8.3.1 DEFINITIONEN 142
8.3.2 RECHNERISCHE BESTIMMUNG DES MONOTONIEVERHALTENS 144
8.3.3 STETIGKEIT UND MONOTONIE 145
8.4 MITTELBARE FUNKTIONEN: FUNKTIONEN VON FUNKTIONEN 146
9 FUNKTIONEN VI: INVERSE FUNKTIONEN (UMKEHRFUNKTIONEN) 151
9.1 FRAGESTELLUNG 151
9.2 BERECHNUNG DER UMKEHRFUNKTION 153
9.3 TASCHENRECHNER-VERWIRRUNGEN 155
9.3.1 FUNKTION OHNE TASTE 155
9.3.2 TASTEN OHNE FUNKTIONEN 156
10 KURVENDISKUSSION: ERSTE SCHRITTE 161
10.1 BEGRIFF UND AUFGABENSTELLUNG 161
10.2 DEFINITIONSBEREICH 162
10.2.1 BESTIMMUNG DES DEFINITIONSBEREICHES 162
10.2.2 BESCHREIBUNG DES DEFINITIONSBEREICHES 163
10.2.3 DEFINITIONSBEREICH ALS LOESUNG EINER UNGLEICHUNG 163
10.2.4 DEFINITIONSBEREICH ALS LOESUNG VON BETRAGSGLEICHUNGEN 165
10.2.5 DEFINITIONSBEREICHE DER GRUNDFUNKTIONEN 165
10.2.6 DEFINITIONSBEREICHE VERWANDTER FUNKTIONEN 166
IMAGE 6
12 INHALTSVERZEICHNIS
10.3 RANDUNTERSUCHUNGEN 168
10.3.1 GRUNDFUNKTIONEN 168
10.3.2 BELIEBIGE FUNKTIONEN 169
10.3.3 UNBESTIMMTE AUSDRUECKE 171
10.4 WERTEBEREICH 172
10.4.1 BEGRIFF UND BEDEUTUNG 172
10.4.2 WERTEBEREICHE DER GRUNDFUNKTIONEN 173
10.4.3 WERTEBEREICHE VERWANDTER FUNKTIONEN 174
10.4.4 WERTEBEREICHE BELIEBIGER FUNKTIONEN 177
10.5 SCHNITTPUNKTE MIT DEN ACHSEN 177
10.5.1 SCHNITTPUNKT MIT DER SENKRECHTEN ACHSE 177
10.5.2 SCHNITTPUNKTE MIT DER WAAGERECHTEN ACHSE 178
10.6 AUSBLICK 180
11 DIFFERENTIALRECHNUNG 181
11.1 VORBEMERKUNG, BILANZ, AUSBLICK 181
11.2 DER ERSTE ABLEITUNGSWERT 181
11.2.1 BEGRIFF UND BEDEUTUNG 181
11.2.2 SYMBOLIK 182
11.3 BERECHNUNG DES ERSTEN ABLEITUNGSWERTES: THEORIE 183
11.4 BERECHNUNG DES ERSTEN ABLEIRUNGSWERTES: PRAXIS 184
11.4.1 ERSTER ABLEITUNGSWERT UND ERSTE ABLEITUNGSFUNKTION 184
11.4.2 ERSTE ABLEITUNGSFUNKTION VON WICHTIGEN GRUNDFUNKTIONEN 184
11.4.3 FAKTOR- UND SUMMENREGEL 186
11.4.4 PRODUKTREGEL 187
11.4.5 QUOTIENTENREGEL 188
11.5 KETTENREGEL 188
11.6 LOGARITHMISCHES DIFFERENZIEREN 191
12 ANWENDUNGEN DER ABLEITUNGSFUNKTIONEN 193
12.1 BEDEUTUNG DES ERSTEN ABLEITUNGSWERTES FUER DEN GRAPHEN 193
12.1.1 ANSTIEG DER TANGENTE 193
12.1.2 WAAGERECHTE TANGENTE 196
12.1.3 EXISTENZ DES ERSTEN ABLEITUNGSWERTES 197
IMAGE 7
INHALTSVERZEICHNIS 13
12.2 BEDEUTUNG DER ERSTEN ABLEITUNGSFUNKTION FUER DEN GRAPHEN 200
12.2.1 GRUNDSAETZLICHES 200
12.2.2 NULLSTELLEN DER ERSTEN ABLEITUNG 202
12.3 ZWEITE ABLEITUNGSFUNKTION 203
12.3.1 BEGRIFF UND BERECHNUNG 203
12.3.2 BEDEUTUNG FUER DIE KURVENDISKUSSION 203
12.3.3 KRITERIEN UND HINREICHENDE BEDINGUNGEN FUER RELATIVE EXTREMA 206
