Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften:
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Heidenau
PD-Verl.
2010
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Inhaltsverzeichnis
1 Lineare Algebra 13
1.1 Vektorrechnung 13
1.1.1 Grundlagen 13
1.17 Lineare Abhängigkeit 19
1.1.3
Ve
к
(orni u
me
23
1.1.1
Dimension
und Hasis
25
1.2 Matrizen 27
1.2.1 Definition einer
Matrix
27
1.2.2
Elementan1
Rechenregeln für Matrizen 29
1.2.2.1 Addition von Matrizen 29
1.2.2.2 Multiplikation einer Matrix mit einer reellen Zahl 30
1.2.2.3
Transposition
von Matrizen 30
1.2.3 Multiplikation von Matrizen
mil
Matrizen 32
1.2.3.1 Grundlagen 32
1.2.3.2 inhaltliche Interpretation von Matrizenprodukten 35
1.2.3.3 Hinheilsmatrizen und Grundlagen zu
inversen
Matrizen 41
1.2.3.4 Übungsaufgaben zur Matrizenmultiplikation 45
1.3 Lineare Gleichungssysteme 46
1.3.1 Strukturiertes Additionsverfahren 46
1.3.2 Der GauiS-Algorithmus 49
1.3.3 Mehrdeutige Lösungen 53
1.3.4 Sehema für den Gauß- Algorithmus 56
1.3.5 Umgehen von Brüehen 58
1.3.6 Lösbarkeit linearer Gleichungssysteme 60
1.3.7 Weitere Zusammenhänge 62
1.4 Determinanten, Rang und
Inverse
64
1.4.1 Determinanten 64
1.4.1.1 Grundlagen 64
1.4.1.2 Der
Laplace
Entwicklungssatz 67
1.4.1.3 Der Zahlenwert einer Determinante 70
1.4.1.4 Rechenregeln für Determinanten 71
1.4.2 Rang einer Matrix 73
1.4.3
Inverse
Matrizen 76
1.4.3.1 Grundlagen 76
1.4.3.2 Existenz der
inversen
Matrix 77
1.4.3.3 Bestimmung der
Inversen
mittels der adjungierten
Matrix 78
1.4.3.4 Bestimmung der
Inversen
mittels des Gauß-Algorithmus 81
1.4.3.5 Einige spezielle
inverse
Matrizen 83
1.4.4 Übungsaufgaben 84
1.4.5 Anwendungen auf lineare Gleichungssysteme 89
1.4.5.1 Mehrdeutige Lösungen und Lösbarkeit von
linearen Gleichungssystemen 89
1.4.5.2 Die Cramersche Regel 91
1.5 Formales Rechnen mit Matrizen 93
1.5.1 Grundlagen 93
1.5.2 Übungsaufgaben 99
1.6 Konkrete Überprüfung auf lineare Abhängigkeit 100
1.6.1 Grundlagen 100
1.6.2 Übungsaufgaben 104
1.7 Überprüfung auf Vektorraumeigenschaften 108
1.7.1 Grundlagen 108
1.7.2 Unterräume 112
1.7.3 Bestimmung von Dimension und Basis des
Vektorraumes 11
б
1.8 Lineare Optimierung 118
1.8.1 Grundlagen 118
1.8.2 Graphische Lösung 120
1.8.3 Spezifizierung der Optimierungsprobleme 128
1.8.4 Simplex Algorithmus 131
1.8.5 Schema zum Simplex Algorithmus 141
2 Folgen und Reihen 143
2.1 Grundlagen 143
2.2 Grenzwerte von Folgen 147
3 Funktionen 150
3.1 Begriff der Funktion 150
3.2 Ganzrationale Funktionen 152
3.3 Nullstellen von Funktionen 153
3.4 Gebrochenrationale Funktionen 155
