Holdings: Numerik-Algorithmen

Numerik-Algorithmen: Verfahren, Beispiele, Anwendungen

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Bibliographic Details
Main Authors:	Engeln-Müllges, Gisela 1940- (Author), Niederdrenk, Klaus 1950- (Author), Wodicka, Reinhard (Author)
Format:	Kit Book
Language:	German
Published:	Berlin Springer 2011
Edition:	10., überarb. und erw. Aufl.
Series:	Xpert.press
Subjects:	Numerische Mathematik Programm Algorithmus
Online Access:	Inhaltsverzeichnis
Physical Description:	XXII, 755 S. graph. Darst.
ISBN:	9783642134722

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adam_text	INHALTSVERZEICHNIS VORWORT ZUR 10. AUFLAGE INFORMATIONEN ZUR PROGRAMMBIBLIOTHEK 1 DARSTELLUNG VON ZAHLEN UND FEHLERANALYSE 1 1.1 DEFINITION VON FEHLERGR ¨ OSSEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 ZAHLENSYSTEME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 DARSTELLUNG GANZER ZAHLEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 DARSTELLUNG REELLER ZAHLEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 RECHNUNG MIT ENDLICHER STELLENZAHL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 FEHLERQUELLEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.1 EINGABEFEHLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 1.4.2 VERFAHRENSFEHLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.4.3 FEHLERFORTPFLANZUNG UND DIE KONDITION EINES PROBLEMS . . . . . . . 19 1.4.4 RECHNUNGSFEHLER UND NUMERISCHE STABILIT ¨ AT . . . . . . . . . . . . . 24 2 L ¨ OSUNG NICHTLINEARER GLEICHUNGEN 27 2.1 AUFGABENSTELLUNG UND MOTIVATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 DEFINITIONEN UND S ¨ ATZE ¨ UBER NULLSTELLEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 ALLGEMEINES ITERATIONSVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.1 KONSTRUKTIONSMETHODE UND DEFINITION . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.2 EXISTENZ EINER L ¨ OSUNG UND EINDEUTIGKEIT DER L ¨ OSUNG . . . . . . . . 34 2.3.3 KONVERGENZ EINES ITERATIONSVERFAHRENS . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.3.1 HEURISTISCHE BETRACHTUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.3.3.2 ANALYTISCHE BETRACHTUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.4 FEHLERABSCH ¨ ATZUNGEN UND RECHNUNGSFEHLER . . . . . . . . . . . . . . 40 2.3.5 PRAKTISCHE DURCHF ¨ UHRUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.4 KONVERGENZORDNUNG EINES ITERATIONSVERFAHRENS . . . . . . . . . . . . . . . 49 2.5 NEWTONSCHE VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.5.1 DAS NEWTONSCHE VERFAHREN F ¨ UR EINFACHE NULLSTELLEN . . . . . . . . . 51 2.5.2 GED ¨ AMPFTES NEWTON-VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.5.3 DAS NEWTONSCHE VERFAHREN F ¨ UR MEHRFACHE NULLSTELLEN. DAS MODIFI- ZIERTE NEWTONSCHE VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.6 DAS SEKANTENVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 VII IX XI I I BEZEICHNUNGEN XVI INHALTSVERZEICHNIS 2.6.1 DAS SEKANTENVERFAHREN F ¨ UR EINFACHE NULLSTELLEN . . . . . . . . . . . 63 2.6.2 DAS MODIFIZIERTE SEKANTENVERFAHREN F ¨ UR MEHRFACHE NULLSTELLEN . . . 66 2.7 EINSCHLUSSVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 2.7.1 DAS PRINZIP DER EINSCHLUSSVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 2.7.2 DAS BISEKTIONSVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 2.7.3 DIE REGULA FALSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 2.7.4 DAS PEGASUS-VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 2.7.5 DAS VERFAHREN VON ANDERSON-BJ ¨ ORCK . