Théorie des treillis:
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Paris
Dunod
1971
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36 |
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|---|---|
| adam_text | TABLE DES MATIÈRES
CHAPITRE I ¦
ENSEMBLES ORDONNÉS
1. Notations de la théorie des ensembles 1
2. Relations 3
3. Ensembles ordonnés 5
4. Graphes d un ensemble ordonné 1
5. Bornes supérieures et inférieures 10
6. Parties convexes et chaînes d un ensemble ordonné 12
7. Longueurs 13
8. Conditions maximale et minimale 14
9. Condition de Jordan — Dedekind 15
Exercices du chapitre I 18
CHAPITRE II
TREILLIS
10. Algèbres 20
11. Treillis 23
12. Principe de dualité 25
13. Demi-treillis 28
14. Treillis, en tant qu ensembles ordonnés 29
15. Graphes des treillis 33
16. Sous-treillis, idéaux 33
17. Bornes d un treillis. Atomes et atomes duaux 35
18. Compléments, compléments relatifs, demi-compléments 36
19. Eléments irréductibles, éléments premiers 39
20. Morphismes d un treillis 42
21. Systèmes d axiomes des treillis 44
Exercices du chapitre II 46
CHAPITRE III
TREILLIS ACHEVÉS
22. Treillis achevés 49
23. Sous-treillis achevés d un treillis achevé 53
24. Treillis conditionnellement achevés, r-treillis 54
X TABLÉ DES MATIÈRES
25. Eléments compacts. Treillis compaetement engendrés 55
26. Treillis des sous-algèbres d une algèbre 57
27. Fermetures 58
28. Correspondances de Galois, coupures de Dedekind 60
29. Ensembles ordonnés, en tant qu espaces topologiques 65
Exercices du chapitre III 07
CHAPITRE IV
TREILLIS DISTRIBUTIFS ET TREILLIS MODULAIRES
30. Treillis distributifs 70
31.. Treillis infiniment distributifs et treillis complètement distributifs ... 74
32. Treillis modulaires 77
33. Caractérisation des ti eillis modulaires et distributifs par leurs sous-
. treillis . . . : . . 80
34. Sous-treillis distributifs des treillis modulaires 85
35. Théorème d isomorphisme des treillis modulaires. Conditions de cou¬
verture 87
36. Décompositions en intersections dans les treillis modulaires et dans les
treillis distributifs 90
Exercices du chapitre IV 93
CHAPITRE V
TREILLIS MODULAIRES PARTICULIERS
37. Théorèmes préliminaires 96
38. Treillis modulaires de longueur localement finie 99
39. Valuations. Treillis métriques et quasi-métriques 100
40. Treillis modulaires complémentés 104
41. Treillis modulaires complémentés et espaces projectifs 106
Exercices du chapitre V 112
CHAPITRE VI
TREILLIS BOOLÉIENS
42. Treillis booléiens. Formules de De Morgan 115
43. Treillis booléiens achevés 117
44. Treillis booléiens et anneaux booléiens ¦ . . . . 120
45. Treillis de relations 124
46. Treillis de propositions 126
47. Valuations sur les treillis booléiens 129
Exercices du chapitre VI . . 131
TABLE DES MATIÈRES XI
CHAPITRE VII
TREILLIS SEMI-MODULAIRES •
48. Treillis birkhoffiens • . . , . 133
49. Treillis semi-modulaires 135
50. Treillis de relations d équivalence 138
51. Dépendance linéaire 143
52. Treillis semi-modulaires complémentés 147
Exercices du chapitre VII ...... 151
CHAPITRE VIII
IDÉAUX
53. Idéaux et idéaux duaux. Chaînes d idéaux 153
54. Treillis d idéaux 155
55. Treillis distributifs et anneaux d ensembles 160
Exercices du chapitre VIII 103
CHAPITRE IX
CONGRUENCES
51). Congruences sur une algèbre 164
57. Relations d équivalence permutables 169
58. Théorème de raffinement de Sehreier pour les algèbres 172
59. Congruences sur les treillis : . 176
60. Congruence minimale associée à une partie d un treillis distributif. . . 179
61. Liens entre idéaux et congruences 182
Exercices du chapitre IX 1S4
CHAPITRE X
DÉCOMPOSITIONS DIRECTES ET SOUS-DIRECTES
02. Produits et décompositions directs d algèbres 187
63. Produits et décompositions sous-directs d algèbres 190
64. Produits directs et sous-directs de treillis 193
65. Décompositions directes et sous-directes de treillis 195
66. Eléments distribuants et centre d un treillis 201
Exercices du chapitre X 205
Indications pour la solution des exercices les plus compliqués 207
Bibliographie 213
Index 223
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