Mathematik verstehen und anwenden: von den Grundlagen bis zu Fourier-Reihen und Laplace-Transformation
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Heidelberg
Spektrum, Akad. Verl.
2011
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INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT V
1 GRUNDLAGEN 1
1.1 MENGENLEHRE ; 1
1.1.1 MENGENBEGRIFF 2
1.1.2 MENGENOPERATIONEN 4
1.1.3 ABBILDUNGEN 7
1.2 LOGIK 12
1.2.1 AUSSAGENLOGIK 12
1.2.2 PRAEDIKATENLOGIK 16
1.2.3 BEWEISE 21
1.3 REELLE ZAHLEN 23
1.3.1 NATUERLICHE UND GANZE ZAHLEN 23
1.3.2 RATIONALE ZAHLEN 33
1.3.3 REELLE ZAHLEN 40
1.4 RECHNEN MIT REELLEN ZAHLEN 48
1.4.1 POTENZEN UND WURZELN 49
1.4.2 SUMMEN UND PRODUKTE, BINOMISCHER LEHRSATZ 51
1.4.3 BETRAEGE UND UNGLEICHUNGEN 59
1.4.4 UEBER DAS LOESEN VON GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN 64
1.5 REELLE FUNKTIONEN 71
1.5.1 NOTATION REELLER FUNKTIONEN 71
1.5.2 EIGENSCHAFTEN VON REELLEN FUNKTIONEN 74
1.5.3 UMKEHRFUNKTION 79
1.5.4 VERKETTUNG VON FUNKTIONEN 81
1.5.5 SIGNUM- UND BETRAGSFUNKTION 83
1.5.6 POLYNOME UND GEBROCHEN-RATIONALE FUNKTIONEN 84
1.5.7 POTENZ- UND WURZELFUNKTIONEN 94
1.5.8 EXPONENTIALFUNKTIONEN UND LOGARITHMEN 95
1.5.9 TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 105
1.5.10 HYPERBEL- UND AREAFUNKTIONEN 121
1.6 KOMPLEXE ZAHLEN 124
1.6.1 ERWEITERUNG DER REELLEN ZAHLEN UM EINE IMAGINAERE EINHEIT 125 1.6.2
KOMPLEXE ARITHMETIK 126
1.6.3 DIE GAUSS'SCHE ZAHLENEBENE 127
1.6.4 EULER'SCHE GLEICHUNG UND POLARFORM KOMPLEXER ZAHLEN 130 1.6.5
KOMPLEXE WECHSELSTROMRECHNUNG* 136
1.6.6 FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 139
1.7 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME UND MATRIZEN 144
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/100940895X
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
VIII INHALTSVERZEICHNIS
1.7.1 LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 145
1.7.2 MATRIZEN, ZEILEN- UND SPALTENVEKTOREN 146
1.7.3 LOESEN LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 154
1.7.4 INVERSE MATRIX UND TRANSPONIERTE MATRIX 161
1.7.5 SYMMETRISCHE UND ORTHOGONALE MATRIZEN 166
1.7.6 DREIECKSMATRIZEN, BANDMATRIZEN UND LR-ZERLEGUNG * 168 1.8
DETERMINANTEN 171
1.8.1 DEFINITION UND ELEMENTARE EIGENSCHAFTEN VON DETERMINANTEN 172
1.8.2 DETERMINANTEN UND LINEARE GLEICHUNGSSYSTEME 179
1.9 AUFGABEN 183
2 DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 195
2.1 FOLGEN 195
2.1.1 DEFINITION UND GRUNDBEGRIFFE VON FOLGEN 196
2.1.2 KONVERGENZ UND DIVERGENZ VON FOLGEN 200
2.1.3 RECHNEN MIT KONVERGENTEN FOLGEN 203
2.1.4 KONVERGENZKRITERIEN 206
