Elementare Stochastik: mathematische Grundlagen und didaktische Konzepte
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Heidelberg
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2011
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INHALTSVERZEICHNIS
1 BESCHREIBENDE STATISTIK 1
1.1 DIE HISTORISCHE ENTWICKLUNG DER STATISTIK - EIN KURZER ABRISS 1
1.1.1 DIE AMTLICHE STATISTIK 2
1.1.2 DIE POLITISCHE ARITHMETIK 5
1.1.3 DIE UNIVERSITAETSSTATISTIK UND IHRE WEITERENTWICKLUNG 5 1.2
GRUNDBEGRIFFE DER BESCHREIBENDEN STATISTIK UND AUFBEREITUNG DER DATEN 8
1.2.1 STATISTISCHE ERHEBUNG, DATEN, MERKMALE, MERKMALSAUSPRAEGUNGEN 8
1.2.2 GRAPHISCHE DARSTELLUNGEN DER DATEN 14
1.2.3 LAGEPARAMETER 29
1.2.4 STREUUNGSPARAMETER 45
1.2.5 LINEARE REGRESSION 53
1.2.6 KORRELATION 63
1.2.7 FEHLER UND MANIPULATIONSMOEGLICHKEITEN 67
1.2.8 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 68
2 WAHRSCHEINLICHKEIT 71
2.1 ZUFALL UND WAHRSCHEINLICHKEIT 71
2.2 MATHEMATIK DES ZUFALLS 72
2.3 ENTWICKLUNG DER KLASSISCHEN WAHRSCHEINLICHKEIT 76
2.3.1 BERUEHMTE HISTORISCHE BEISPIELE UND EINIGE INTERESSANTE
BRIEFWECHSEL 76
2.3.2 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 84
2.4 ZUR GESCHICHTLICHEN ENTWICKLUNG DER STOCHASTIK 85
2.5 SCHRITTE ZUR MATHEMATISIERUNG 89
2.5.1 ZUM MODELLBILDUNGSPROZESS 89
2.5.2 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 96
2.6 ENDLICHE WAHRSCHEINLICHKEITSRAEUME (TEIL 1) 97
2.6.1 DAS AXIOMENSYSTEM VON KOLMOGOROFF 97
2.6.2 FOLGERUNGEN AUS DEM AXIOMENSYSTEM - RECHNEN MIT
WAHRSCHEINLICHKEITEN 103
2.6.3 EIN ZUM AXIOMENSYSTEM VON KOLMOGOROFF AEQUIVALENTES AXIOMENSYSTEM
112
2.6.4 DIE LAPLACE-VERTEILUNG (GLEICHVERTEILUNG) 115
2.6.5 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 119
2.7 GEOMETRISCHE WAHRSCHEINLICHKEITEN 121
2.7.1 VIER BEISPIELE: GLUECKSRAD, ZIELSCHEIBE, PARADOXON VON BERTRAND,
NADELPROBLEM VON BUFFON 121 2.7.2 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 128
2.8 KOMBINATORISCHES ZAEHLEN 129
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/1009408690
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
X INHALTSVERZEICHNIS
2.8.1 ABZAEHLEN 129
2.8.2 ALLGEMEINES ZAEHLPRINZIP DER KOMBINATORIK 131
2.8.3 KOMBINATORISCHE FIGUREN 137
2.8.4 ANWENDUNGEN DER KOMBINATORISCHEN FIGUREN 153
2.8.5 VIER-SCHRITT-MODELL ZUR LOESUNG VON KOMBINATORIKAUFGABEN - EIN
DIDAKTISCHER ASPEKT 162
2.8.6 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 165
2.9 ENDLICHE WAHRSCHEINLICHKEITSRAEUME (TEIL 2) 168
2.9.1 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT - STOCHASTISCHE UNABHAENGIGKEIT VON
EREIGNISSEN 168
2.9.2 BERNOULLI-KETTEN 187
2.9.3 TOTALE WAHRSCHEINLICHKEIT UND SATZ VON BAYES 194
2.9.4 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 207
3 SIMULATION UND ZUFALLSZAHLEN 213
3.1 BEGRIFFSERKLAERUNGEN UND BEISPIELE 213
3.2 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 226
4 ZUFALLSVARIABLE, ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ 229
4.1 ZUFALLSVARIABLE UND WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG 229
4.2 KUMULATIVE VERTEILUNGSFUNKTION EINER ZUFALLSVARIABLEN 237 4.3
ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ DISKRETER ZUFALLSVARIABLEN 239 4.3.1
ERWARTUNGSWERT 239
4.3.2 VARIANZ 245
4.4 MEHRERE ZUFALLSVARIABLE AUF EINEM WAHRSCHEINLICHKEITSRAUM 250 4.4.1
UNABHAENGIGKEIT VON ZUFALLSVARIABLEN 250