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 2.7.6 DIE VERFAHREN VON KING UND ANDERSON-BJ ¨ ORCK-KING. DAS ILLINOIS- VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 2.7.7 EIN KOMBINIERTES EINSCHLUSSVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . 81 2.7.8 DAS ZEROIN-VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 2.8 ANWENDUNGSBEISPIELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 2.9 EZIENZ DER VERFAHREN UND ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . 89 3 VERFAHREN ZUR L ¨ OSUNG ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN 91 3.1 VORBEMERKUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 3.2 DAS HORNER-SCHEMA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 3.2.1 DAS EINFACHE HORNER-SCHEMA F ¨ UR REELLE ARGUMENTWERTE . . . . . . . 93 3.2.2 DAS EINFACHE HORNER-SCHEMA F ¨ UR KOMPLEXE ARGUMENTWERTE . . . . . 95 3.2.3 DAS VOLLST ¨ ANDIGE HORNER-SCHEMA F ¨ UR REELLE ARGUMENTWERTE . . . . . 97 3.2.4 ANWENDUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 3.3 BESTIMMUNG VON L ¨ OSUNGEN ALGEBRAISCHER GLEICHUNGEN . . . . . . . . . . . 101 3.3.1 VORBEMERKUNGEN UND ¨ UBERBLICK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 3.3.2 DAS VERFAHREN VON MULLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 3.3.3 DAS VERFAHREN VON BAUHUBER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 3.3.4 DAS VERFAHREN VON JENKINS UND TRAUB . . . . . . . . . . . . . . . . 111 3.4 ANWENDUNGSBEISPIEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 3.5 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 4 L ¨ OSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 115 4.1 AUFGABENSTELLUNG UND MOTIVATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 4.2 DEFINITIONEN UND S ¨ ATZE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 4.3 L ¨ OSBARKEITSBEDINGUNGEN F ¨ UR EIN LINEARES GLEICHUNGSSYSTEM . . . . . . . . . 132 4.4 PRINZIP DER DIREKTEN METHODEN ZUR L ¨ OSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME . . 133 4.5 DER GAUSS-ALGORITHMUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 4.5.1 GAUSS-ALGORITHMUS MIT SPALTENPIVOTSUCHE ALS RECHENSCHEMA . . . . 136 4.5.2 SPALTENPIVOTSUCHE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 4.5.3 GAUSS-ALGORITHMUS ALS DREIECKSZERLEGUNG . . . . . . . . . . . . . . . 145 4.5.4 GAUSS-ALGORITHMUS F ¨ UR SYSTEME MIT MEHREREN RECHTEN SEITEN . . . . 149 4.6 MATRIZENINVERSION MIT DEM GAUSS-ALGORITHMUS . . . . . . . . . . . . . . . 151 4.7 VERFAHREN F ¨ UR SYSTEME MIT SYMMETRISCHEN MATRIZEN . . . . . . . . . . . . 153 4.7.1 SYSTEME MIT SYMMETRISCHER, STRENG REGUL ¨ ARER MATRIX . . . . . . . . 154 4.7.2 SYSTEME MIT SYMMETRISCHER, POSITIV DEFINITER MATRIX. CHOLESKY- VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155 INHALTSVERZEICHNIS XVII 4.7.3 SYSTEME MIT SYMMETRISCHER, POSITIV DEFINITER MATRIX. VERFAHREN DER KONJUGIERTEN GRADIENTEN (CG-VERFAHREN) . . . . . . . . . . . . . . 160 4.8 DAS GAUSS-JORDAN-VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 4.9 GLEICHUNGSSYSTEME MIT TRIDIAGONALER MATRIX . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.9.1 SYSTEME MIT TRIDIAGONALER MATRIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 4.9.2 SYSTEME MIT SYMMETRISCHER, TRIDIAGONALER, POSITIV DEFINITER MATRIX 169 4.10 GLEICHUNGSSYSTEME MIT ZYKLISCH TRIDIAGONALER MATRIX . . . . . . . . . . . . 172 4.10.1 SYSTEME MIT ZYKLISCH TRIDIAGONALER MATRIX . . . . . . . . . . . . . . 172 4.10.2 SYSTEME MIT SYMMETRISCHER, ZYKLISCH TRIDIAGONALER MATRIX . . . . . 175 4.11 GLEICHUNGSSYSTEME MIT F ¨ UNFDIAGONALER MATRIX . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.11.1 SYSTEME MIT F ¨ UNFDIAGONALER MATRIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177 4.11.2 SYSTEME MIT SYMMETRISCHER, F ¨ UNFDIAGONALER, POSITIV DEFINITER MA TRIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180 4.12 GLEICHUNGSSYSTEME MIT BANDMATRIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 4.13 HOUSEHOLDERTRANSFORMATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 4.14 FEHLER, KONDITION UND NACHITERATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 4.14.1 FEHLER UND KONDITION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 4.14.2 KONDITIONSSCH ¨ ATZUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203 4.14.3 M ¨ OGLICHKEITEN ZUR KONDITIONSVERBESSERUNG . . . . . . . . . . . . . . 208 4.14.4 NACHITERATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208 4.15 GLEICHUNGSSYSTEME MIT BLOCKMATRIX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.15.1 VORBEMERKUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210 4.15.2 GAUSS-ALGORITHMUS F ¨ UR BLOCKSYSTEME . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 4.15.3 GAUSS-ALGORITHMUS F ¨ UR TRIDIAGONALE BLOCKSYSTEME . . . . . . . . . . 213 4.15.4 WEITERE BLOCK-VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 4.16 ALGORITHMUS VON CUTHILL-MCKEE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 4.17 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 5 ITERATIONSVERFAHREN ZUR L ¨ OSUNG LINEARER GLEICHUNGSSYSTEME 223 5.1 VORBEMERKUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.2 VEKTOR- UND MATRIZENNORMEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 5.3 DAS ITERATIONSVERFAHREN IN GESAMTSCHRITTEN . . . . . . . . . . . . . . . . 225 5.4 DAS GAUSS-SEIDELSCHE ITERATIONSVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234 5.5 RELAXATION BEIM GESAMTSCHRITTVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236 5.6 RELAXATION BEIM EINZELSCHRITTVERFAHREN. SOR-VERFAHREN . . . . . . . . . . 236 5.6.1 SCH ¨ ATZUNG DES RELAXATIONSKOEZIENTEN. ADAPTIVES SOR-VERFAHREN 237 6 SYSTEME NICHTLINEARER GLEICHUNGEN 241 6.1 AUFGABENSTELLUNG UND MOTIVATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 241 6.2 ALLGEMEINES ITERATIONSVERFAHREN F ¨ UR SYSTEME . . . . . . . . . . . . . . . . 244 6.3 SPEZIELLE ITERATIONSVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250 6.3.1 NEWTONSCHE VERFAHREN F ¨ UR NICHTLINEARE SYSTEME . . . . . . . . . . . 250 6.3.1.1 DAS QUADRATISCH KONVERGENTE NEWTON-VERFAHREN . . . . . . 250 6.3.1.2 GED ¨ AMPFTES NEWTON-VERFAHREN F ¨ UR SYSTEME . . . . . . . . 253 6.3.2 SEKANTENVERFAHREN F ¨ UR NICHTLINEARE SYSTEME . . . . . . . . . . . . . 254 XVIII INHALTSVERZEICHNIS 6.3.3 DAS VERFAHREN DES ST ¨ ARKSTEN ABSTIEGS (GRADIENTENVERFAHREN) F ¨ UR NICHTLINEARE SYSTEME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 6.3.4 DAS VERFAHREN VON BROWN F ¨ UR SYSTEME . . . . . . . . . . . . . . . . 257 6.4 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 258 7 EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN VON MATRIZEN 259 7.1 DEFINITIONEN UND AUFGABENSTELLUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259 7.2 DIAGONAL ¨ AHNLICHE MATRIZEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260 7.3 DAS ITERATIONSVERFAHREN NACH V. MISES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 7.3.1 BESTIMMUNG DES BETRAGSGR ¨ OSSTEN EIGENWERTES UND DES ZUGEH ¨ ORIGEN EIGENVEKTORS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262 7.3.2 BESTIMMUNG DES BETRAGSKLEINSTEN EIGENWERTES . . . . . . . . . . . . 269 7.3.3 BESTIMMUNG WEITERER EIGENWERTE UND EIGENVEKTOREN . . . . . . . . 269 7.4 KONVERGENZVERBESSERUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271 7.5 DAS VERFAHREN VON KRYLOV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.5.1 BESTIMMUNG DER EIGENWERTE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272 7.5.2 BESTIMMUNG DER EIGENVEKTOREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274 7.6 QD-ALGORITHMUS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275 7.7 TRANSFORMATIONEN AUF HESSENBERGFORM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276 7.7.1 TRANSFORMATION EINER MATRIX AUF OBERE HESSENBERGFORM . . . . . . 276 7.7.2 LR - VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280 7.7.3 QR - VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282 7.8 VERFAHREN VON MARTIN, PARLETT, PETERS, REINSCH UND WILKINSON . . . . . . 283 7.9 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284 7.10 ANWENDUNGSBEISPIEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285 8 LINEARE UND NICHTLINEARE APPROXIMATION 291 8.1 AUFGABENSTELLUNG UND MOTIVATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 291 8.2 LINEARE APPROXIMATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294 8.2.1 APPROXIMATIONSAUFGABE UND BESTE APPROXIMATION . . . . . . . . . 294 8.2.2 KONTINUIERLICHE LINEARE APPROXIMATION IM QUADRATISCHEN MITTEL . . 296 8.2.3 DISKRETE LINEARE APPROXIMATION IM QUADRATISCHEN MITTEL . . . . . 302 8.2.3.1 NORMALGLEICHUNGEN F ¨ UR DEN DISKRETEN LINEAREN AUSGLEICH . 302 8.2.3.2 DISKRETER AUSGLEICH DURCH ALGEBRAISCHE POLYNOME UNTER VERWENDUNG ORTHOGONALER POLYNOME . . . . . . . . . . . . 308 8.2.3.3 LINEARE REGRESSION. AUSGLEICH DURCH LINEARE ALGEBRAISCHE POLYNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 310 8.2.3.4 HOUSEHOLDER-TRANSFORMATION ZUR L ¨ OSUNG DES LINEAREN AUS- GLEICHSPROBLEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313 8.2.4 APPROXIMATION VON POLYNOMEN DURCH TSCHEBYSCHE-POLYNOME . . 316 8.2.4.1 BESTE GLEICHM ¨ ASSIGE APPROXIMATION, DEFINITION . . . . . . 316 8.2.4.2 APPROXIMATION DURCH TSCHEBYSCHE-POLYNOME . . . . . . 317 8.2.5 APPROXIMATION PERIODISCHER FUNKTIONEN . . . . . . . . . . . . . . . 323 8.2.5.1 KONTINUIERLICHE APPROXIMATION PERIODISCHER FUNKTIONEN IM QUADRATISCHEN MITTEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 324 INHALTSVERZEICHNIS XIX 8.2.5.2 DISKRETE APPROXIMATION PERIODISCHER FUNKTIONEN IM QUA- DRATISCHEN MITTEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 326 8.2.5.3 FOURIER-TRANSFORMATION UND FFT . . . . . . . . . . . . . . 329 8.2.6 FEHLERABSCH ¨ ATZUNGEN F ¨ UR LINEARE APPROXIMATIONEN . . . . . . . . . 336 8.2.6.1 GLEICHM ¨ ASSIGE APPROXIMATION DURCH ALGEBRAISCHE POLYNO ME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 337 8.2.6.2 GLEICHM ¨ ASSIGE APPROXIMATION DURCH TRIGONOMETRISCHE PO LYNOME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 340 8.3 DISKRETE NICHTLINEARE APPROXIMATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342 8.3.1 TRANSFORMATIONSMETHODE BEIM NICHTLINEAREN AUSGLEICH . . . . . . 342 8.3.2 NICHTLINEARER AUSGLEICH IM QUADRATISCHEN MITTEL . . . . . . . . . . 348 8.4 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 348 9 POLYNOMIALE INTERPOLATION SOWIE SHEPARD-INTERPOLATION 351 9.1 AUFGABENSTELLUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 351 9.2 INTERPOLATIONSFORMELN VON LAGRANGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353 9.2.1 LAGRANGESCHE FORMEL F ¨ UR BELIEBIGE ST ¨ UTZSTELLEN . . . . . . . . . . . 353 9.2.2 LAGRANGESCHE FORMEL F ¨ UR ¨ AQUIDISTANTE ST ¨ UTZSTELLEN . . . . . . . . . 355 9.3 AITKEN-INTERPOLATIONSSCHEMA F ¨ UR BELIEBIGE ST ¨ UTZSTELLEN . . . . . . . . . . . 