2.1.5 DIE EULER'SCHE ZAHL E ALS GRENZWERT VON FOLGEN 210
2.1.6 APPROXIMATION REELLER POTENZEN 212
2.1.7 BESTIMMTE DIVERGENZ 212
2.1.8 HAEUFUNGSPUNKTE EINER FOLGE * 215
2.1.9 FOLGENKOMPAKTHEIT UND CAUCHY-FOLGEN * 216
2.2 ZAHLEN-REIHEN 219
2.2.1 DEFINITION UND KONVERGENZ EINER REIHE 220
2.2.2 RECHNEN MIT KONVERGENTEN REIHEN 223
2.2.3 ALTERNATIVEN ZUR DEFINITION DER REIHENKONVERGENZ 224
2.2.4 ABSOLUTE KONVERGENZ 226
2.2.5 KONVERGENZKRITERIEN FUER REIHEN 229
2.3 GRENZWERTE VON FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 237
2.3.1 UMGEBUNGEN UND UEBERDECKUNGEN 237
2.3.2 GRENZWERTE VON FUNKTIONEN 239
2.3.3 STETIGKEIT 251
2.3.4 EIGENSCHAFTEN STETIGER FUNKTIONEN 258
2.3.5 UNSTETIGKEITSSTELLEN 264
2.4 DIFFERENZIERBARKEIT UND ABLEITUNGEN 267
2.4.1 ABLEITUNG ALS GRENZWERT DES DIFFERENZENQUOTIENTEN 268 2.4.2
ABLEITUNGSREGELN 274
2.4.3 NEWTON-VERFAHREN 283
2.4.4 DAS DIFFERENZIAL 284
2.4.5 HOEHERE ABLEITUNGEN 286
2.5 ZENTRALE SAETZE DER DIFFERENZIALRECHNUNG 288
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS
2.5.1 SATZ VON FORMAT: NOTWENDIGE BEDINGUNG FUER LOKALE EXTREMA 288 2.5.2
MITTELWERTSAETZE DER DIFFERENZIALRECHNUNG 289
2.5.3 REGELN VON L'HOSPITAL 294
2.6 INTEGRALRECHNUNG 301
2.6.1 DEFINITION DES INTEGRALS 301
2.6.2 EIGENSCHAFTEN DES INTEGRALS 306
2.6.3 HAUPTSATZ DER DIFFERENZIAL- UND INTEGRALRECHNUNG 311
2.6.4 RECHENREGELN ZUR INTEGRATION 315
2.6.5 NUMERISCHE INTEGRATION 330
2.6.6 UNEIGENTLICHE INTEGRALE 333
2.6.7 VOLUMEN UND FLAECHEN 338
2.7 SATZ VON TAYLOR, KURVENDISKUSSION UND EXTREMALPROBLEME 342
2.7.1 TAYLOR-SUMMEN 342
2.7.2 KURVENDISKUSSION UND EXTREMALPROBLEME 346
2.8 POTENZREIHEN 356
2.8.1 UNENDLICHE TAYLOR-SUMMEN UND POTENZREIHEN 356
2.8.2 EINSCHUB: FUNKTIONENFOLGEN * 360
2.8.3 KONVERGENZ VON POTENZREIHEN 369
2.8.4 DIFFERENZIATION UND INTEGRATION VON POTENZREIHEN 373
2.8.5 DER ZUSAMMENHANG ZWISCHEN POTENZREIHEN UND TAYLOR-REIHEN . . .
374 2.8.6 DIE KOMPLEXE EXPONENTIALFUNKTION 375
2.9 AUFGABEN 377
3 LINEARE ALGEBRA 385
3.1 VEKTOREN IN DER EBENE UND IM RAUM 385
3.1.1 VEKTOREN: GRUNDBEGRIFFE UND ELEMENTARE RECHENREGELN 385 3.1.2
SKALARPRODUKT UND ORTHOGONALITAET 393
3.1.3 VEKTORPRODUKT UND SPATPRODUKT 399
3.1.4 ANWENDUNGEN DES SKALAR-, VEKTOR- UND SPATPRODUKTS 405
3.2 ANALYTISCHE GEOMETRIE 407
3.2.1 GERADEN IN DER EBENE UND IM RAUM 408
3.2.2 EBENEN IM RAUM 415
3.3 VEKTORRAEUME 422
3.3.1 DEFINITION DES VEKTORRAUMS 422
3.3.2 LINEARE UNABHAENGIGKEIT, BASIS UND DIMENSION 429
3.3.3 SKALARPRODUKT UND NORM 438
3.3.4 ORTHOGONALITAET, ORTHOGONAL- UND ORTHONORMALSYSTEME 442 3.4 LINEARE
ABBILDUNGEN 453
