Maß- und Integrationstheorie:
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| Language: | German |
| Published: |
Berlin ; Heidelberg
Springer
2011
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| Edition: | 7., korr. und aktualisierte Aufl. |
| Series: | Springer-Lehrbuch
Grundwissen Mathematik |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
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INHALTSVERZEICHNIS
KAPITEL I. A-ALGEBREN UND BOREISCHE MENGEN 1
§ 1. DAS INHALTSPROBLEM UND DAS MASSPROBLEM 1
§ 2. BEZEICHNUNGEN UND MENGENTHEORETISCHE GRUNDLAGEN 6 1. BEZEICHNUNGEN
6
2. LIMES SUPERIOR UND LIMES INFERIOR 8
AUFGABEN 10
§3. RINGE, ALGEBREN, A-RINGE UND A-ALGEBREN 11
1. RINGSTRUKTUR VON P(X) 11
2. RINGE UND ALGEBREN 11
3. CR-RINGE UND U-ALGEBREN 13
AUFGABEN 15
§ 4. ERZEUGER UND BOREISCHE MENGEN 16
1. ERZEUGER 16
2. BOREISCHE MENGEN 17
3. VERHALTEN UNTER ABBILDUNGEN 19
AUFGABEN 20
§ 5. HALBRINGE 20
1. HALBRINGE 20
2. DER VON EINEM HALBRING ERZEUGTE RING 22
AUFGABEN 22
§ 6. MONOTONE KLASSEN UND DYNKIN-SYSTEME 23
1. MONOTONE KLASSEN 23
2. DYNKIN-SYSTEME 24
AUFGABEN 26
KAPITEL II. INHALTE UND MASSE 27
§ 1. INHALTE, PRAEMASSE UND MASSE 27
1. DEFINITIONEN UND ERSTE FOLGERUNGEN 27
2. EIN ERSTER FORTSETZUNGSSATZ 30
3. EIGENSCHAFTEN VON INHALTEN 31
4. CHARAKTERISIERUNG DER CR-ADDITIVITAET 32
5. HISTORISCHE ANMERKUNGEN 33
AUFGABEN 34
§ 2. INHALTE UND PRAEMASSE AUF R 37
1. ENDLICHE INHALTE AUF 3 37
2. ENDLICHE PRAEMASSE AUF 3 38
3. KURZBIOGRAPHIE VON E. BOREL 41
AUFGABEN 42
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/1010437097
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
X INHALTSVERZEICHNIS
§ 3. INHALTE UND PRAEMASSE AUF W 43
1. DAS LEBESGUESCHE PRAEMASS AUF J P 43
2. DIFFERENZENOPERATOREN 44
3. INHALTE AUF Y 46
4. PRAEMASSE AUF 3 P 47
5. KURZBIOGRAPHIE VON J. RADON 48
AUFGABEN 49
§ 4. FORTSETZUNG VON PRAEMASSEN ZU MASSEN 50
1. AEUSSERE MASSE 50
2. DER FORTSETZUNGSSATZ 53
3. DIE LEBESGUE-MESSBAREN TEILMENGEN DES R P 55
4. KURZBIOGRAPHIE VON C. CARATHEODORY 57
AUFGABEN 58
§ 5. EINDEUTIGKEIT DER FORTSETZUNG 59
1. CT-ENDLICHE INHALTE 59
2. DER EINDEUTIGKEITSSATZ 60
3. WAHRSCHEINLICHKEITSMASSE UND VERTEILUNGSFUNKTIONEN AUF E 61 AUFGABEN
62
§ 6. VOLLSTAENDIGE MASSRAEUME 63
AUFGABEN 65
§ 7. DAS LEBESGUESCHE MASS 66
1. APPROXIMATIONSSAETZE 66
2. CHARAKTERISIERUNG DER LEBESGUE-MESSBARKEIT 67
3. DER SATZ VON H. STEINHAUS 68
4. MESSBARKEIT KONVEXER MENGEN 68
AUFGABEN 69
§ 8. DAS CANTORSCHE DISKONTINUUM 70
1. KONSTRUKTION VON C 70
2. TRIADISCHE ENTWICKLUNG 71
3. MAECHTIGKEITEN VON W UND ? 73