4.4.2 ERWARTUNGSWERT EINER SUMME DISKRETER ZUFALLSVARIABLER 252 4.4.3
VARIANZ EINER SUMME DISKRETER ZUFALLSVARIABLER 253 4.5 AUFGABEN UND
ERGAENZUNGEN 255
5 SPEZIELLE DISKRETE VERTEILUNGEN 259
5.1 BINOMIALVERTEILUNG 259
5.2 HYPERGEOMETRISCHE VERTEILUNG 263
5.3 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN VERTEILUNGEN 267
5.4 GEOMETRISCHE VERTEILUNG (PASCAL-VERTEILUNG) 269
5.5 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 273
6 UNGLEICHUNG VON TSCHEBYSCHEFF, SCHWACHES GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN 275
6.1 UNGLEICHUNG VON TSCHEBYSCHEFF 275
6.2 SCHWACHES GESETZ DER GROSSEN ZAHLEN 279
6.3 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 282
7 ALLGEMEINE WAHRSCHEINLICHKEITSRAEUME 283
7.1 ABZAEHLBAR-UNENDLICHE WAHRSCHEINLICHKEITSRAEUME 284
7.2 UEBERABZAEHLBAR-UNENDLICHE WAHRSCHEINLICHKEITSRAEUME 286
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS XI
7.2.1 DIE MENGE IR UND DAS SYSTEM DER BORELMENGEN AUF IR 286 7.2.2
ABSTRAKTE WAHRSCHEINLICHKEITSRAEUME 290
7.3 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 292
8 WAHRSCHEINLICHKEITSMASSE AUF (IR, B{X)) 293
8.1 VERTEILUNGSFUNKTIONEN UND DICHTEFUNKTIONEN 295
8.2 VERTEILUNGSFUNKTIONEN ZU VORGEGEBENEN DICHTEFUNKTIONEN 300 8.2.1
KONSTRUKTION EINER STETIGEN VERTEILUNGSFUNKTION ZU EINER DICHTEFUNKTION
300
8.2.2 DIE BERECHNUNG VON WAHRSCHEINLICHKEITEN DURCH INTEGRALE UEBER EINE
DICHTEFUNKTION 301
8.3 RECHTECKVERTEILUNG 303
8.4 EXPONENTIALVERTEILUNG 304
8.5 NORMALVERTEILUNG (GAUSS-VERTEILUNG) 308
8.5.1 EIGENSCHAFTEN DER DICHTEFUNKTION 309
8.5.2 DIE STANDARD-NORMALVERTEILUNG 311
8.5.3 APPROXIMATION DER BINOMIALVERTEILUNG MITTELS DER NORMAL-
VERTEILUNG 316
8.5.4 DIE SIGMA-REGELN FUER DIE NORMALVERTEILUNG 318
8.6 ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ FUER VERTEILUNGSFUNKTIONEN 319 8.7
AUSBLICK: ABSTRAKTE ZUFALLSVARIABLE 325
8.7.1 MESSBARE ABBILDUNGEN 325
8.7.2 ZUFALLSVARIABLE MIT WERTEN IN IR 326
8.8 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 327
9 SCHAETZEN 331
9.1 DIE MAXIMUM-LIKELIHOOD-METHODE 331
9.2 SCHAETZEN VON ERWARTUNGSWERT UND VARIANZ 337
9.3 KONFIDENZINTERVALLE 342
9.3.1 KONFIDENZINTERVALL FUER DIE WAHRSCHEINLICHKEIT BEI EINER BI-
NOMIALVERTEILTEN ZUFALLSVARIABLEN 342
9.3.2 KONFIDENZINTERVALLE BEI N(SS, 7 2 )-VERTEILTEN FUNKTIONEN 345 9.4
AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 347
10 TESTEN 349
10.1 EINSEITIGE TESTS 349
10.2 ZWEISEITIGE TESTS 353
10.3 TESTEN UNTER VERWENDUNG DER NORMALVERTEILUNG 356
10.4 ZUSAMMENFASSUNG ZUM THEMA *HYPOTHESENTEST" 360
10.5 QUALITAETSKONTROLLE 361
10.6 AUFGABEN UND ERGAENZUNGEN 372
11 LOESUNGSHINWEISE ZU DEN AUFGABEN 375'
11.1 AUFGABEN AUS KAPITEL 1, ABSCHNITT 1.2.8 375
11.2 AUFGABEN AUS KAPITEL 2 379
IMAGE 4
XII INHALTSVERZEICHNIS
11.2.1 ABSCHNITT 2.3.2 379
11.2.2 ABSCHNITT 2.5.2 379
11.2.3 ABSCHNITT 2.6.5 380
11.2.4 ABSCHNITT 2.7.2 380
11.2.5 ABSCHNITT 2.8.6 381
11.2.6 ABSCHNITT 2.9.4 382
11.3 AUFGABEN AUS KAPITEL 3, ABSCHNITT 3.2 385
11.4 AUFGABEN AUS KAPITEL 4, ABSCHNITT 4.5 387
11.5 AUFGABEN AUS KAPITEL 5, ABSCHNITT 5.5 390
11.6 AUFGABEN AUS KAPITEL 6, ABSCHNITT 6.3 391
11.7 AUFGABEN AUS KAPITEL 7, ABSCHNITT 7.3 392
11.8 AUFGABEN AUS KAPITEL 8, ABSCHNITT 8.8 393
11.9 AUFGABEN AUS KAPITEL 9, ABSCHNITT 9.4 395
11.10 AUFGABEN AUS KAPITEL 10, ABSCHNITT 10.6 398
LITERATUR 403
INDEX 411 |
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