3.5 Wurzelfunktionen 156
3.6 Umkehrfunktionen 158
3.7 Exponentialfunktion und Logarithmus 160
3.7.1 Exponentialfunktionen 160
3.7.2 Darstellung des Taschenrechners für sehr große
und sehr kleine Zahlen 162
3.7.3 Rechenregeln für Exponenten 162
3.7.4 Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion 163
3.7.5 Rechenregeln für Logarithmen 165
3.8 Trigonometrische Funktionen 166
3.8.1 Die Sinusfunktion 166
3.8.2 Winkelmaße - Bogenmaß
(rad)
und
G
rad
maß
(deg)
167
3.8.3 Cosinus und Tangens 167
3.8.4 Trigonometrische Umkehrfunktionen 167
3.9 Grenzwerte von Funktionen 168
3.9.1 Grenzwerte für
χ
gegen unendlich 168
3.9.2 Grenzwerte gegen eine reelle Zahl 169
3.9.3 Regel von de 1' Hospital 175
3.9.4 Schema zur Regel von de 1' Hospital 177
3.9.5 Übungsaufgaben 179
3.10 Stetige und unstetige Funktionen 181
4 Differentialrechnung einer Veränderlichen 184
4.1 Einführung 184
4.2 Steigung einer Funktion 185
4.2.1 Steigung einer Geraden 185
4.2.2 Steigung von Sekante und Tangente 186
4.2.3 Bestimmung der Steigung einer Punktion 188
4.2.4
Differenziêrbarkeit
191
4.3 Ableitungen verschiedener Funktionen 193
4.3.1 Ableitung für Potenzen von
χ
193
4.3.2 Ableitungen
mít
Faktoren 195
4.3.3 Ableitungen für Sinus-und Cosinusfunktionen 196
4.3.4 Ableitungen von Exponentialfunktionen 196
4.3.5 Ableitung von Umkehrfunktionen 197
4.4 Ableitungen von verknüpften Funktionen 200
4.4.1 Ableitungen von Summen und Differenzen 200
4.4.2 Kettenregel 201
4.4.3 Produktregel 204
4.4.4 Quotientenregel 206
4.5 Ableitungsübersicht 207
4.6 Ableitungsübungen 208
4.7 Bestimmung von Extremwerten 211
4.7.1 Einführung 211
4.7.2 Bestimmung von Hoch-, Tief- und Sattelpunkten 211
4.7.2.1 Notwendige Bedingung 211
4.7.2.2 Hinreichende Bedingung für Hoch- und Tiefpunkte 213
4.7.3
Randextrema
und Klassifizierung von
Extrema
217
4.7.4 Besonderheiten bei unstetigen Funktionen 219
4.7.5 Besonderheiten bei streng monotonen Funktionen 221
4.7.6 Schema für die Bestimmung und Klassifizierung von
Extremstellen 223
4.7.7 Übungsaufgaben 225
4.8 Wendepunkte 229
4.9 Weitere Zusammenhänge 231
4.9.1 Monotonie 231
4.9.2 Konkave und konvexe Funktionen 232
4.9.3 Newton-Verfahren 234
4.9.3.1 Grundlagen 234
4.9.3.2 Berechnung von Nullstellen 236
4.9.3.3 Konvergenz des Newton-Verfahrens 239
4.9.4 Mittelwertsatz 241
1.9.
Б
Polenzreíheii
und
'ľavlorpolynomc
242
■\М7к\
Grundlagen 242
\.\h">.2 Kntwicklung einer Funktion in eine Poienzreihe 243
■1.^.5.3
Tayíorpolynome
246
ą.
<).
ñ.4
Grafische
Interpretation
248
4.9.0.
Я
Fehlerabschätzung 250
•1.9.
Γ».