4. DIE CANTORSCHE FUNKTION 73
AUFGABEN 74
§ 9. METRISCHE AEUSSERE MASSE UND HAUSDORFF-MASSE 76
1. METRISCHE AEUSSERE MASSE 76
2. HAUSDORFF-MASSE 78
3. REKTIFIZIERBARE KURVEN 78
4. KURZBIOGRAPHIE VON F. HAUSDORFF 80
AUFGABEN 82
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS XI
KAPITEL III. MESSBARE FUNKTIONEN 83
§ 1. MESSBARE ABBILDUNGEN UND BILDMASSE 85
1. MESSBARE ABBILDUNGEN 85
2. BILDMASSE 87
AUFGABEN 88
§ 2. BEWEGUNGSINVARIANZ DES LEBESGUE-MASSES 89
1. TRANSLATIONSINVARIANZ DES LEBESGUE-MASSES 89
2. DAS BILDMASS DES LEBESGUE-MASSES UNTER BIJEKTIVEN AFFINEN ABBILDUNGEN
91
3. BEWEGUNGSINVARIANZ DES LEBESGUE-MASSES 92
4. DAS P-DIMENSIONALE AEUSSERE HAUSDORFF-MASS 94
AUFGABEN 95
§ 3. EXISTENZ NICHT MESSBARER MENGEN 96
1. NICHT LEBESGUE-MESSBARE MENGEN UND UNLOESBARKEIT DES MASSPROBLEMS 96
2. KURZBIOGRAPHIE VON G. VLTALL 99
3. WEITERE BEISPIELE NICHT LEBESGUE-MESSBARER MENGEN 99 4. EXISTENZ NICHT
MESSBARER MENGEN FUER LEBESGUE-STIELTJESSCHE MASSE 100
AUFGABEN 102
§ 4. MESSBARE NUMERISCHE FUNKTIONEN 103
1. RECHNEN IN E, TOPOLOGIE VON M 104
2. MESSBARE NUMERISCHE FUNKTIONEN 105
3. APPROXIMATION DURCH TREPPENFUNKTIONEN 108
4. ABZAEHLBAR ERZEUGTE MESSRAEUME 109
5. EIN MINIMALER ERZEUGER VON FB 1 109
AUFGABEN 110
§5. PRODUKT-CT-ALGEBREN 112
1. INITIAL-FF-ALGEBREN UND PRODUKT-CR-ALGEBREN 112
2. BOREL-MENGEN TOPOLOGISCHER PRODUKTE 114
3. MESSBARKEIT DER DIAGONALEN 115
AUFGABEN 116
KAPITEL IV. DAS LEBESGUE-INTEGRAL 119
§1. INTEGRATION VON TREPPENFUNKTIONEN 120
AUFGABEN 121
§ 2. INTEGRATION NICHT-NEGATIVER MESSBARER FUNKTIONEN 122
1. DEFINITION DES INTEGRALS 122
2. DER SATZ VON DER MONOTONEN KONVERGENZ 125
3. KURZBIOGRAPHIE VON B. LEVI 126
4. MASSE MIT DICHTEN 127
AUFGABEN 127
IMAGE 4
XUE INHALTSVERZEICHNIS
§ 3. INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 128
1. INTEGRIERBARE FUNKTIONEN 128
2. LINEARITAET UND MONOTONIE DES INTEGRALS 131
3. DER RAUM C 1 132
4. STETIGE FUNKTIONEN MIT KOMPAKTEM TRAEGER 133
5. INTEGRATION UEBER MESSBARE TEILMENGEN 135
6. HISTORISCHE ANMERKUNGEN 136
7. KURZBIOGRAPHIE VON W.H. YOUNG 137
AUFGABEN 138
§ 4. FAST UEBERALL BESTEHENDE EIGENSCHAFTEN 140
AUFGABEN 142
§5. KONVERGENZSAETZE 144
1. DAS LEMMA VON FATOU 144
2. KURZBIOGRAPHIE VON P. FATOU 145
3. DER SATZ VON DER MAJORISIERTEN KONVERGENZ 145
4. VON EINEM PARAMETER ABHAENGIGE INTEGRALE 147
5. DER SATZ VON SCHEFFE 149
AUFGABEN 150
§6. RIEMANN-INTEGRAL UND LEBESGUE-INTEGRAL 151
1. EIGENTLICHES RIEMANN-INTEGRAL UND LEBESGUE-INTEGRAL 151 2.
UNEIGENTLICHES RIEMANN-INTEGRAL UND LEBESGUE-INTEGRAL 153 3.
