Numerische Mathematik kompakt: Grundlagenwissen für Studium und Praxis
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Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2010
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Titel: Numerische Mathematik kompakt
Autor: Plato, Robert
Jahr: 2010
Inhaltsverzeichnis
Vorwort
Inhaltsverzeichnis
1 Polynominterpolation j
1.1 Allgemeine Vorbetrachtungen, landausche Symbole. 1
1.1.1 Landausche Symbole. 2
1.2 Existenz und Eindeutigkeit bei der Polynominterpolation. 3
1.2.1 Die lagrangesche Interpolationsformel. 3
1.2.2 Erste Vorgehensweise zur Berechnung des interpolierenden Poly-
noms . 4
1.3 Neville-Schema. . 5
1.4 Die newtonsche Interpolationsformel, dividierte Differenzen. 7
1.5 Fehlerdarstellungen zur Polynominterpolation. 10
1.6 Tschebyscheff-Polynome.' ' 13
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 18
Übungsaufgaben. . . 18
2 Splinefunktionen 21
2.1 Einführende Bemerkungen. 21
2.2 Interpolierende lineare Splinefunktionen.[ [] 22
2.2.1 Die Berechnung interpolierender linearer Splinefunktionen . 22
2.3 Minimaleigenschaften kubischer Splinefunktionen. 23
2.4 Die Berechnung interpolierender kubischer Splinefunktionen. 25
2.4.1 Vorüberlegungen. 25
2.4.2 Natürliche Randbedingungen. 28
2.4.3 Vollständige Randbedingungen. 28
2.4.4 Periodische Randbedingungen .'.'.'.'. 29
2.4.5 Existenz und Eindeutigkeit der betrachteten interpolierenden
kubischen Splines. 29
2.5 Fehlerabschätzungen für interpolierende kubische Splines . 30
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise . . 35
Übungsaufgaben. . 36
3 Diskrete Fouriertransformation und Anwendungen 38
3.1 Diskrete Fouriertransformation. 38
3.2 Anwendungen der diskreten Fouriertransformation. 39
3.2.1 Fourierreihen. . 40
3.2.2 Zusammenhang zwischen komplexen Fourierkoeffizienten und
der diskreten Fouriertransformation. 41
3.2.3 Trigonometrische Interpolation, Teil 1. . . . 42
Inhaltsverzeichnis ix
3.2.4 Trigonometrische Interpolation, Teil 2. 43
3.2.5 Trigonometrische Interpolation, Teil 3. 43
3.2.6 Interpolierende reelle trigonometrische Polynome. 45
3.3 Schnelle Fourier-Transformation (FFT) . 47
3.3.1 Einführende Bemerkungen. 47
3.3.2 Der grundlegende Zusammenhang. 47
3.3.3 Bit-Umkehr. 49
3.3.4 Der FFT-Algoritnmus in der Situation N — 2q . 50
3.3.5 Aufwandsbetrachtungen für den FFT-Algorithmus. 52
3.3.6 Pseudocode für den FFT-Algorithmus in der Situation N = 2q . 53
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 53
Übungsaufgaben. 54
4 Lösung linearer Gleichungssysteme 57
4.1 Gestaffelte lineare Gleichungssysteme. 57
4.1.1 Obere gestaffelte Gleichungssysteme. 57
4.1.2 Untere gestaffelte Gleichungssysteme. 58
4.2 Der Gauß-Algorithmus. 59
4.2.1 Einführende Bemerkungen. 59
4.2.2 Gauß-Algorithmus mit Pivotsuche. 62
4.3 Die Faktorisierung PA — LR. 62
4.3.1 Permutationsmatrix. 63
4.3.2 Eliminationsmatrizen. 65
4.3.3 Die Faktorisierung PA- LR. 67
4.4 L/?-Faktorisierung. 70
4.5 Cholesky-Faktorisierung positiv definiter Matrizen . 71
4.5.1 Grundbegriffe. 71
4.5.2 Die Berechnung einer Faktorisierung A = LLT für positiv defi-
nite Matrizen A e RNxN. 74
4.5.3 Eine Klasse positiv definiter Matrizen. 75
4.6 Bandmatrizen. 76