356 9.4 INVERSE INTERPOLATION NACH AITKEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 360 9.5 INTERPOLATIONSFORMELN VON NEWTON . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362 9.5.1 NEWTONSCHE FORMEL F ¨ UR BELIEBIGE ST ¨ UTZSTELLEN . . . . . . . . . . . . 362 9.5.2 NEWTONSCHE FORMEL F ¨ UR ¨ AQUIDISTANTE ST ¨ UTZSTELLEN . . . . . . . . . . 365 9.6 ABSCH ¨ ATZUNG UND SCH ¨ ATZUNG DES INTERPOLATIONSFEHLERS . . . . . . . . . . . 368 9.7 ZWEIDIMENSIONALE INTERPOLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 373 9.7.1 ZWEIDIMENSIONALE INTERPOLATIONSFORMEL VON LAGRANGE . . . . . . . . 374 9.7.2 SHEPARD-INTERPOLATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 376 9.8 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385 10 INTERPOLIERENDE POLYNOM-SPLINES ZUR KONSTRUKTION GLATTER KURVEN 387 10.1 POLYNOM-SPLINES DRITTEN GRADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387 10.1.1 AUFGABENSTELLUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 390 10.1.2 WOHER KOMMEN SPLINES? MATHEMATISCHE ANALYSE . . . . . . . . . . 395 10.1.3 ANWENDUNGSBEISPIELE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397 10.1.4 DEFINITION VERSCHIEDENER ARTEN NICHTPARAMETRISCHER KUBISCHER SPLI NEFUNKTIONEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 402 10.1.5 BERECHNUNG DER NICHTPARAMETRISCHEN KUBISCHEN SPLINES . . . . . . . 408 10.1.6 BERECHNUNG DER PARAMETRISCHEN KUBISCHEN SPLINES . . . . . . . . . 425 10.1.7 KOMBINIERTE INTERPOLIERENDE POLYNOM-SPLINES . . . . . . . . . . . . 433 10.1.8 N ¨ AHERUNGSWEISE ERMITTLUNG VON RANDABLEITUNGEN DURCH INTERPO- LATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 438 10.1.9 KONVERGENZ UND FEHLERABSCH ¨ ATZUNGEN INTERPOLIERENDER KUBISCHER SPLINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 440 10.2 HERMITE-SPLINES F ¨ UNFTEN GRADES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 10.2.1 DEFINITION DER NICHTPARAMETRISCHEN UND PARAMETRISCHEN HERMITE- SPLINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 442 . . . . XX INHALTSVERZEICHNIS 10.2.2 BERECHNUNG DER NICHTPARAMETRISCHEN HERMITE-SPLINES . . . . . . . 443 10.2.3 BERECHNUNG DER PARAMETRISCHEN HERMITE-SPLINES . . . . . . . . . . 447 10.3 POLYNOMIALE KUBISCHE AUSGLEICHSSPLINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 10.3.1 AUFGABENSTELLUNG UND MOTIVATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . 452 10.3.2 KONSTRUKTION DER NICHTPARAMETRISCHEN AUSGLEICHSSPLINES . . . . . . 456 10.3.3 PARAMETRISCHE KUBISCHE AUSGLEICHSSPLINES . . . . . . . . . . . . . . 464 10.4 ENTSCHEIDUNGSHILFEN F ¨ UR DIE AUSWAHL EINER GEEIGNETEN SPLINEMETHODE . . . 465 11 AKIMA- UND RENNER-SUBSPLINES 469 11.1 AKIMA-SUBSPLINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 469 11.2 RENNER-SUBSPLINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 476 11.3 ABRUNDUNG VON ECKEN BEI AKIMA- UND RENNER-KURVEN . . . . . . . . . . 486 11.4 BERECHNUNG DER L ¨ ANGE EINER KURVE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 490 11.5 FL ¨ ACHENINHALT EINER GESCHLOSSENEN EBENEN KURVE . . . . . . . . . . . . . . 493 11.6 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 496 12 SPEZIELLE SPLINES 497 12.1 INTERPOLIERENDE ZWEIDIMENSIONALE POLYNOM-SPLINES . . . . . . . . . . . . . 497 12.2 ZWEIDIMENSIONALE INTERPOLIERENDE OBERFL ¨ ACHENSPLINES . . . . . . . . . . . . 511 12.3 B´EZIER-SPLINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514 12.3.1 B´EZIER-SPLINE-KURVEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 515 12.3.2 B´EZIER-SPLINE-FL ¨ ACHEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519 12.3.3 MODIFIZIERTE (INTERPOLIERENDE) KUBISCHE B´EZIER-SPLINES . . . . . . . 