Erwartungsnutzenhypothese: dogmenhistorische Ausgangslage, analytische Voraussetzungen und moderne Entwicklungen
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort 15
1.1 Zufall und die Erwartungsnutzentheorie................... 16
1.2 Inhalt und Fortgang der Arbeit....................... 19
Formale und inhaltliche Grundlagen: Präferenzen, Ordnungen, Repräsentati¬
on 23
2.1 Einleitung................................... 23
2.2 Die inhaltlichen und formalen Grundüberlegungen............. 26
2.2.1 Präferenzen: Messen, Abbilden und numerische Repräsentation . . 27
2.2.2 Präferenzen im Kontext von Relationen und Ordnungen ..... 29
2.3 Mengen, Relationen und Ordnungen als allgemeine Grundlage einer axio-
matischen Darstellung............................ 31
2.3.1 Mengen, geordnete Paare und Identität............... 32
2.3.2 Eigenschaften von Relationen und Ordnungen........... 35
2.3.3 Präferenzen als Grundlage der relationalen Struktur........ 39
2.3.3.1 Indifferenz und Identität.................. 40
2.3.3.2 Die „mindestens-so-gut-wie -Relation und die positive ver¬
sus implizite Definition................... 41
2.3.3.3 Schwache versus strikte Ordnung bei von Neumann und
Morgenstern ........................ 43
2.3.4 Die schwache Ordnung als zentrale Ordnungsannahme der Erwar¬
tungsnutzentheorie .......................... 46
2.3.4.1 Wichtige Eigenschaften einer schwachen Präferenzordnung 47
2.3.4.2 Äquivalente Ordnungsannahmen und relationale Bezie¬
hungen ........................... 51
2.3.4.3 Die Annahme der Reflexivität............... 52
2.3.5 Die schwache Ordnung und die Zusammenfassung von indifferenten
Elementen zu Äquivalenzklassen................... 53
2.4 Die Überführung präferenzbasierter Ordnungen in Zahlen - numerische
Repräsentation ................................ 58
2.4.1 Messen und Skalen.......................... 59
2.4.2 Abbildungen.............................. 63
2.4.3 Homomorphismen und Isomorphismen............... 64
2.4.4 Numerische Repräsentation ..................... 66
2.5 Die
axiomatische
Fundierung der numerischen Repräsentation von Präfe¬
renzrelationen -
Cantor
und Debreu..................... 67
2.5.1 Numerische Repräsentation einer endlichen Menge......... 69
2.5.2 Numerische Repräsentation einer abzahlbaren Menge....... 71
2.5.3 Numerische Repräsentation einer überabzählbaren Menge - die
Problematik.............................. 76
2.5.3.1 Die lexikographische Ordnung............... 76
2.5.3.2 Die lexikographische Ordnung als schwache Ordnung . . 78
2.5.3.3 Die lexikographische Ordnung und das Abbildbarkeits-
problem........................... 80
2.5.3.4 Dichte und Ordnungsdichte von Mengen......... 83
2.5.4 Numerische Repräsentation einer überabzählbaren Menge - das
Theorem................................ 88
2.5.4.1 Vorbemerkungen...................... 89
2.5.4.2 Die Notwendigkeit der Annahme............. 90
2.5.4.3 Die Annahme als hinreichende Bedingung........ 92
2.6 Die Dimensionalität der numerisch repräsentierenden Zielstruktur
К
... 95
2.6.1 Archimedisches Axiom, reelle Zahlen und
Non-Standard Analysis
96
2.6.2 Archimedisches Axiom als notwendige Bedingung für die numeri¬
sche Repräsentation.......................... 100
2.6.3 Archimedisches Axiom, lexikographische Ordnung und numerische
Repräsentation............................ 101
2.6.4 Dimensionalität der numerischen Repräsentation und Archimedi¬
sches Axiom.............................. 104
2.6.5 Archimedisches Axiom und Ordnungsdichte ............ 106
2.7 Abschließende Bemerkungen......................... 108
2.7.1 Existenz einer stetigen, numerisch repräsentierenden Funktion . . 108
2.7.2 Existenz einer difforonzierbaron, numerisch repräsentierenden Funk¬
tion .................................. 111
Die Erwartungsnutzentheorie nach von Neumann und Morgenstern: Historie,
Abgrenzung, Inhalt und Erweiterungen 113
3.1 Einleitung................................... 113
3.1.1 Die Abwesenheit von Sicherheit................... 114
3.1.2 Fortgang des Kapitels ........................ 117
3.2 Historischer Überblick............................ 122
3.2.1 Zufall,
Bernoulli, Cramer
und das St. Petersburg-Spiel ...... 123
3.2.2 St. Petersburg-Spiel, Grenzwertbetrachtung und Weber/Fechner . 132
3.2.3 St. Petersburg-Spiel und Erwartungswert.............. 134
3.2.4 St. Petersburg-Spiel und Konvergenz................ 136
3.2.5 Vom St. Petersburg-Spiel zur axiomatischen Fundierung der Er¬
wartungsnutzentheorie ........................ 137
3.2.6 Entscheidungen unter Unsicherheit oder unter Risiko und objektive
