Mathematik für Ingenieure und Naturwissenschaftler: ein Lehr- und Arbeitsbuch für das Grundstudium [5] Klausur- und Übungsaufgaben : 632 Aufgaben mit ausführlichen Lösungen zum Selbststudium und zur Prüfungsvorbereitung
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2010
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Inhaltsverzeichnis
VII
A
Funktionen und Kurven
ι
1 Ganzrationale Funktionen (Polynomfunktionen) . 1
2 Gebrochenrationale Funktionen. 9
3 Trigonometrische Funktionen und Arkusfunktionen. 19
4
Exponential-
und Logarithmusfunktionen. 33
5 Hyperbel- und
Areafunktionen
. 41
6 Funktionen und Kurven in Parameterdarstellung. 46
7 Funktionen und Kurven in Polarkoordinaten. 53
В
Differentialrechnung. 6i
1 Ableitungsregeln . 61
1.1 Produktregel . 61
1.2 Quotientenregel. 64
1.3 Kettenregel. 67
1.4 Kombinationen mehrerer Ableitungsregeln . 72
1.5 Logarithmische Ableitung . 77
1.6 Implizite Differentiation. 80
1.7 Differenzieren in der Parameterform . 83
1.8 Differenzieren in Polarkoordinaten . 86
2 Anwendungen . 89
2.1 Einfache Anwendungen in Physik und Technik. 89
2.2 Tangente und Normale . 95
2.3 Linearisierung einer Funktion . 106
2.4 Krümmung einer ebenen Kurve . 108
2.5 Relative Extremwerte, Wende- und Sattelpunkte. 112
2.6 Kurvendiskussion. 120
2.7 Extremwertaufgaben . 131
2.8 Tangentenverfahren von Newton . 142
2.9 Grenzberechnung nach
Bernoulli
und de L'Hospital. 146
Vili
Inhaltsverzeichnis
С
Integralrechnung. 151
1 Integration durch Substitution. 151
2 Partielle Integration (Produktintegration) . 161
3 Integration einer echt gebrochenrationalen Funktion
durch Partialbruchzerlegung des
Integranden
. 168
4 Numerische Integration. 175
5 Anwendungen der Integralrechnung . 180
5.1 Flächeninhalt, Flächenschwerpunkt, Flächenträgheitsmomente. 180
5.2 Rotationskörper
(Volumen, Mantelfläche, Massenträgheitsmoment, Schwerpunkt). 186
5.3 Bogenlänge, lineare und quadratische Mittelwerte . 196
5.4 Arbeitsgrößen, Bewegungen (Weg, Geschwindigkeit, Beschleunigung) . 203
D
Taylor- und Fourier-Reihen. 208
1 Potenzreihenentwickungen. 208
1.1 Mac Laurin'sche und Taylor-Reihen . 208
1.2 Anwendungen . 220
2 Fourier-Reihen . 235
E
Partielle Differentiation. 247
1 Partielle Ableitungen . 247
2 Differentiation nach einem Parameter (Kettenregel) . 263
3 Implizite Differentiation. 268
4 Totales oder vollständiges Differential einer Funktion
(mit einfachen Anwendungen) . 272
5 Anwendungen . 281
5.1 Linearisierung einer Funktion . 281
5.2 Lineare Fehlerfortpflanzung . 285
5.3 Relative Extremwerte . 290
5.4 Extremwertaufgaben mit und ohne Nebenbedingungen. 294
Inhaltsverzeichnis_
ţX
F
Mehrfachintegrale
зої
1 Doppelintegrale . 301
1.1 Doppelintegrale in kartesischen Koordinaten . 301
1.2 Doppelintegrale in Polarkoordinaten . 318
2 Dreifachintegrale. 334
2.1 Dreifachintegrale in kartesischen Koordinaten. 334
2.2 Dreifachintegrale in Zylinderkoordinaten . 341
G
Gewöhnliche Differentialgleichungen. 357
1 Differentialgleichungen 1. Ordnung . 357
1.1 Differentialgleichungen mit trennbaren Variablen . 357
1.2 Integration einer Differentialgleichung durch Substitution. 365
1.3 Lineare Differentialgleichungen . 375
1.4 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten . 381
1.5 Exakte Differentialgleichungen . 393
2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten. 401
2.1 Homogene lineare Differentialgleichungen . 401
2.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen. 405
3 Integration von Differentialgleichungen 2. Ordnung durch Substitution . 425
4 Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten Koeffizienten 429
4.1 Homogene lineare Differentialgleichungen . 429
4.2 Inhomogene lineare Differentialgleichungen. 433
5 Lösung linearer Anfangswertprobleme mit Hilfe der Laplace-Transformation 440
5.1 Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . 440
5.2 Lineare Differentialgleichungen 2. Ordnung mit konstanten Koeffizienten . 447
H
Komplexe Zahlen und Funktionen. 452
1 Komplexe Rechnung . 452
1.1 Grundrechenarten. 452
1.2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen. 458
1.3 Algebraische Gleichungen, Polynomnullstellen . 464
2 Anwendungen . 470
2.1 Überlagerung von Schwingungen . 470
2.2 Komplexe Widerstände und Leitwerte . 474
2.3 Ortskurven, Netzwerkfunktionen, Widerstands- und Leitwertortskurven elektrischer
Schaltkreise . 477
X
Inhaltsverzeichnis
Ι
Vektorrechnung . 485
1
Vektoroperationen
. 485
2 Anwendungen . 498
J
Lineare
Algebra
. 522
1 Matrizen und Determinanten . 522
1.1 Rechenoperationen mit Matrizen . 522
1.2 Determinanten . 530
1.3 Spezielle Matrizen. 544
2 Lineare Gleichungssysteme . 564
3 Eigenwertprobleme . 586 |
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