Philosophie der Mathematik:
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INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT VII
INHALTSVERZEICHNIS IX
EINLEITUNG 1
1 AUF DEM WEG ZU DEN REELLEN ZAHLEN 6
L.L IRRATIONALITT..... 6
1.2 INKOMMENSURABILITT 9
1.3 RECHNEN MIT J2? . . . . . . . . 13
1.4 NHERUNGSVERFAHREN, INTERVALLSCHACHTELUNGEN UND VOLLSTNDIGKEIT. 14
1.5 ZUR KONSTRUKTION DER REELLEN ZAHLEN . . . . . 19
1.6 BER DEN UMGANG MIT DEM UNENDLICHEN. . . 21
1.7 UNENDLICHE NICHT PERIODISCHE DEZIMALBRCHE 23
2 AUS DER GESCHICHTE DER PHILOSOPHIE UND MATHEMATIK 26
2.1 PYTHAGORAS UND DIE PYTHAGOREER 28
2.2 PLATON . . . 31
2.3 ARISTOTELES. 33
2.4 EUKLID... 38
2.5 PROKLOS .. 40
2.6 NIKOLAUS VON KUES 42
2.7 DESCARTES 46
2.8 PASCAL . 49
2.9 LEIBNIZ . 51
2.10 KANT . . . 54
2.11 MILL UND EMPIRISTISCHE KONZEPTIONEN . 59
2.12 BOLZANO 64
2.13 GAU. . . 66
2.14 CANTOR . . 68
2.15 DEDEKIND 72
2.16 POINCARE . 77
2.17 LOGIZISMUS 81
2.18 INTUITIONISMUS . 91
2.19 KONSTRUKTIVISMUS 102
2.20 FORMALISMUS .. 104
IMAGE 2
X
2.21 2.22 2.23
INHALTSVERZEICHNIS
PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK VON 1931 BIS IN DIE FNFZIGER JAHRE ... 112
DER EVOLUTIONRE STANDPUNKT - EINE NEUE PHILOSOPHISCHE GRUNDPOSITION 118
PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK NACH 1960 125
QUASI-EMPIRISCHE KONZEPTIONEN 127
REALISMUS UND ANTIREALISMUS . 135
3 BER GRUNDFRAGEN DER PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK 138
3.1 ZUMZAHLBEGRIFF . . . . . . . . . . . . . 138
3.1.1 BERBLICK BER EINIGE ANSICHTEN 139
3.1.2 RESMEE . . . . . . . . . . . . 140
3.2 UNENDLICHKEITEN............. 145
3.2.1 BER DIE PROBLEMATIK DES UNENDLICHEN 145
3.2.2 DIE AUFFASSUNG DES ARISTOTE1ES . 148
3.2.3 DIE IDEALISTISCHE AUFFASSUNG . 149
3.2.4 DER EMPIRISTISCHE STANDPUNKT . 150
3.2.5 UNENDLICHKEIT BEI KANT . . . . . 151
3.2.6 DIE INTUITIONISTISCHE UNENDLICHKEIT. 152
3.2.7 DIE LOGIZISTISCHE HYPOTHESE DES UNENDLICHEN 153
3.2.8 UNENDLICHKEIT UND DIE NEUERE PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK 154 3.2.9
FORMALISTISCHE HALTUNG UND HEUTIGE TENDENZEN 154
3.3 DAS KLASSISCHE KONTINUUM UND DAS UNENDLICH KLEINE 156
3.3.1 DAS ALLGEMEINE PROBLEM . . . . . . . . . . . . 156
3.3.2 GLIEDERUNG DES PROBLEMS . . . . . . . . . . . . 158
3.3.3 DIE AUFFASSUNG DES ARISTOTELES - HINTERGRUND FR DIE MATHEMATIK
BIS IN DIE NEUZEIT 161
3.3.4 DIE TRANSFINITE ATOMISTISCHE AUFFASSUNG . . . . . . . . . . 163
3.3.5 DAS ENDE DER INFINITESIMALIEN UND IHRE WIEDERENTDECKUNG 167 3.3.6
DAS MATHEMATISCHE ENDE DES KLASSISCHEN KONTINUUMS 173 3.3.7 DAS
VERSCHWINDEN DER GREN . . . . . . . . 175
3.4 SCHLUSS 181
3.4.1 VON DEN NATRLICHEN ZU DEN RATIONALEN ZAHLEN 182
3.4.2 INKOMMENSURABILITT UND IRRATIONALITT. 183
3.4.3 ADJUNKTION....... 185
3.4.4 DAS LINEARE KONTINUUM. . . . . . . . . 186
3.4.5 DAS UNENDLICH KLEINE. . . . . . . . . . 187
3.4.6 KONSTRUKTION, UNENDLICHKEIT, UNENDLICHE NICHTPERIODISCHE
DEZIMALBRCHE . . 188
3.4.7 SCHLUSSBEMERKUNG 189
4 MENGEN UND MENGENLEHREN 191
4.1 PARADOXIEN DES UNENDLICHEN 192
4.2 BER DEN BEGRIFF DER MENGE 194
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS XL
4.2.1 MENGEN UND DAS UNIVERSALIENPROBLEM . . . . 195
4.3 ZWEI MENGENLEHREN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
4.3.1 DIE MENGENLEHRE NACH ZERMELO UND FRAENKEL 200
4.3.2 DIE MENGENLEHRE NACH VON NEUMANN, BEMAYS UND GDEL 208 4.3.3
ANMERKUNGEN........... 214
4.3.4 BER MODIFIKATIONEN . . . . . . . 216
4.4 AUSWAHLAXIOM UND KONTINUUMSHYPOTHESE 217
4.4.1 SUCHE NACH NEUEN AXIOMEN . . . 223
4.4.2 WEITERE BEMERKUNGEN UND FRAGEN 228
4.5 SCHLUSS 229
5 AXIOMATIK UND LOGIK 5.1 EINIGE ELEMENTE DER MATHEMATISCHEN LOGIK 5.1.1
SYNTAX .
5.1.2 SEMANTIK .
5.1.3 KALKL .
5.2 BEMERKUNGEN ZUR GESCHICHTE. 5.2.1 AUS DER GESCHICHTE DER LOGIK 5.2.2
ZUR GESCHICHTE DER AXIOMATIK 5.3 LOGISCHE AXIOMATIK UND THEORIEN ..
5.3.1 PEANO-ARITHMETIK .
5.3.2 EINE AXIOMATIK FR DIE REELLEN ZAHLEN 5.4 BER DIE ARITHMETIK DER
NATRLICHEN ZAHLEN 5.4.1 ZUM SYNTAKTISCHEN ASPEKT 5.4.2 ZUM SEMANTISCHEN
ASPEKT
5.5 SCHLUSSFOLGERUNGEN 5.5.1 SCHLUSS .
6 RCKBLICK WAS IST PHILOSOPHIE DER MATHEMATIK UND WOZU DIENT SIE?
KURZBIOGRAPHIEN
LITERATURVERZEICHNIS
PERSONENVERZEICHNIS
SYMBOLVERZEICHNIS
BEGRIFFSVERZEICHNIS
234 235 235 237
241 243 243 252
257 258 260 262
263 265 269 271
274 281
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