(і
Allgemeine
ľaylorpoiynoine
252
1.9.6 Elastizitäten 254
5 Integralrechnung 259
5.1 Grundlagen 259
5.2 Berechnung von Integralen 262
5.3 Bestimmtes Integral 263
5.4 Flächenberechnung 265
5.5 Bestimmung von einfachen Integralen 267
Г).5.1
Kinfachc
Slam
m
funk
t
ionen
267
5.5.2 Integrale von Funktionen, die addiert oder
mil
Konstanlen
multipliziert werden 269
5.5.3 Einfache verkettete Funktionen 270
5.6 Komplexere Integrationsmethoden 271
5.6.1 Substitutionsregel 271
5.6.1.1 Grundlagen 271
5.6.1.2 Substitution als Umkehrung der Kettenregel 273
5.6.1.3 Substitution zur Umformung des
integrals
275
5.6.1.4 Substitution bei bestimmten Integralen 277
5.6.1.5 Schema zur Integration mittels Substitution 279
5.6.2 Partielle Integration 280
5.6.3 Partialbruchzerlegung 282
5.6.3.1 Grundlagen 282
5.6.3.2 Weitere Zusammenhänge 285
5.6.3.3 Schema zur Partialbruchzerlegung 291
5.7 Tabelle wichtiger Stammfunktionen 296
5.8 Integralfunktionen 299
5.9 Uneigentliche Integrale 300
5.10 Berechnung von Summen mittels Integralen 303
5.11 Rotationskörper 304
5.12 Übungsaufgaben 305
6 Differential-und Differenzengleichungen 308
6.1 Differentialgleichungen 308
6.1.1 Ökonomischer Bezug 308
6.1.2 Einteilungen von Differentialgleichungen 309
6.1.3 Trennung der Variablen 310
6.1.4 Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung 313
6.1.4.1 Homogene lineare Differentialgleichung 314
6.1.4.2 Inhomogene lineare Differentialgleichung 315
6.1.5 Aufgaben zu Differentialgleichungen 317
6.2 Differenzengleichungen 319
7 Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher 322
7.1 Grundlagen 322
7.2 Partielle Ableitungen 325
7.2.1 Grundlagen 325
7.2.2 Der Gradient einer Funktion 327
7.2.3 Übungen zu partiellen Ableitungen 328
7.3 Extremwerte von Funktionen mit mehreren Variablen 331
7.4 Lagrangetechnik 338
7.4.1 Grundlagen 338
7.4.2 Hinreichende Bedingung 342
7.4.3 Beispielaufgaben 343
7.4.3.1 Funktionen mit mehreren Nebenbedingungen 343
7.4.3.2 Verknüpfte Funktionen 345
7.4.3.3 Minimalkostenkombination 347
7.5 Totales Differential 349
7.6 Abbildungen in den Rn 353
7.6.1 Ableitungsmatrizen 353
7.6.2 Mehrdimensionale Kettenregel 354
7.6.3 Aufgaben zur mehrdimensionalen Kettenregel 354
8 Finanzmathematik 357
8.1 Grundlagen 357
8.2 Auf- und Abzinsen 357
8.3 Konstante Zahlungsströme (Renten) 360
8.4 Vorschüssige Zinszahlungen 362
8.5 Unterjährige und kontinuierliche Verzinsung 362
9 Anhang 365
9.1 Lösungen von Gleichungen 365
9.1.1 Lineare (ileichungen 365
9.1.2 Quadratische Gleichungen 366
!).1.2.1 Quadratischo Ergänzung 366
í).
1.2.2
pq-ľormel
367
í).
1.2.3 Weite iv Zusammenhänge 368
9.1.3 Homogene
(ìleichungen
höherer Ordnung 369
9.1.1 Inhomogene
lìleichungen
höht1 rer Ordnung 369
9.1.
Γ)
(ìleiclumgen
mit Quotienten 371
9.1.6 Nicht lineare
(ìleichungssyst
eine 371
9.1.7 Ungleichungen 372
9.2 Bruchrechnen 375
9.3 Grundlegende Rechenregeln 378
9.3.1 Wurzeln und Potenzen 378
9.3.2 Multiplizieren von Klammern 378
9.4 Typische Fehler 380
9.5 Formeln 382
9.5.1 Rechenregeln für Matrizen 382
9.5.2 Rechenregeln für Determinanten 382
9.5.3 Rechenregeln für den Rang 383
9.5.4
Inverse
Matrizen 384
9.5.5 Begriffe zu Matrizen 384
9.5.6 Lineare Gleichungssysteme 385
9.5.7 Bruchrechnen 386
9.5.8 Rechnen mit Exponenten 386
9.5.9 Logarithmen 387
9.5.10 Wichtige Identitäten 387
9.5.11 Ableitungsregeln 387
9.5.12 Ableitungsübersicht 388
9.5.13 Integrationsregeln 388
9.5.14Tabelle wichtiger Stammfunktionen 389
9.6 Mathematische Zeichen 390
9.7 Griechisches Alphabet 392
Stichwortverzeichnis 394 |
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