4.7 Normen und Fehlerabschätzungen. 77
4.7.1 Normen. 78
4.7.2 Spezielle Matrixnormen. 81
4.7.3 Die Konditionszahl einer Matrix. 85
4.7.4 Störungsresultate für Matrizen. 85
4.7.5 Fehlerabschätzungen für fehlerbehaftete Gleichungssysteme . 87
4.8 Orthogonalisierungsverfahren. 88
4.8.1 Elementare Eigenschaften orthogonaler Matrizen . 88
4.8.2 Die Faktorisierung A = QR mittels Gram-Schmidt-Orthogonalisie-
rung. 89
4.8.3 Die Faktorisierung A = QS mittels Householder-Transforma-
tionen. 91
4.8.4 Anwendung 1: Stabile Lösung schlecht konditionierter Gleichungs-
systeme Ax — b . 94
Inhaltsverzeichnis
4.8.5 Anwendung 2: Lineare Ausgleichsrechnung. 94
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 96
Übungsaufgaben. 96
Nichtlineare Gleichungssysteme 102
5.1 Vorbemerkungen. 102
5.2 Der eindimensionale Fall. 103
5.2.1 Ein allgemeines Resultat. 103
5.2.2 Das Newton-Verfahren im eindimensionalen Fall. 104
5.3 Der banachsche Fixpunktsatz. 106
5.4 Das Newton-Verfahren im mehrdimensionalen Fall. 108
5.4.1 Einige Begriffe aus der Analysis. 109
5.4.2 Das Newton-Verfahren und seine Konvergenz . HO
5.4.3 Nullstellenbestimmung bei Polynomen. 112
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 116
Übungsaufgaben. 117
Numerische Integration von Funktionen 120
6.1 Interpolatorische Quadraturformeln. 121
6.2 Spezielle interpolatorische Quadraturformeln. 122
6.2.1 Abgeschlossene Newton-Cotes-Formeln. 122
6.2.2 Andere interpolatorische Quadraturformeln. 124
6.3 Der Fehler bei der interpolatorischen Quadratur. 125
6.4 Genauigkeit abgeschlossener Newton-Cotes-Formeln. 128
6.4.1 Der Beweis von Lemma 6.15 . . . 130
6.5 Summierte Quadraturformeln. 132
6.5.1 Summierte Rechteckregeln. 133
6.5.2 Summierte Trapezregel. 134
6.5.3 Summierte Simpson-Regel. 135
6.6 Asymptotik der summierten Trapezregel. 135
6.6.1 Die Asymptotik. 136
6.7 Extrapolationsverfahren. 136
6.7.1 Grundidee. 136
6.7.2 Neville-Schema . 137
6.7.3 Verfahrensfehler bei der Extrapolation. 138
6.8 Gaußsche Quadraturformeln. 140
6.8.1 Einleitende Bemerkungen. 140
6.8.2 Orthogonale Polynome. 141
6.8.3 Optimale Wahl der Stützstellen und Gewichte . 144
6.8.4 Nullstellen von orthogonalen Polynomen als Eigenwerte . 147
6.9 Beweis der Asymptotik für die summierte Trapezregel. 149
6.9.1 Bernoulli-Polynome. 149
6.9.2 Der Beweis von Theorem 6.22 . 151
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 152
Übungsaufgaben. 153
Inhaltsverzeichnis xi
7 Einschrittverfahren für Anfangswertprobleme 154
7.1 Ein Existenz-und Eindeutigkeitssatz. 154
7.2 Theorie der Einschrittverfahren. 156
7.2.1 Ein elementares Resultat zur Fehlerakkumulation. 158
7.3 Spezielle Einschrittverfahren. 159
7.3.1 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 1. 159
7.3.2 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p = 2. 160
7.3.3 Einschrittverfahren der Konsistenzordnung p — 4. 162
7.4 Rundungsfehleranalyse. 162
7.5 Asymptotische Entwicklung der Approximationen. 164
7.5.1 Einführende Bemerkungen. 164
7.5.2 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Ver-
fahrensfehlers, 1. Teil . 165
7.5.3 Herleitung der asymptotischen Entwicklung des globalen Ver-
fahrensfehlers, 2. Teil . 167