12.3.4 LOESUNG VON EXTREMWERTAUFGABEN 206
12.3.5 HOEHERE ABLEITUNGSFUNKTIONEN 208
12.4 ABLEITUNGSFUNKTIONEN NICHT UEBERALL DIFFERENZIERBARER FUNKTIONEN 208
12.5 GRENZWERTE UNBESTIMMTER AUSDRUECKE 209
12.6 TAYLOR-POLYNOME 211
12.6.1 EINFUEHRUNG 211
12.6.2 TAYLOR-POLYNOME 213
12.6.3 DIE TAYLOR-FORMEL 214
12.6.4 TAYLOR-POLYNOME DER SINUSFUNKTION UM XQ=0 214
12.6.5 EIGENSCHAFTEN DER TAYLOR-POLYNOME 215
12.6.6 SCHMIEGPARABELN 215
12.6.7 EINIGE TAYLOR-POLYNOME BEKANNTER FUNKTIONEN MIT X O =O 216
12.6.8 TAYLOR-POLYNOME IN DER GEGENWART - FRAGEN UND ANTWORTEN 217
12.6.9 VON KOMPLIZIERTEN ZU VEREINFACHTEN FORMELN 218
13 ELEMENTE DER INTEGRALRECHNUNG 221
13.1 DAS BESTIMMTE INTEGRAL 221
13.2 BERECHNUNG BESTIMMTER INTEGRALE: THEORIE 223
13.3 BERECHNUNG BESTIMMTER INTEGRALE: PRAXIS 228
13.3.1 HAUPTSATZ DER DIFFERENTIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 228
13.3.2 STAMMFUNKTIONEN UND DAS UNBESTIMMTE INTEGRAL 229
13.3.3 ERSTE INTEGRATIONSREGELN 232
13.3.4 SUBSTITUTION, TRANSFORMATION DER GRENZEN 234
13.4 INTEGRATION GEBROCHEN RATIONALER FUNKTIONEN 236
13.4.1 AUFGABENSTELLUNG 236
13.4.2 VORBETRACHTUNGEN 237
IMAGE 8
14 INHALTSVERZEICHNIS
13.4.3 ECHT GEBROCHENE INTEGRANDEN 237
13.4.4 UNECHT GEBROCHENE INTEGRANDEN 239
13.5 HINWEIS AUF NUMERISCHE METHODEN 240
14 BESTIMMTES INTEGRAL: ANWENDUNGEN 241
14.1 BERECHNUNG VON FLAECHENINHALTEN 241
14.2 BERECHNUNG VON BOGENLAENGEN EBENER KURVEN 243
14.3 VOLUMEN UND MANTELFLAECHEN VON ROTATIONSKOERPERN 246
14.4 SCHWERPUNKTE VON EBENEN, HOMOGEN MIT MASSE BELEGTEN FLAECHENSTUECKEN
251
15 GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 253
15.1 EINFUEHRUNG 253
15.2 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN N-TER ORDNUNG 255
15.2.1 KONSTANTE KOEFFIZIENTEN UND N-TE ORDNUNG - HOMOGENER FALL 255
15.2.2 KONSTANTE KOEFFIZIENTEN UND N-TE ORDNUNG - INHOMOGENER FALL 258
15.2.3 PARTIKULAERE LOESUNG DURCH ANSATZ 260
15.2.4 NICHTKONSTANTE KOEFFIZIENTEN UND N-TE ORDNUNG 262
15.3 LINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 262
15.3.1 KONSTANTE KOEFFIZIENTEN UND 1.ORDNUNG, HOMOGENER FALL 262
15.3.2 KONSTANTE KOEFFIZIENTEN UND 1. ORDNUNG, INHOMOGENER FALL 263
15.3.3 NICHTKONSTANTE KOEFFIZIENTEN UND L.ORDNUNG - HOMOGENER FALL 263
15.3.4 NICHTKONSTANTE KOEFFIZIENTEN UND L.ORDNUNG - INHOMOGENER FALL 264
15.4 NICHTLINEARE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 264
15.4.1 SPEZIALFALL Y =F(X) 265