527 12.4 B-SPLINES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 12.4.1 B-SPLINE-KURVEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 528 12.4.2 B-SPLINE-FL ¨ ACHEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534 12.5 ANWENDUNGSBEISPIEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 539 12.6 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544 13 NUMERISCHE DIERENTIATION 547 13.1 AUFGABENSTELLUNG UND MOTIVATION . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547 13.2 DIERENTIATION MIT HILFE EINES INTERPOLATIONSPOLYNOMS . . . . . . . . . . . 548 13.3 DIERENTIATION MIT HILFE INTERPOLIERENDER KUBISCHER POLYNOM-SPLINES . . . 551 13.4 DIERENTIATION MIT DEM ROMBERG-VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . 553 13.5 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 559 14 NUMERISCHE QUADRATUR 561 14.1 VORBEMERKUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 561 14.2 KONSTRUKTION VON INTERPOLATIONSQUADRATURFORMELN . . . . . . . . . . . . . 564 14.3 NEWTON-COTES-FORMELN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567 14.3.1 DIE SEHNENTRAPEZFORMEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569 14.3.2 DIE SIMPSONSCHE FORMEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 575 14.3.3 DIE 3/8-FORMEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 579 14.3.4 WEITERE NEWTON-COTES-FORMELN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583 14.3.5 ZUSAMMENFASSUNG ZUR FEHLERORDNUNG VON NEWTON-COTES-FORMELN . 587 INHALTSVERZEICHNIS XXI 14.4 QUADRATURFORMELN VON MACLAURIN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 14.4.1 DIE TANGENTENTRAPEZFORMEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 588 14.4.2 WEITERE MACLAURIN-FORMELN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 591 14.5 DIE EULER-MACLAURIN-FORMELN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 592 14.6 TSCHEBYSCHESCHE QUADRATURFORMELN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 595 14.7 QUADRATURFORMELN VON GAUSS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 597 14.8 VERALLGEMEINERTE GAUSS-QUADRATURFORMELN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 601 14.9 QUADRATURFORMELN VON CLENSHAW-CURTIS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 604 14.10 DAS VERFAHREN VON ROMBERG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 14.11 FEHLERSCH ¨ ATZUNG UND RECHNUNGSFEHLER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 612 14.12 ADAPTIVE QUADRATURVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614 14.13 KONVERGENZ DER QUADRATURFORMELN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 615 14.14 ANWENDUNGSBEISPIEL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 617 14.15 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 618 15 NUMERISCHE KUBATUR 619 15.1 PROBLEMSTELLUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619 15.2 KONSTRUKTION VON INTERPOLATIONSKUBATURFORMELN . . . . . . . . . . . . . . 621 15.3 NEWTON-COTES-KUBATURFORMELN F ¨ UR RECHTECKBEREICHE . . . . . . . . . . . . 624 15.4 DAS ROMBERG-KUBATURVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 632 15.5 GAUSS-KUBATURFORMELN F ¨ UR RECHTECKBEREICHE . . . . . . . . . . . . . . . . . 635 15.6 RIEMANNSCHE FL ¨ ACHENINTEGRALE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 638 15.7 VERGLEICH DER VERFAHREN ANHAND VON BEISPIELEN . . . . . . . . . . . . . . . 