7.5.4 Asymptotische Entwicklungen des lokalen Verfahrensfehlers . 169
7.6 Extrapolationsmethoden für Einschrittverfahren. 170
7.7 Schrittweitensteuerung. 173
7.7.1 Verfahrensvorschrift. 173
7.7.2 Problemstellung. 174
7.7.3 Vorgehensweise bei gegebener Testschrittweite h^. 175
7.7.4 Bestimmung einer neuen Testschrittweite h^k+1^ im Fall S^ s 176
7.7.5 Pseudocode zur Schrittweitensteuerung. 177
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 177
Übungsaufgaben. 178
8 Mehr schrittverfahren für Anfangswertprobleme 181
8.1 Grundlegende Begriffe. 181
8.1.1 Mehrschrittverfahren. 181
8.1.2 Konvergenz-und Konsistenzordnung. 182
8.1.3 Nullstabilität, Lipschitzbedingung. 183
8.1.4 Übersicht. 184
8.2 Der globale Verfahrensfehler bei Mehrschrittverfahren. 184
8.2.1 Das Konvergenztheorem. 184
8.2.2 Hilfsresultat 1: Das Lemma von Gronwall. 187
8.2.3 Beschränktheit der Matrixfolge A, A2, A3,. 189
8.2.4 Die Konsistenzordnung linearer Mehrschrittverfahren . 190
8.3 Spezielle lineare Mehrschrittverfahren - Vorbereitungen. 192
8.4 Adams-Verfahren. 195
8.4.1 Der Ansatz. 195
8.4.2 Adams-Bashfort-Verfahren. 195
8.4.3 Adams-Moulton-Verfahren. 199
8.5 Nyström- und Milne-Simpson-Verfahren. 200
8.5.1 Der Ansatz. 200
8.5.2 Nyström-Verfahren. 201
xii Inhaltsverzeichnis
8.5.3 Milne-Simpson-Verfahren.202
8.6 BDF-Verfahren.204
8.6.1 Der Ansatz. 205
8.6.2 Tabellarische Übersicht über spezielle Mehrschrittverfahren . . 207
8.7 Prädiktor-Korrektor-Verfahren. 207
8.7.1 Linearer Prädiktor/Linearer Korrektor. 211
8.8 Lineare homogene Differenzengleichungen. 212
8.8.1 Die Testgleichung. 212
8.8.2 Existenz und Eindeutigkeit bei linearen homogenen Differen-
zengleichungen . 212
8.8.3 Die komplexwertige allgemeine Lösung der homogenen Diffe-
renzengleichung Lu = 0. 214
8.8.4 Die reellwertige allgemeine Lösung der homogenen Differenzen-
gleichung Lu — Q. 218
8.8.5 Eine spezielle Differenzengleichung. 219
8.9 Steife Differenzialgleichungen . 222
8.9.1 Einführende Bemerkungen.222
8.9.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung bei Anfangswertproble-
men für Differenzialgleichungen mit oberer Lipschitzeigenschaft223
8.9.3 Das implizite Euler-Verfahren für steife Differenzialgleichungen 227
8.9.4 Steife Differenzialgleichungen in den Anwendungen.229
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise.230
Übungsaufgaben.231
9 Randwertprobleme 235
9.1 Problemstellung, Existenz, Eindeutigkeit . 235
9.1.1 Problemstellung. 235
9.1.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung. 236
9.2 Differenzenverfahren. 238
9.2.1 Numerische Differenziation. 238
9.2.2 Der Ansatz für Differenzenverfahren . 239
9.2.3 Das Konvergenzresultat für Differenzenverfahren. 240
9.2.4 Vorbereitungen für den Beweis von Teil (a) des Theorems 9.10. 242
9.2.5 Nachweis der Aussage in Teil (a) von Theorem 9.10. 247
9.3 Galerkin-Verfahren. 247
9.3.1 Einführende Bemerkungen. 248
9.3.2 Eigenschaften des Differenzialoperators Xu = -u" + ru . 248
9.3.3 Galerkin-Verfahren- ein allgemeiner Ansatz. 251
9.3.4 Systemmatrix. 255
9.3.5 Finite-Elemente-Methode. 256
9.3.6 Anwendungen. 257
9.3.7 Das Energiefunktional. 259
9.4 Einfachschießverfahren. 261
9.4.1 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit dem
