Analysis: [von Studenten mitentwickelt] 1 Ein Lernbuch für den sanften Wechsel von der Schule zur Uni
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Wiesbaden
Vieweg
2011
|
| Edition: | 5., überarb. und erw. Aufl. |
| Series: | Vieweg-Studium
|
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XIV, 363 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783834817136 |
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Die Menge
R
der reellen Zahlen 1
1.1 Vorbemerkungen........................... 3
Die Strategie: Wie wird das Axiomensystem für
R
hergeleitet?
1.2 Mengen................................ 6
Mengen, Mengenoperationen, Abbildungen.
1.3 Algebraische Strukturen....................... 16
Innere Kompositionen und ihre Eigenschaften, Körper, logischer Exkurs, Körperei¬
genschaften.
1.4 Angeordnete Körper......................... 33
Positivbereich, angeordnete Körper. Gegenbeispiele.
1.5 Natürliche Zahlen, vollständige Induktion............. 37
Definition von N , Induktion, Musterbeweise. Eigenschaften von N.
1.6 Die ganzen und die rationalen Zahlen ............... 48
Z
und
Q
, Dichtheitssatz.
1.7 Das Archimedesaxiom........................ 52
Archimedesaxiom und Folgerungen.
1.8 Vollständigkeit............................ 56
Dedekindsche Schnitte, Schnittzahlen, Vollständigkeit, das Axiomensystem für
К
.
1.9 Von
К
zu
С
.............................. 58
Der Körper
С
, Eigenschaften.
1.10 Wie groß ist R?............................ 63
Ergänzungen zur Mengenlehre, Mengen mit gleicher Kardinalzahl, abzählbar und
überabzählbar, die Cantorschen Diagonalverfahren.
1.11 Ergänzungen............................. 69
Peano-Axiome, der „konstruktive Aufbau der reellen Zahlen, Gleichheit in der
Mathematik, Eindeutigkeit
voir
Κ,
Sicherheit der Grundlagen.
1.12 Verständnisfragen........................... 77
1.13 Übungsaufgaben........................... 81
xii INHALTSVERZEICHNIS
2 Folgen und Reihen 87
2.1 Folgen................................. 89
Folgen, Teilfolgen, Umordnungen.
2.2 Konvergenz.............................. 93
Betrag in
R
, Existenz der Wurzel, Betrag in
С
, Nullfolge, Konvergenz, Konver¬
genzbeweise.
2.3 Cauchy-Folgen und Vollständigkeit.................120
Cauchy-Folgen, Zusammenhang zur Konvergenz, Ordnungsrelationen, Supremum
und Infimum, äquivalente Versionen der Vollständigkeit.
2.4 Unendliche Reihen..........................133
Reihen, Konvergenzkriterien, absolut konvergente Reihen.
2.5 Ergänzungen.............................148
Dezimalentwicklung, ]R als Menge der Dezimalzahlen, ungeordnete
Summation,
Folgenräume.
2.6 Verständnisfragen...........................164
2.7 Übungsaufgaben...........................167
3 Metrische Räume und Stetigkeit 171
3.1 Metrische Räume...........................171
Metriken und Normen, Konvergenz. Kugeln, offene und abgeschlossene Teilmen¬
gen, Abschluss und Inneres, dichte Teilmengen.
3.2 Kompaktheit.............................191
Kompaktheit, Kompaktheitskriterien, Charakterisierung der kompakten Teilmen¬
gen endlich-dimensionaler Räume, Zweipunktkompaktifizierung von
К
.
3.3 Stetigkeit...............................203
Stetige Funktionen, Lipschitzabbildungen, Permanenzeigenschaften, Charakteri¬
sierung, Zwischenwertsatz, Satz vom Maximum, gleichmäßige Stetigkeit.
3.4 Verständnisfragen...........................226
3.5 Übungsaufgaben...........................230
4 Differentiation (eine Veränderliche) 233
4.1 Differenzierbare Funktionen.....................234
Stetige Ergänzung, differenzierbare Funktionen, Ableitungsregeln.
4.2 Mittelwertsätze............................249
Satz von Rolle, Mittelwertsätze, Regeln von
l Hôpital.
4.3 Taylorpolynome............................264
Taylor-Polynome, Restglied, Restgliedformel, Extremwertaufgaben.
4.4 Potenzreihen.............................276
Potenzreihen, Konvergenzradius, Limes
superior
und Limes inferior, Formel für
den Konvergenzradius, Differenzierbarkeit von Potenzreihen, entwickelbare Funk¬
tionen, das Gegenbeispiel von Cauchy.
4.5 Spezielle Funktionen.........................297
Zwei Differentialgleichungen zur Motivation, Exponentialfunktion, Logarithmus,
allgemeine Potenz, Sinus und Cosinus, spezielle Funktionen im Komplexen, Polar¬
darstellung.
4.6 Fundamentalsatz, Differentialgleichungen .............324
Fundamentalsatz, Lösung spezieller Typen von Differentialgleichungen.
INHALTSVERZEICHNIS xiii
4.7 Verständnisfragen........................... 337
4.8 Übungsaufgaben........................... 342
Anhänge 345
Computeralgebra.............................. 346
Mathematik und neue Medien....................... 348
Die Internetseite zum Buch........................ 349
Griechische Symbole............................ 350
Lösungen zu den ,.? ............................ 351
Register................................... 359
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