638 15.8 KUBATURFORMELN F ¨ UR DREIECKBEREICHE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 15.8.1 KUBATURFORMELN F ¨ UR DREIECKBEREICHE MIT ACHSENPARALLELEN KATHE TEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 643 15.8.1.1 NEWTON-COTES-KUBATURFORMELN F ¨ UR DREIECKBEREICHE . . . . 643 15.8.1.2 GAUSS-KUBATURFORMELN F ¨ UR DREIECKBEREICHE . . . . . . . . . 646 15.8.2 KUBATURFORMELN F ¨ UR DREIECKBEREICHE ALLGEMEINER LAGE . . . . . . . 650 15.8.2.1 NEWTON-COTES-KUBATURFORMELN F ¨ UR DREIECKBEREICHE ALLGE- MEINER LAGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 651 15.8.2.2 GAUSS-KUBATURFORMELN F ¨ UR DREIECKBEREICHE ALLGEMEINER LAGE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654 15.9 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 657 16 ANFANGSWERTPROBLEME BEI GEW ¨ OHNLICHEN DIERENTIALGLEICHUNGEN 659 16.1 PROBLEMSTELLUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 659 16.2 PRINZIP DER NUMERISCHEN VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 660 16.3 EINSCHRITTVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 661 16.3.1 DAS POLYGONZUGVERFAHREN VON EULER-CAUCHY . . . . . . . . . . . . . 661 16.3.2 DAS VERBESSERTE EULER-CAUCHY-VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . 664 16.3.3 PRAEDIKTOR-KORREKTOR-VERFAHREN VON HEUN . . . . . . . . . . . . . . 669 16.3.4 EXPLIZITE RUNGE-KUTTA-VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 673 16.3.4.1 KONSTRUKTION VON RUNGE-KUTTA-VERFAHREN . . . . . . . . . 673 16.3.4.2 KLASSISCHES RUNGE-KUTTA-VERFAHREN . . . . . . . . . . . . . 673 16.3.4.3 ZUSAMMENSTELLUNG EXPLIZITER RUNGE-KUTTA-FORMELN . . . . 679 XXII INHALTSVERZEICHNIS 16.3.4.4 EINBETTUNGSFORMELN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684 16.3.5 IMPLIZITE RUNGE-KUTTA-VERFAHREN VOM GAUSS-TYP . . . . . . . . . . 696 16.3.6 GEMEINSAME DARSTELLUNG ALLER EINSCHRITTVERFAHREN. VERFAHRENS- FUNKTION EINES EINSCHRITTVERFAHRENS. KONSISTENZ . . . . . . . . . . . 698 16.3.7 FEHLERSCH ¨ ATZUNG UND AUTOMATISCHE SCHRITTWEITENSTEUERUNG . . . . . 700 16.3.7.1 FEHLERSCH ¨ ATZUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 700 16.3.7.2 METHODEN ZUR AUTOMATISCHEN SCHRITTWEITENSTEUERUNG. AD APTIVE ANFANGSWERTPROBLEML ¨ OSER . . . . . . . . . . . . . 701 16.4 MEHRSCHRITTVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 16.4.1 PRINZIP DER MEHRSCHRITTVERFAHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704 16.4.2 DAS EXPLIZITE VERFAHREN VON ADAMS-BASHFORTH . . . . . . . . . . . . 705 16.4.3 DAS PRAEDIKTOR-KORREKTOR-VERFAHREN VON ADAMS-MOULTON . . . . . 707 16.4.4 VERFAHREN VON ADAMS-ST ¨ ORMER . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 713 16.4.5 FEHLERSCH ¨ ATZUNGSFORMELN F ¨ UR MEHRSCHRITTVERFAHREN . . . . . . . . . 714 16.5 EXTRAPOLATIONSVERFAHREN VON BULIRSCH-STOER-GRAGG . . . . . . . . . . . . . 715 16.6 STABILIT ¨ AT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 16.6.1 VORBEMERKUNGEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 717 16.6.2 STABILIT ¨ AT DER DIERENTIALGLEICHUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . 718 16.6.3 STABILIT ¨ AT DES NUMERISCHEN VERFAHRENS . . . . . . . . . . . . . . . . 718 16.7 STEIFE DIERENTIALGLEICHUNGSSYSTEME . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 16.7.1 PROBLEMSTELLUNG . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 16.7.2 KRITERIEN F ¨ UR STEIFHEIT EINES SYSTEMS . . . . . . . . . . . . . . . . . 723 16.7.3 DAS VERFAHREN VON GEAR ZUR INTEGRATION STEIFER SYSTEME . . . . . . 724 16.8 ENTSCHEIDUNGSHILFEN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 728 LITERATURVERZEICHNIS 733 SACHWORTVERZEICHNIS 745
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