Newton-Verfahren. 262
Inhaltsverzeichnis xiii
9.4.2 Numerische Realisierung des Einfachschießverfahrens mit ei-
ner Fixpunktiteration. 263
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 263
Übungsaufgaben. 264
10 Gesamtschritt-, Einzelschritt- und Relaxationsverfahren 268
10.1 Iterationsverfahren zur Lösung linearer Gleichungssysteme. 268
10.1.1 Hintergrund zum Einsatz iterativer Verfahren bei linearen Glei-
chungssystemen . 268
10.2 Lineare Fixpunktiteration. 269
10.2.1 Ein Modellbeispiel. 271
10.3 Einige spezielle Klassen von Matrizen. 273
10.3.1 Irreduzible Matrizen. 273
10.4 Das Gesamtschrittverfahren. 275
10.5 Das Einzelschrittverfahren . 278
10.5.1 Der Betrag einer Matrix. 278
10.5.2 Konvergenzergebnisse für das Einzelschrittverfahren. 279
10.6 Das Relaxationsverfahren und erste Konvergenzresultate. 281
10.6.1 M-Matrizen. 284
10.7 Relaxationsverfahren für konsistent geordnete Matrizen. 285
Weitere Bemerkungen und Literatur hinweise. 291
Übungsaufgaben. 291
11 CG- und GMRES-Verfahren 296
11.1 Vorbetrachtungen. 296
11.1.1 Ausblick. 297
11.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums. 297
11.2.1 Existenz, Eindeutigkeit und Minimaleigenschaft. 298
11.2.2 Der Ansatz des orthogonalen Residuums (11.2) für gegebene A-
konjugierte Basen. 299
11.3 Das CG-Verfahren für positiv definite Matrizen. 301
11.3.1 Einleitende Bemerkungen. 301
11.3.2 Die Berechnung y4-konjugierter Suchrichtungen in X„(A,b) . . 301
11.3.3 Der Algorithmus zum CG-Verfahren. 303
11.4 Die Konvergenzgeschwindigkeit des CG-Verfahrens. 304
11.5 Das CG-Verfahren für die Normalgleichungen. 307
11.6 Arnoldi-Prozess. 308
11.6.1 Vorbetrachtungen zum GMRES-Verfahren. 308
11.6.2 Arnoldi-Prozess. 309
11.7 GMRES auf der Basis des Arnoldi-Prozesses. 312
11.7.1 Einführende Bemerkungen. 312
11.7.2 Allgemeine Vorgehensweise zur Lösung des betrachteten Mini-
mierungsproblems. 313
11.7.3 Detaillierte Beschreibung der Vorgehensweise zur Lösung des
betrachteten Minimierungsproblems. 314
11.7.4 MATLAB-Programm für GMRES . 316
xiv Inhaltsverzeichnis
11.8 Konvergenzgeschwindigkeit des GMRES-Verfahrens. 318
11.9 Nachtrag 1: Krylovräume . 318
11.10 Nachtrag 2: Programmsyst eme mit Multifunktionalität. 319
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 320
Übungsaufgaben. 321
12 Eigenwertprobleme 323
12.1 Einleitung.323
12.2 Störungstheorie für Eigenwertprobleme.323
12.2.1 Diagonalisierbare Matrizen . 323
12.2.2 Der allgemeine Fall. 325
12.3 Lokalisierung von Eigenwerten. 327
12.4 Variationssätze für symmetrische Eigenwertprobleme . 330
12.5 Störungsresultate für Eigenwerte symmetrischer Matrizen. 332
12.6 Nachtrag: Faktorisierungen von Matrizen. 332
12.6.1 Symmetrische Matrizen . 333
12.6.2 Diagonalisierbare Matrizen . 333
12.6.3 Schur-Faktorisierung. 333
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 334
Übungsaufgaben. 334
13 Numerische Verfahren für Eigenwertprobleme 337
13.1 Einführende Bemerkungen. 337
13.1.1 Ähnlichkeitstransformationen. 337
13.1.2 Vektoriteration. 338
13.2 Transformation auf Hessenbergform . 339
13.2.1 Householder-Ähnlichkeitstransformationen zur Gewinnung von
Hessenbergmatrizen. 339
13.2.2 Der symmetrische Fall. 341