3.4.1 LINEARE ABBILDUNGEN UND MATRIZEN 454
3.4.2 SUMME, SKALARES VIELFACHES UND VERKETTUNG LINEARER ABBILDUNGEN .
458 3.4.3 KERN UND BILD EINER LINEAREN ABBILDUNG, DIMENSIONSSATZ 461
IMAGE 4
INHALTSVERZEICHNIS
3.4.4 UMKEHRABBILDUNG UND INVERSE MATRIX 468
3.4.5 KOORDINATEN- UND BASISTRANSFORMATIONEN * 470
3.5 LOESUNGSTHEORIE LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 474
3.5.1 LOESUNGSRAUM EINES LINEAREN GLEICHUNGSSYSTEMS 474
3.5.2 BERECHNUNG VON LINEAREN ELEKTRISCHEN NETZWERKEN* 478 3.6
EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 487
3.6.1 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN 487
3.6.2 DIAGONALISIERUNG VON MATRIZEN * 496
3.7 AUFGABEN 500
4 FUNKTIONEN MIT MEHREREN VARIABLEN 505
4.1 GRENZWERTE UND STETIGKEIT 507
4.2 ABLEITUNGEN VON REELLWERTIGEN FUNKTIONEN MIT MEHREREN VARIABLEN 512
4.2.1 ABLEITUNGSBEGRIFFE 512
4.2.2 HOEHERE ABLEITUNGEN 521
4.2.3 FEHLERRECHNUNG* 525
4.3 EXTREMWERTRECHNUNG 528
4.3.1 LOKALE UND GLOBALE EXTREMA 528
4.3.2 EXTREMA UNTER NEBENBEDINGUNGEN * 534
4.4 INTEGRALRECHNUNG MIT MEHREREN VARIABLEN 541
4.4.1 INTEGRATION UEBER MEHRDIMENSIONALE INTERVALLE 541
4.4.2 INTEGRATION UEBER NORMALBEREICHE 548
4.4.3 SUBSTITUTIONSREGEL 552
4.4.4 POLAR-, ZYLINDER- UND KUGELKOORDINATEN 553
4.5 VEKTORANALYSIS 559
4.5.1 VEKTORFELDER 559
4.5.2 KURVEN 560
4.5.3 QUELLEN, SENKEN UND WIRBEL IN VEKTORFELDERN 563
4.5.4 KURVENINTEGRALE 565
4.5.5 SATZ VON GREEN * 572
4.5.6 FLAECHENINTEGRALE* 573
4.5.7 DIE SAETZE VON GAUSS UND STOKES * 576
4.6 AUFGABEN 582
5 GEWOEHNLICHE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN 585
5.1 EINFUEHRUNG 585
5.1.1 BEISPIELE FUER DIFFERENZIALGLEICHUNGEN AUS PHYSIK UND TECHNIK 586
5.1.2 GRUNDBEGRIFFE 590
5.1.3 KONSTRUKTION EINER LOESUNG, EXISTENZ UND EINDEUTIGKEIT 594 5.1.4
ITERATIONSVERFAHREN VON PICARD UND LINDELOEF 598
5.2 LOESUNGSMETHODEN FUER DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 599 5.2.1
LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 600
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS XI
5.2.2 NICHT-LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 613 5.3
LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGSSYSTEME 626
5.3.1 MOTIVATION: EINE SCHALTUNG MIT INDUKTIVITAETEN 626
5.3.2 GRUNDBEGRIFFE 627
5.3.3 HOMOGENE LOESUNGEN 630
5.3.4 PARTIKULAERE LOESUNGEN 635
5.3.5 KOMPLEXE UND MEHRFACHE EIGENWERTE * 640
5.4 LINEARE DIFFERENZIALGLEICHUNGEN HOEHERER ORDNUNG 650
5.4.1 LOESUNG UEBER EIN LINEARES DIFFERENZIALGLEICHUNGSSYSTEM 650 5.4.2
LOESUNG MIT EINEM ANSATZ VOM TYP DER RECHTEN SEITE 656
5.4.3 SCHWINGUNGSGLEICHUNG* 662