MITTELWERTSAETZE DER INTEGRALRECHNUNG 156
4. KURZBIOGRAPHIE VON H. LEBESGUE 157
AUFGABEN 160
KAPITEL V. PRODUKTMASSE, SATZ VON FUBINI UND TRANSFORMATIONSFORMEL 163
§ 1. PRODUKTMASSE 163
1. PRODUKT-A-ALGEBREN 164
2. PRODUKTMASSE 164
3. DAS CAVALIERISCHE PRINZIP 169
4. PRODUKTE ENDLICH VIELER MASSRAEUME 170
5. DAS P-DIMENSIONALE AEUSSERE HAUSDORFF-MASS 171
AUFGABEN 173
§ 2. DER SATZ VON FUBINI 175
1. DER SATZ VON FUBINI 175
2. HISTORISCHE ANMERKUNGEN 180
3. BEISPIELE FUER ANWENDUNGEN DES SATZES VON FUBINI 181
4. DER GAUSSSCHE INTEGRALSATZ FUER DIE EBENE 184
5. KURZBIOGRAPHIEN VON G. FUBINI UND L. TONELLI 187
AUFGABEN 188
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS XIII
§3. FALTUNG UND FOURIER-TRANSFORMATION 191
1. INTEGRATION IN BEZUG AUF BILDMASSE 191
2. TRANSFORMATION VON MASSEN MIT DICHTEN 192
3. DIE FALTUNG AUF C L (W, B P , SS P ) 193
4. DIE FOURIER-TRANSFORMATION 195
AUFGABEN 200
§ 4. DIE TRANSFORMATIONSFORMEL 201
1. DIE TRANSFORMATIONSFORMEL 202
2. DER SATZ VON SARD 209
3. VERALLGEMEINERTE TRANSFORMATIONSFORMEL 211
4. TRANSFORMATION VON MASSEN MIT DICHTEN BEZ. A P 211
5. DER BROUWERSCHE FIXPUNKTSATZ 213
AUFGABEN 215
KAPITEL VI. KONVERGENZBEGRIFFE DER MASS- UND INTEGRATIONSTHEORIE 219
§ 1. DIE UNGLEICHUNGEN VON JENSEN, HOLDER UND MINKOWSKI 220 1. DIE
JENSENSCHE UNGLEICHUNG 220
2. DIE HOELDERSCHE UNGLEICHUNG 223
3. DIE MINKOWSKISCHE UNGLEICHUNG 224
4. HISTORISCHE ANMERKUNGEN 225
AUFGABEN 226
§ 2. DIE RAEUME IP UND DER SATZ VON RIESZ-FISCHER 229
1. DIE RAEUME C? UND L 229
2. DER SATZ VON RIESZ-FISCHER 231
3. DIE BANACH-ALGEBRA L 1 (R 8 N , / 3 N ) 234
4. DER HILBERT-RAUM L 2 (SS) 235
5. DER BANACH-VERBAND L P R 240
6. DICHTE UNTERRAEUME VON V 242
7. DER SATZ VON PLANCHEREL 243
8. DER SATZ VON FATOU UEBER POTENZREIHEN 244
9. HISTORISCHE ANMERKUNGEN 245
10. KURZBIOGRAPHIEN VON F. RIESZ UND E. FISCHER 246
AUFGABEN 247
§3. DER SATZ VON JEGOROW 250
1. KONVERGENZ /Z-FAST UEBERALL 250
2. FAST GLEICHMAESSIGE KONVERGENZ 251
3. KURZBIOGRAPHIE VON D.F. JEGOROW 252
AUFGABEN 253
IMAGE 6
XIV INHALTSVERZEICHNIS
§4. KONVERGENZ NACH MASS 253
1. KONVERGENZ NACH MASS UND LOKAL NACH MASS 254
2. CAUCHY-FOLGEN FUER DIE KONVERGENZ NACH MASS 255
3. VERGLEICH DER KONVERGENZBEGRIFFE 256
4. CHARAKTERISIERUNG DER KONVERGENZ N.M. UND DER KONVERGENZ LOKAL N.M.
257
AUFGABEN 258
§ 5. KONVERGENZ IN C P 259
1. DER SATZ VON P R A TT 260
2. KONVERGENZ IN » 261
3. DER KONVERGENZSATZ VON VITALI 262
4. SCHWACHE KONVERGENZ IN C P 263
AUFGABEN 267
KAPITEL VII. ABSOLUTE STETIGKEIT 269
§ 1. SIGNIERTE MASSE; HAHNSCHER UND JORDANSCHER ZERLEGUNGSSATZ 269 1.
