Laplace-, Fourier- und z-Transformation:
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Berlin [u.a.]
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2011
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INHALT
1 EINFUEHRUNG DER LAPLACE-TRANSFORMATION 1
2 ANWENDUNG DER LAPLACE-TRANSFORMATION AUF GEWOEHNLICHE
DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 13
2.1 HAEUFIG AUFTRETENDER TYP VON DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 13
2.2 DIFFERENZIATIONSREGEL FUER DIE ORIGINALFUNKTION 17
2.3 RECHNEN MIT 8-FUNKTIONEN 22
2.4 LAPLACE-TRANSFORMATION EINER LINEAREN DIFFERENZIALGLEICHUNG N-TER
ORDNUNG MIT KONSTANTEN KOEFFIZIENTEN 28
2.5 ERINNERUNG AN DIE PARTIALBRUCHZERLEGUNG RATIONALER FUNKTIONEN 31 2.6
RUECKTRANSFORMATION DER PARTIALBRUECHE MITTELS INTEGRATIONS- UND
DAEMPFUNGSREGEL DER LAPLACE-TRANSFORMATION 37
2.7 LOESUNG EINER DIFFERENZIALGLEICHUNG 3. ORDNUNG 40
2.8 SPRUNGANTWORT EINER DIFFERENZIALGLEICHUNG N-TER ORDNUNG BEI
EINFACHEN UND VON NULL VERSCHIEDENEN POLEN 43
2.9 SPRUNGANTWORT EINER DIFFERENZIALGLEICHUNG N-TER ORDNUNG BEIM
AUFTRETEN MEHRFACHER POLE 50
2.10 SPRUNGANTWORT EINER DIFFERENZIALGLEICHUNG 2. ORDNUNG 51
2.11 FALTUNGSREGEL DER LAPLACE-TRANSFORMATION 58
2.12 ZUSAMMENFASSUNG UEBER DIE LOESUNG DER DIFFERENZIALGLEICHUNG N-TER
ORDNUNG 65
2.13 GRENZWERTSAETZE DER LAPLACE-TRANSFORMATION UND IHRE ANWENDUNG AUF
DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 67
2.13.1 ENDWERTSATZ 67
2.13.2 ANFANGSWERTSATZ 69
2.14 SYSTEME VON DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 71
3 LOESUNG VON DIFFERENZENGLEICHUNGEN MIT DER LAPLACE- TRANSFORMATION 77
3.1 AUFTRETEN UND FORM VON DIFFERENZENGLEICHUNGEN 77
3.2 VERSCHIEBUNGSREGELN DER LAPLACE-TRANSFORMATION 80
3.3 LOESUNG EINER DIFFERENZENGLEICHUNG 1. ORDNUNG MIT VORGESCHICHTE 83
3.4 RUECKTRANSFORMATION EINER RATIONALEN FUNKTION VON E~ TS 84
3.5 LOESUNG DER ALLGEMEINEN DIFFERENZENGLEICHUNG OHNE VORGESCHICHTE . .
.. 86
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IMAGE 2
XII INHALT
4 LOESUNG VON DIFFERENZENDIFFERENZIALGLEICHUNGEN MIT DER LAPLACE-
TRANSFORMATION 93
4.1 AUFTRETEN VON DIFFERENZENDIFFERENZIALGLEICHUNGEN: TOTZEITSYSTEME 93
4.2 BESTIMMUNG DER AUSGANGSGROESSE EINES TOTZEITSYSTEMS DURCH
LAPLACE-TRANSFORMATION 98
5 ZUSAMMENSTELLUNG VON RECHENREGELN UND KORRESPONDENZEN DER
LAPLACE-TRANSFORMATION 103
6 LAPLACE-TRANSFORMATION UND UEBERTRAGUNGSVERHALTEN DYNAMISCHER SYSTEME
109
6.1 ALLGEMEINER BEGRIFF DES UEBERTRAGUNGSGLIEDES 109
6.2 UEBERTRAGUNGSFUNKTION 111
6.3 GEWICHTSFUNKTION (IMPULSANTWORT) 113
6.4 CHARAKTERISIERUNG DER UEBERTRAGUNGSGLIEDER MIT Y(S) = G(S)U(S) 116
6.5 FREQUENZGANG 125
6.6 ZWEI ASPEKTE DER LAPLACE-TRANSFORMATION 131
7 ETWAS FUNKTIONENTHEORIE 133
7.1 LAURENTENTWICKLUNG 133
7.2 RESIDUUM UND RESIDUENSATZ 138
7.3 LAURENTENTWICKLUNG UND PARTIALBRUCHZERLEGUNG 143
