Das Geheimnis der transzendenten Zahlen: eine etwas andere Einführung in die Mathematik
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Heidelberg
Spektrum, Akad. Verl.
2010
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INHALTSVERZEICHNIS
VORGESCHICHTE 1
DIE ANFAENGE DER MATHEMATIK ALS WISSENSCHAFT 1
GEOMETRISCHE KONSTRUKTIONEN IN DER ANTIKE 2
DIE NATUERLICHEN ZAHLEN 11
DIE VOLLSTAENDIGE INDUKTION 15
PRIMZAHLEN 17
DAS PASCALSCHE DREIECK 21
ZAHLENFOLGEN 23
ELEMENTE UND MENGEN 25
ALLGEMEINE BEGRIFFE 25
DIE RUSSELLSCHE ANTINOMIE 27
GRUNDLEGENDE MENGENOPERATIONEN 29
DAS PRODUKT VON MENGEN 31
RELATIONEN 32
DIE GANZEN ZAHLEN 35
DIE KONSTRUKTION DER GANZEN ZAHLEN 35
BEWEISE FUER DIE PRIMZAHLVERMUTUNGEN 41
DIE ANORDNUNG VON Z AUF DEM ZAHLENSTRAHL 44
DIE ABZAEHLBARKEIT UNENDLICHER MENGEN 46
DIE ALGEBRAISCHE STRUKTUR VON Z 47
DIE RATIONALEN ZAHLEN 55
DIE KONSTRUKTION DER RATIONALEN ZAHLEN 55
DER ABSOLUTE BETRAG UND DIE DIVISION IN Q 58
DER BINOMISCHE LEHRSATZ 63
DIE FOLGE DER FIBONACCI-BRUECHE 65
DIE DEZIMALDARSTELLUNG RATIONALER ZAHLEN, TEIL I 67
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/994277458
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
* INHALTSVERZEICHNIS
FOLGEN, REIHEN, KONVERGENZ UND GRENZWERTE 69
DIE DEZIMALDARSTELLUNG RATIONALER ZAHLEN, TEIL II 76
6 DIE REELLEN ZAHLEN 81
DIE KONSTRUKTION DER REELLEN ZAHLEN 82
DIE VOLLSTAENDIGKEIT DER REELLEN ZAHLEN 86
SIND DIE REELLEN ZAHLEN ABZAEHLBAR? 93
POTENZEN MIT RATIONALEN EXPONENTEN 95
DAS GEHEIMNIS DER FIBONACCI-BRUCH-FOLGE 96
ALGEBRAISCHE ZAHLEN IN R 100
EIN BEWEIS FUER DIE EXISTENZ TRANSZENDENTER ZAHLEN 102
7 DIE KOMPLEXEN ZAHLEN 107
DIE KONSTRUKTION DER KOMPLEXEN ZAHLEN 107
IRREDUZIBLE POLYNOME UND MAXIMALE IDEALE 108
DIE IMAGINAERE EINHEIT I = YF-I I LL
DIE KOMPLEXE ZAHLENEBENE 113
GLUECKWUNSCH! DAS ZAHLENSYSTEM IST KOMPLETT 115
8 ELEMENTE DER LINEAREN ALGEBRA 117
VEKTORRAEUME 118
LINEARE UNABHAENGIGKEIT, BASIS UND DIMENSION 120
DIE DIMENSION ALGEBRAISCHER ERWEITERUNGEN VON Q 124
EINE MYSTERIOESE FRAGE 131
BASEN UND DREIECKSMATRIZEN 134
DER HAUPTSATZ UEBER ELEMENTARSYMMETRISCHE POLYNOME 137
9 FUNKTIONEN UND STETIGKEIT 151
FUNKTIONEN 151
DIE STETIGKEIT VON FUNKTIONEN 153
DIE EXPONENTIALREIHE 161
POTENZEN MIT REELLEN EXPONENTEN . .. *. 172
DER NATUERLICHE LOGARITHMUS 173
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS X
DAS WACHST UMS VERHALTEN VON EXP UND IN 176
EINIGE ANWENDUNGEN VON EXP UND IN 177
10 ELEMENTE DER KLASSISCHEN ALGEBRA 181
DIE IRREDUZIBILITAET VON POLYNOMEN 181