SIGNIERTE MASSE 269
2. DER HAHNSCHE ZERLEGUNGSSATZ 271
3. POSITIVE VARIATION, NEGATIVE VARIATION UND VARIATION 272 4.
JORDANSCHER ZERLEGUNGSSATZ 273
5. DER BANACH-VERBAND DER ENDLICHEN SIGNIERTEN MASSE 274 6.
KURZBIOGRAPHIE VON H. HAHN 275
AUFGABEN 277
§ 2. DER SATZ VON RADON-NIKODYM UND DER LEBESGUESCHE ZERLEGUNGSSATZ 279
1. ABSOLUTE STETIGKEIT 279
2. DER SATZ VON RADON-NIKODYM 280
3. KURZBIOGRAPHIE VON O. NLKODYM 284
4. DER LEBESGUESCHE ZERLEGUNGSSATZ 285
AUFGABEN 287
§ 3. DER DUALRAUM VON IP (1 P OO) 288
1. DER DUALRAUM VON I/(FI) (1 P OO) 288
2. DIE MULTIPLIKATIVEN LINEARFORMEN AUF DER BANACH-ALGEBRA L ISSM) 293
AUFGABEN 295
§4. ABSOLUT STETIGE FUNKTIONEN AUF E 296
1. DER UEBERDECKUNGSSATZ VON VITALI 296
2. DIFFERENZIERBARKEIT MONOTONER FUNKTIONEN A-F.UE. 298 3. DER DICHTESATZ
301
4. ABSOLUT STETIGE FUNKTIONEN AUF E 302
5. LEBESGUESCHE ZERLEGUNG LEBESGUE-STIELTJESSCHER MASSE 306 6.
REKTIFIZIERBARE KURVEN 308
AUFGABEN 309
IMAGE 7
INHALTSVERZEICHNIS XV
KAPITEL VIII. MASSE AUF TOPOLOGISCHEN RAEUMEN 312
§1. BOREL-MASSE, RADON-MASSE, REGULARITAET 313
1. GRUNDBEGRIFFE 313
2. REGULARITAETSSAETZE 317
3. MODERATE BOREL-MASSE 318
4. REGULARITAET VON BOREL-MASSEN 318
5. REGULARITAET VON BOREL-MASSEN AUF POLNISCHEN RAEUMEN 320 6. DER SATZ VON
LUSIN 323
7. KURZBIOGRAPHIE VON N.N. LUSIN 324
AUFGABEN 327
§2. DER DARSTELLUNGSSATZ VON F. RIESZ 328
1. PROBLEMSTELLUNG 328
2. FORTSETZUNGSSATZ 329
3. DER DARSTELLUNGSSATZ VON F. RIESZ FUER LOKAL-KOMPAKTE RAEUME 335
4. DER DARSTELLUNGSSATZ VON F. RIESZ FUER VOLLSTAENDIG REGULAERE RAEUME 339
5. TRAEGER VON MASSEN 343
6. DER DARSTELLUNGSSATZ VON F. RLESZ FUER STETIGE LINEARFORMEN AUFCOPO
345
AUFGABEN 350
§3. DAS HAARSCHE MASS 351
1. TOPOLOGISCHE GRUPPEN 352
2. LINKSINVARIANTC LINEARFORMEN UND MASSE 354
3. EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT DES HAARSCHCN MASSES 356
4. ANWENDUNGEN DES HAAR-MASSES 366
5. INVARIANTE UND RELATIV INVARIANTE MASSE AUF RESTKLASSENRAEUMCN 368 6.
KURZBIOGRAPHIE VON A. HAAR 375
AUFGABEN 376
§ 4. SCHWACHE KONVERGENZ UND SCHWACHE KOMPAKTHEIT 378
1. EINE REGULARITAETSEIGENSCHAFT ENDLICHER MASSE AUF METRISCHEN RAEUMEN 379
2. SCHWACHE UND VAGE KONVERGENZ VON FOLGEN VON MASSEN 380 3. DAS
PORTMANTEAU-THEOREM 384
4. SCHWACHE KONVERGENZ VON VERTEILUNGSFUNKTIONEN UND DIE SAETZE VON
HELLY-BRAY UND HELLY 386
5. DER SATZ VON PROCHOROV 392
6. DIE LAPLACE-TRANSFORMATION 398
7. DIE PROCHOROV-METRIK 401
AUFGABEN 408
IMAGE 8
XVI INHALTSVERZEICHNIS
ANHANG A. TOPOLOGISCHE RAEUME 410
ANHANG B. TRANSFINITE INDUKTION 414
LITERATURVERZEICHNIS 416
NAMENVERZEICHNIS 423
SYMBOLVERZEICHNIS 428
SACHVERZEICHNIS 429
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