7.4 ZWEI BEISPIELE ZUR PARTIALBRUCHENTWICKLUNG EINER MEROMORPHEN
FUNKTION 146
8 KOMPLEXE UMKEHRFORMEL DER LAPLACE-TRANSFORMATION 151 8.1 HERLEITUNG
DER KOMPLEXEN UMKEHRFORMEL 151
8.2 HERLEITUNG DER MULTIPLIKATIONSREGEL FUER ZEITFUNKTIONEN 157 8.3
BERECHNUNG DES UMKEHRINTEGRALS MITTELS DES RESIDUENSATZES 158
8.4 BERECHNUNG DER ORIGINALFUNKTION ZU E~ 163
9 ANWENDUNG DER LAPLACE-TRANSFORMATION AUF PARTIELLE
DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 171
9.1 PRINZIPIELLES VORGEHEN 171
9.2 LOESUNG DER WAERMELEITUNGSGLEICHUNG UNTER ALLEINIGER EINWIRKUNG DER
RANDBEDINGUNGEN 177
9.3 SPEZIALFALL: RANDWERTPROBLEM BEIM EINSEITIG BEGRENZTEN WAERMELEITER
180
9.4 EINE ANDERE DARSTELLUNG DER GEWICHTSFUNKTION 183
9.5 LOESUNG DER WAERMELEITUNGSGLEICHUNG UNTER ALLEINIGER EINWIRKUNG DER
QUELLENFUNKTION 185
9.6 LOESUNG DER WAERMELEITUNGSGLEICHUNG UNTER ALLEINIGER EINWIRKUNG DER
ANFANGSBEDINGUNG UND ALLGEMEINE LOESUNG 191
IMAGE 3
INHALT XIII
10 ZWEISEITIGE LAPLACE-TRANSFORMATION UND FOURIER-TRANSFORMATION . 193
10.1 ZWEISEITIGE LAPLACE-TRANSFORMATION 193
10.2 DEFINITION DER FOURIER-TRANSFORMATION 196
10.3 EIGENSCHAFTEN DER FOURIER-TRANSFORMATION 205
10.4 RECHENREGELN DER FOURIER-TRANSFORMATION 209
10.5 KORRESPONDENZEN DER FOURIER-TRANSFORMATION 215
10.6 TABELLEN ZUR FOURIER-TRANSFORMATION 223
11 FOURIER-TRANSFORMATION VON FUNKTIONEN ENDLICHER BREITE UND
ABTASTTHEOREME 23 1
11.1 KOMPLEXE DARSTELLUNG DER FOURIERREIHE EINER PERIODISCHEN FUNKTION
.. 231 11.2 REIHENENTWICKLUNG EINER ZEITFUNKTION MIT ENDLICHER
BANDBREITE 234 11.3 REIHENENTWICKLUNG EINER SPEKTRALDICHTE ZU EINER
ZEITFUNKTION VON ENDLICHER DAUER 237
12 FOURIER-TRANSFORMATION KAUSALER FUNKTIONEN UND HILBERT-
TRANSFORMATION 239
13 Z-TRANSFORMATION 247
13.1 DEFINITION DER Z-TRANSFORMATION UND IHR ZUSAMMENHANG MIT DER
LAPLACE-TRANSFORMATION 247
13.2 EINIGE BEISPIELE 253
13.3 DURCHFUEHRBARKEIT DER Z-TRANSFORMATION 256
13.4 DAEMPFUNGSREGEL UND DIFFERENZIATIONSREGEL FUER DIE BILDFUNKTION 258
13.5 ANWENDUNG DER DAEMPFUNGSREGEL UND DER DIFFERENZIATIONSREGEL FUER DIE
BILDFUNKTION: Z-TRANSFORMATION RATIONALER FUNKTIONEN VON S 262 13.6 EIN
ALLGEMEINER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN F(S) UND F Z (Z) 266 13.7
VERSCHIEBUNGSREGELN DER Z-TRANSFORMATION 268
13.8 ANWENDUNG DER VERSCHIEBUNGSREGELN DER Z-TRANSFORMATION AUF
DIFFERENZENGLEICHUNGEN FUER ZAHLENFOLGEN 270
13.9 RUECKTRANSFORMATION EINER RATIONALEN FUNKTION G Z (Z) 273 13.10 DIE
FALTUNGSREGEL DER Z-TRANSFORMATION 276
13.11 GRENZWERTSAETZE DER Z-TRANSFORMATION 280
13.12 RUECKTRANSFORMATION (UMKEHRUNG DER Z-TRANSFORMATION) 282 13.13
ANWENDUNG DER Z-TRANSFORMATION AUF DYNAMISCHE SYSTEME 289 13.14
ZUSAMMENSTELLUNG VON RECHENREGELN UND KORRESPONDENZEN DER
Z-TRANSFORMATION 299
UEBUNGSAUFGABEN 303
LOESUNGEN DER UEBUNGSAUFGABEN 327
LITERATURVERZEICHNIS 413
SACHWOERTERVERZEICHNIS 417
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