15.4.2 TRENNBARE VARIABLE 265
15.5 ANFANGS- UND RANDWERTAUFGABEN 269
15.5.1 AUFGABENSTELLUNG 269
15.5.2 BEISPIEL MIT FORMELMAESSIGER LOESUNG 269
16 MATRIZEN UND DETERMINANTEN 271
16.1 ALLGEMEINES 271
16.1.1 DER MATRIXBEGRIFF 271
16.1.2 DER MATRIXBEGRIFF IN DER MATHEMATIK 271
16.2 MATRIZEN-BEGRIFFE 272
IMAGE 9
INHALTSVERZEICHNIS 15
16.2.1 ZEILEN UND SPALTEN, FORMAT 272
16.2.2 VEKTOREN ALS SPEZIELLE MATRIZEN 272
16.2.3 BEZIEHUNGEN ZWISCHEN MATRIZEN 273
16.2.4 TRANSPONIEREN 273
16.3 QUADRATISCHE MATRIZEN 274
16.3.1 DIAGONALEN 274
16.3.2 DIAGONAL- UND EINHEITSMATRIX 274
16.3.3 SYMMETRIE..... 275
16.4 EINFACHE RECHENREGELN FUER MATRIZEN 275
16.4.1 ADDITION UND SUBTRAKTION, NULLMATRIX 275
16.4.2 MULTIPLIKATION EINER MATRIX MIT EINER ZAHL 276
16.5 MATRIZENMULTIPLIKATION 277
16.5.1 HERSTELLBARKEIT VON MATRIZENPRODUKTEN 277
16.5.2 VERTAUSCHBARKEIT 279
16.5.3 RECHENREGELN 279
16.5.4 BESONDERHEITEN DER NULLMATRIX 280
16.5.5 EINSELEMENT DER MATRIZENMULTIPLIKATION 280
16.5.6 DIVISION VON MATRIZEN 281
16.6 INVERSE MATRIX 282
16.6.1 FRAGESTELLUNG 282
16.6.2 DEFINITION DER INVERSEN MATRIX 282
16.6.3 INVERSE VON DIAGONALMATRIZEN 284
16.6.4 LOESUNG EINER MATRIXGLEICHUNG MIT QUADRATISCHER MATRIX 284
16.6.5 EINZIGKEIT DER INVERSEN 286
16.7 DER DETERMINANTENBEGRIFF 287
16.8 BEDEUTUNG DER DETERMINANTE 287
16.9 BERECHNUNG VON DETERMINANTEN 287
16.9.1 ZWEIREIHIGE DETERMINANTEN 287
16.9.2 DREIREIHIGE DETERMINANTEN - DIE REGEL VON SARRUS 288
16.9.3 N-REIHIGE DETERMINANTEN - HINWEIS AUF DEN ENTWICKLUNGSSATZ 289
16.10 DETERMINANTENGESETZE 289
16.11 ANWENDUNGEN 290
16.11.1 CRAMERSCHE REGEL 290
16.11.2 BERECHNUNG DER INVERSEN VON (2,2)-MATRIZEN 291
IMAGE 10
INHALTSVERZEICHNIS
17 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 293
17.1 DEFINITION, DARSTELLUNGSFORMEN UND BEGRIFFE 293
17.2 QUADRATISCHE GLEICHUNGSSYSTEME 296
17.2.1 LOESUNGSSITUATIONEN 296
17.2.2 THEORIE MIT DETERMINANTEN 299
17.2.3 PRAXIS: BASISVERSION DES GAUSSSCHEN ALGORITHMUS 300
18 VEKTORRECHNUNG UND ANALYTISCHE GEOMETRIE 309
18.1 VEKTOREN UND IHRE ANWENDUNG 309
18.1.1 EINFUEHRUNG 309
18.1.2 GROESSE UND RICHTUNG 310
18.1.3 DAS SKALARPRODUKT ZWEIER VEKTOREN 314
18.1.4 DAS VEKTORPRODUKT (KREUZPRODUKT) ZWEIER VEKTOREN 316
18.2 GERADEN UND EBENEN 320
18.2.1 BESCHREIBUNG VON GERADEN 320
18.2.2 BESCHREIBUNG VON EBENEN 324
WEITERFUEHRENDE UND VERTIEFENDE LITERATUR 331
SACHWORTVERZEICHNIS 333
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