oder subjektive Wahrscheinlichkeiten................ 140
3.2.7 Die Erwartungsnutzentheorie nach
Bernoulli/Cramer
versus von
Neumann und Morgenstern ..................... 148
3.3 Von Neumann und Morgenstern Erwartungsnutzentheorie - Grundlagen,
Axiomatik
und Abgrenzung......................... 156
3.3.1 Die Grundlagen der von Neumann- und Morgensternschen Ergebnissel56
3.3.1.1 Von Neumann und Morgensterns zentrale Überlegung . . 157
3.3.1.2 Präferenzen und Nutzen.................. 158
3.3.1.3 Präferenzdifferenzen und Nutzendifferenzen....... 160
3.3.1.4 Annahmen zum Entscheidungsverhalten, formale Anfor¬
derungen und die Notation von Neumann und Morgensterns 165
3.3.2 Die
Axiomatik
nach von Neumann und Morgenstern ....... 169
3.3.2.1 Die implizite Unabhängigkeitsannahme in der
Axiomatik
nach von Neumann und Morgenstern........... 179
3.3.2.2 Die Forderung der numerischen Repräsentation der Präfe¬
renzen ............................ 183
3.3.2.3 Die Forderung der Linearität in
cu
............. 184
3.3.3 Die Eigenschaften und Bedeutung der zugrundeliegenden Menge . 186
3.3.3.1 Analyse und Abgrenzung der formalen Konzepte:
Mix¬
ture
Set, Wahrscheinlichkeitsmaß, konvexe Menge - das
nullte Axiom........................ 187
3.3.3.2 Das formale Entscheidungskonzept als Wahl aus einer
Menge von Lotterien, Wahrscheinlichkeitsmaßen und
Mix¬
ture
Sets .......................... 189
3.3.3.3 Konvexe Mengen...................... 191
3.3.3.4
Mixture Sets
........................ 192
3.3.3.5
Mixture
Set-Identität.................... 193
3.3.3.6
Mixture
Set-Indifferenz................... 194
3.3.3.7
Mixture
Set-Identität versus
Mixture
Set-Indifferenz . . 195
3.3.3.8 Wahrscheinlichkeitsmaße.................. 196
3.3.4 Eine vergleichende Abgrenzung der verschiedenen Konzepte zur
Modellierung einer Alternativenmenge ............... 202
3.3.4.1
Mixture Set
und konvexe Menge ............. 202
3.3.4.2
Compound Lotteries
.................... 206
3.3.4.3 Wahrscheinlichkeitsmaße und konvexe Menge...... 207
3.3.4.4 Ein anschauliches Beispiel konvexer Kombinationen von
Wahrscheinlichkeitsmaßen................. 208
3.3.4.4.1 Einfache konvexe Kombinationen von Wahrschein¬
lichkeitsmaßen .................. 210
3.3.4.4.2 Abzählbare konvexe Kombinationen von Wahr¬
scheinlichkeitsmaßen ............... 211
3.3.4.5 Die zugrundeliegende Ergebnismenge........... 212
3.3.5 Abschließende Bemerkung...................... 214
3.4 Von Neumann und Morgenstern Erwartungsnutzentheorie - Analyse der
Axiome und Beweise............................. 215
3.4.1 Das zentrale Theorem der Erwartungsnutzentheorie und die ein¬
zelnen Axiome............................. 215
3.4.1.1 Eine erste Betrachtung des zentralen Theorems der Er¬
wartungsnutzentheorie ................... 218
3.4.1.2 Alternative Axiomatiken der numerischen Repräsentation 218
3.4.2 Die Ordnungsannahmen....................... 220
3.4.2.1 Konnexität von Präferenzen................ 222
3.4.2.2 Transitivität von Präferenzen............... 224
3.4.3 Die Archimedische Annahme..................... 227
3.4.4 Die Unabhängigkeitsannahme.................... 231
3.4.4.1 Historie und Fehlinterpretation.............. 232
3.4.4.2 Ellsbergs und Allais Kritik................. 234
3.4.5 Die zugrundeliegenden Mengen und eine alternative Formulierung 241
3.4.6 Die Herleitung der Erwartungsnutzenfunktion........... 243
3.4.6.1 Einige zentrale Zwischenergebnisse............ 245
3.4.6.2 Die Nutzenfunktion unter Unsicherheit.......... 255
3.4.6.3 Existenz einer eindeutigen reellen Zahl u(p)....... 256
3.4.6.4 Numerische Repräsentation................ 257
3.4.6.5 Die Erwartungsnutzeneigenschaft - Linearität...... 257
3.4.6.5.1 Linearität über eine abgeschlossene Menge . . . 257
3.4.6.5.2 Linearität bei Erweiterung einer abgeschlosse¬
nen Menge .................... 258
3.4.6.6 Positive affine Transformation und Kardinalität..... 260
3.4.6.7 Linearität bei positiver affiner Transformation...... 261
3.4.6.8 Numerische Repräsentation der Trägermenge und Erwar¬
tungsnutzeneigenschaft ................... 262
3.4.6.9 Numerische Repräsentation durch beste und schlechteste
Lotterien bei endlicher Menge............... 264
3.4.7 Abschließende Bemerkungen zu diesem Kapitel .......... 264
3.5 Beschränktheit und Erwartungsnutzenform über die Ergebnismenge . . . 265
4 Schlusswort 275
A
Anhang 277
A.l St. Petersburg-Spiel : Nullfolge und Konvergenzkriterien ......... 277
A.2 Beschränktheit, notwendige und hinreichende Bedingung......... 280
В
Literaturverzeichnis 283
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