13.3 Newton-Verfahren zur Berechnung von Eigenwerten. 342
13.3.1 Der nichtsymmetrische Fall. Die Methode von Hyman. 342
13.3.2 Das Newton-Verfahren zur Berechnung der Eigenwerte tridiago-
naler Matrizen. 344
13.4 Das Jacobi-Verfahren für symmetrische Matrizen. 346
13.4.1 Approximation der Eigenwerte durch Diagonaleinträge. 346
13.4.2 Givensrotationen zur Reduktion der Nichtdiagonaleinträge . . . 347
13.4.3 Zwei spezielle Jacobi-Verfahren. 350
13.5 Das gÄ-Verfahren. 352
13.5.1 Eindeutigkeit und Stetigkeit der ÖÄ-Faktorisierung einer Matrix 352
13.5.2 Definition des (^-Verfahrens. 355
13.5.3 Konvergenz des QR-Verfahrens für betragsmäßig einfache Ei-
genwerte . 356
13.5.4 Praktische Durchführung des gÄ-Verfahrens für Hessenberg-
matrizen . 359
13.6 Das L7?-Verfahren . 364
13.7 Die Vektoriteration. 364
Inhaltsverzeichnis xv
13.7.1 Definition und Egenschaften der Vektoriteration . 364
13.7.2 Spezielle Vektoriterationen. 366
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 367
Übungsaufgaben. 367
14 Restglieddarstellung nach Peano 370
14.1 Einführende Bemerkungen. 370
14.2 Peano-Kerne. 371
14.3 Anwendungen. 373
14.3.1 Interpolation. 373
14.3.2 Numerische Integration. 374
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 374
Übungsaufgaben. 374
15 Approximationstheorie 3 76
15.1 Einführende Bemerkungen. 376
15.2 Existenz eines Proximums. 377
15.3 Eindeutigkeit eines Proximums. 379
15.3.1 Einige Notationen; streng konvexe Mengen. 379
15.3.2 Strikt normierte Räume . 380
15.4 Approximationstheorie in Räumen mit Skalarprodukt. 382
15.4.1 Einige Grundlagen. 382
15.4.2 Próxima in linearen Unterräumen. 384
15.5 n„_i-Próxima bzgl. Maximumnormen. 386
15.6 Anwendungen des Alternantensatzes. 389
15.6.1 Ein Beispiel. 389
15.6.2 Eine erste Anwendung des Alternantensatzes. 389
15.6.3 Eine zweite Anwendung des Alternantensatzes. 390
15.7 Haarsche Räume, Tschebyscheff-Systeme. 391
15.7.1 Alternantensatz für haarsche Räume. 392
15.7.2 Eindeutigkeit des Proximums. 393
15.7.3 Untere Schranken für den Minimalabstand. 393
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise. 394
Übungsaufgaben. 394
16 Rechnerarithmetik 396
16.1 Zahlendarstellungen. 396
16.2 Allgemeine Gleitpunkt-Zahlensysteme. 397
16.2.1 Grundlegende Begriffe. 397
16.2.2 Struktur des normalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems F . 398
16.2.3 Struktur des denormalisierten Gleitpunkt-Zahlensystems F . 400
16.3 Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 401
16.3.1 Die Gleitpunktzahlen des Standards IEEE 754. 401
16.3.2 Weitere Gleitpunkt-Zahlensysteme in der Praxis. 403
16.4 Runden, Abschneiden. 404
16.4.1 Runden. 404
xvi Inhaltsverzeichnis
16.4.2 Abschneiden. 406
16.5 Arithmetik in Gleitpunkt-Zahlensystemen. 407
16.5.1 Arithmetische Grundoperationen in Gleitpunkt-Zahlensystemen 408
16.5.2 Fehlerakkumulation bei der Hintereinanderausführung von Mul-
tiplikationen und Divisionen in Gleitpunkt-Zahlensystemen . . 408
16.5.3 Fehlerverstärkung bei der Hintereinanderausführung von Addi-
tionen in einem gegebenen Gleitpunkt-Zahlensystem F. 410
Weitere Bemerkungen und Literaturhinweise.412
Literaturverzeichnis 413
Index 419 |
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