5.4.4 EINE SCHWINGENDE SAITE 667
5.5 AUFGABEN 669
6 FOURIER-REIHEN UND INTEGRALTRANSFORMATIONEN 673
6.1 FOURIER-REIHEN 674
6.1.1 FOURIER-KOEFFIZIENTEN UND DEFINITION DER FOURIER-REIHE 675 6.1.2
SINUS- UND KOSINUS-FORM DER FOURIER-REIHE 681
6.1.3 KOMPLEXWERTIGE FUNKTIONEN UND FOURIER-KOEFFIZIENTEN 683 6.1.4
FALTUNG 688
6.1.5 KONVERGENZ VON FOURIER-REIHEN * 696
6.1.6 GIBBS-PHAENOMEN 706
6.1.7 ENTWICKLUNG 2P-PERIODISCHER FUNKTIONEN 710
6.2 FOURIER-TRANSFORMATION 711
6.2.1 FOURIER-INTEGRAL 711
6.2.2 FOURIER-UMKEHRTRANSFORMATION 715
6.2.3 FOURIER-KOEFFIZIENTEN UND FOURIER-TRANSFORMATION 717
6.2.4 EIGENSCHAFTEN DER FOURIER-TRANSFORMATION 718
6.2.5 FALTUNG 723
6.3 LAPLACE-TRANSFORMATION 726
6.3.1 VON DER FOURIER- ZUR LAPLACE-TRANSFORMATION 726
6.3.2 RECHNEN MIT DER LAPLACE-TRANSFORMATION 730
6.3.3 LAPLACE-TRANSFORMATION IN DER SYSTEMTHEORIE * 742
6.4 DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION 750
6.4.1 AUSGANGSPUNKT: KOEFFIZIENTEN EINER FOURIER-REIHE 753
6.4.2 DISKRETE FOURIER-TRANSFORMATION 756
6.4.3 DISKRETE FALTUNG * 764
6.4.4 FFT-ALGORITHMUS 768
6.4.5 NUMERISCHE BERECHNUNG VON FOURIER-KOEFFIZIENTEN 773
6.4.6 ABTASTSATZ FUER TRIGONOMETRISCHE POLYNOME 775
6.4.7 LECK-EFFEKT (LEAKAGE) * 783
IMAGE 6
XII INHALTSVERZEICHNIS
6.4.8 NUMERISCHE BERECHNUNG DER FOURIER-TRANSFORMATION 784 6.4.9
ABTASTSATZ DER FOURIER-TRANSFORMATION 785
6.4.10 LECK-EFFEKT UND FENSTERFUNKTIONEN* 792
6.4.11 ZUSAMMENFASSUNG 793
6.5 AUFGABEN 793
7 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG UND STATISTIK 799
7.1 BESCHREIBENDE STATISTIK 800
7.1.1 GRUNDBEGRIFFE 800
7.1.2 EMPIRISCHE VERTEILUNGSFUNKTIONEN 805
7.1.3 LAGEPARAMETER 806
7.1.4 STREUUNGSPARAMETER 811
7.1.5 ZWEIDIMENSIONALE HAEUFIGKEITSVERTEILUNGEN UND KORRELATION 814 7.1.6
LINEARE REGRESSIONSRECHNUNG 817
7.2 WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG 822
7.2.1 ZUFALLSEXPERIMENTE UND EREIGNISSE 822
7.2.2 WAHRSCHEINLICHKEIT UND SATZ VON LAPLACE 825
7.2.3 KOMBINATORIK 828
7.2.4 UNABHAENGIGE EREIGNISSE UND BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEITEN 833 7.2.5
ZUFALLSVARIABLEN 841
7.2.6 LAGE- UND STREUUNGSPARAMETER VON ZUFALLSVARIABLEN 853 7.2.7 GESETZ
DER GROSSEN ZAHLEN 862
7.2.8 ZENTRALER GRENZWERTSATZ 867
7.3 SCHLIESSENDE STATISTIK 873
7.3.1 PUNKTSCHAETZUNGEN 874
7.3.2 BEGRIFFE DER FEHLERRECHNUNG* 877
7.3.3 INTERVALLSCHAETZUNGEN 878
7.3.4 HYPOTHESENTESTS 886
7.4 AUFGABEN 888
LITERATURVERZEICHNIS 895
INDEX 899 |
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| author | Goebbels, Steffen 1969- Ritter, Stefan 1964- |
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