DER FUNDAMENTALSATZ DER ALGEBRA 185
NACHBETRACHTUNGEN ZUM BEWEIS 193
ANWENDUNGEN DES FUNDAMENTALSATZES 194
11 DIE ERSTEN TRANSZENDENTEN ZAHLEN 199
DIOPHANTISCHE APPROXIMATIONEN 200
DAS ERGEBNIS VON LIOUVILLE 204
DIE ERSTE TRANSZENDENTE ZAHL 209
KETTENBRUECHE 212
KETTENBRUECHE UND TRANSZENDENTE ZAHLEN 221
ABSCHLIESSENDE BEMERKUNGEN 222
12 DIE EXPONENTIALFUNKTION IM KOMPLEXEN 225
KOMPLEXWERTIGE FUNKTIONEN 226
WO LIEGEN DIE PUNKTE E Z FUER Z E C ? 228
DIE KREISZAHL ** 232
TRIGONOMETRISCHE FUNKTIONEN 235
POLARKOORDINATEN 237
13 KONSTRUKTIONEN MIT ZIRKEL UND LINEAL 239
ELEMENTARE KONSTRUKTIONSSCHRITTE NACH EUKLID 241
INTERMEZZO: KOERPERERWEITERUNGEN VON Q 243
EIN KRITERIUM FUER DIE KONSTRUIERBARKEIT EINES PUNKTES IN C 247
DIE KONSTRUKTION REGELMAESSIGER N-ECKE 261
AUSBLICK 271
14 DIFFERENZIALRECHNUNG 277
HISTORISCHE ENTWICKLUNG 277
DIFFERENZIERBARKEIT 278
IMAGE 4
X INHALTSVERZEICHNIS
DER MITTELWERTSATZ DER DIFFERENZIALRECHNUNG 288
HOEHERE ABLEITUNGEN 290
15 INTEGRALRECHNUNG 293
EINE SENSATIONELLE ENTDECKUNG 294
INTEGRATION UND DIFFERENZIATION 296
DAS BASIER PROBLEM UND SEINE LOESUNG DURCH FORRIEK-REIHEN . . .. 306
KURVENINTEGRALE IN R 2 316
LNEIGENTLIEHE INTEGRALE 319
16 ERSTE ERKENNTNISSE UEBER E UND ** 321
DAS WAUJSSEHE PRODUKT 321
DIE STLRLL.N OSCHE FORMEL 322
DIE IRRATIONALITAET VON E UND ** 327
17 ELEMENTE DER ANALYSIS IM 18. JAHRHUNDERT 333
PARTIELLE ABLEITUNGEN 333
DAS KURVENINTEGRAL UEBER EIN TOTALES DIFFERENZIAI D/ 338
INTEGRATION PPAFFSOHER DIFFEREIIZIALFORMEN 341
18 ELEMENTE DER FUNKT IONENTHEORIE 353
EINE IDEE VON HISTORISCHER DIMENSION 353
KOMPLEXE PFAFFSCHE DIFFERENZIALFORMEN 355
DER INTEGRALSATZ VON CAUCHY 360
INTEGRALE UEBER HOMOTOPE KURVEN 362
DIE INTEGRALFORMEL VON CAUCHY 368
FOLGERUNGEN AUS DER CAL CHYSCHEN INTEGRALFORMEL 374
19 DIE TRANSZENDENZ VON E UND ** 381
INTERPOLATION VON FUNKTIONEN NACH NEWTON 382
DIE IDEEN VON H E R M I TE UND LINDEMANN 383
EIN NEUER BEWEIS DER IRRATIONALITAET VON E UND 7R 385
NACHBETRACHTUNG ZUM BEWEIS 391
DIE TRANSZENDENZ VON E UND ** 394
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS X
NACHBETRACHTUNG ZUM BEWEIS 404
20 WEITERE ERGEBNISSE ZU TRANSZENDENTEN ZAHLEN 405
DER SATZ VON LINDEMANN-WEIERSTRASS 405
DAS SIEBTE HLLBERTSCHE PROBLEM 408
DIE ARBEITEN VON BAKER ZU LINEARFORMEN IN LOGARITHMEN 415
DER SATZ VON THUE-SIEGEL-ROTH 417
WEITERE RESULTATE UND OFFENE FRAGEN 421
1974, DAS JAHR EINER *SENSATIONELLEN ENTDECKUNG 423
LITERATURHINWEISE 427
INDEX 429
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