Optimierung und Approximation:
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| Main Author: | |
|---|---|
| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Berlin [u.a.]
de Gruyter
2010
|
| Edition: | 2., überarb. und erw. Aufl. |
| Series: | De-Gruyter-Studium
|
| Subjects: | |
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XVIII, 513 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783110218145 |
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1 EINFUEHRUNG: BEISPIELE FUER OPTIMIERUNGS- UND APPROXIMATIONSAUFGABEN 1
1.1 OPTIMIERUNGSAUFGABEN IN FUNKTIONENRAEUMEN 1
1.2 AUFGABEN IN R 4
1.3 LINEARE PROGRAMMIERUNGSAUFGABEN 5
1.4 RESTRINGIERTE OPTIMIERUNGSAUFGABEN. ERGAENZUNGSMETHODE 7
1.5 MINIMIERUNG BZGL. ZWEIER VARIABLEN. SUKZESSIVE MINIMIERUNG .... 8
2 LINEARE PROGRAMMIERUNG 10
2.1 EINFUEHRUNG 10
2.2 KANONISCHE FORM EINER LINEAREN PROGRAMMIERUNGSAUFGABE (KFP) ... 11
2.3 SIMPLEX-ALGORITHMUS 13
2.4 DER ALLGEMEINE FALL 17
2.5 DUALE UND SCHWACH DUALE AUFGABEN 23
3 KONVEXE MENGEN UND KONVEXE FUNKTIONEN 29
3.1 METRISCHE RAEUME 29
3.2 NORMIERTE RAEUME 31
3.2.1 DEFINITION UND BEISPIELE 31
3.2.2 DUALRAUM EINES NORMIERTEN RAUMES 32
3.2.3 GEOMETRISCHE DEUTUNG LINEARER FUNKTIONALE. HYPEREBENEN . . 33
3.3 KONVEXE MENGEN 34
3.3.1 DAS INNERE UND DER ABSCHLUSS KONVEXER MENGEN 36
3.3.2 LINEAR BESCHRAENKTE MENGEN 36
3.4 STRIKTER TRENNUNGSSATZ IN R 37
3.5 SATZ VON CARATHEODORY 38
3.6 KONVEXE FUNKTIONEN 39
3.6.1 STETIGKEIT KONVEXER FUNKTIONEN IN R 42
3.6.2 AEQUIVALENZ DER NONNEN IN R 43
3.7 MINKOWSKI-FUNKTIONAL : 45
3.8 RICHTUNGSABLEITUNG 48
3.9 DIFFERENZIERBARKEITSEIGENSCHAFTEN KONVEXER FUNKTIONEN: MONOTONIE
DES DIFFERENZENQUOTIENTEN 49
3.10 FRECHET-DIFFERENZIERBARKEIT 53
3.11 DIFFERENTIALRECHNUNG IN R . MATRIX UND OPERATORSCHREIBWEISE .... 54
3.12 MONOTONE UND POSITIV DEFINITE ABBILDUNGEN 56
3.13 EIN KRITERIUM FUER POSITIVE DEFINITHEIT EINER MATRIX 57
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN
HTTP://D-NB.INFO/999262289
DIGITALISIERT DURCH
XLL
3.14 INF-KONVEXE FUNKTIONEN 60
3.15 SATZ VON WEIERSTRASS 66
3.16 EXISTENZAUSSAGEN IN ENDLICH-DIMENSIONALEN RAEUMEN 67
3.17 EINDEUTIGE LOESBARKEIT VON OPTIMIERUNGSAUFGABEN 68
3.18 STABILITAET BEI MONOTONER KONVERGENZ 69
3.19 EINE ERWEITERUNG DES RIEMANN-INTEGRALS 74
NOTWENDIGE UND HINREICHENDE OPTIMALITAETSBEDINGUNGEN 77
4.1 NOTWENDIGE OPTIMALITAETSBEDINGUNGEN 77
4.2 HINREICHENDE OPTIMALITAETSBEDINGUNGEN: CHARAKTERISIERUNGSSATZ DER
KONVEXEN OPTIMIERUNG 78
4.3 LOKALE MINIMALLOESUNGEN 79
4.4 RESTRINGIERTE OPTIMIERUNGSAUFGABEN: PENALTY-METHODE 81
4.5 LAGRANGE-METHODE 83
4.5.1 VARIABLE LAGRANGE-MULTIPLIKATOREN 88
4.5.2 LAGRANGE-LEMMA BEI GLEICHUNGEN UND UNGLEICHUNGEN .... 89
4.6 SATZ VON KUHN-TUCKER 92
4.7 SATZ UEBER LAGRANGE-MULTIPLIKATOREN 95
4.8 ZURUECKFUEHRUNG VON UNGLEICHUNGSRESTRIKTIONEN AUF GLEICHUNGSRE-
STRIKTIONEN 95
4.9 PENALTY-LAGRANGE-METHODE (AUGMENTED LAGRANGIAN METHOD) 96
ANWENDUNGEN DES CHARAKTERISIERUNGSSATZES DER KONVEXEN OPTIMIERUNG IN
DER APPROXIMATIONSTHEORIE UND DER VARIATIONSRECHNUNG 98
5.1 APPROXIMATION IN PRAE-HILBERTRAEUMEN 99
5.1.1 PRAE-HILBERTRAEUME 99
5.1.2 CAUCHY-SCHWARZSCHE UNGLEICHUNG 99
5.1.3 SKALARPRODUKT-NORM 100
5.1.4 PARALLELOGRAMMGLEICHUNG 100
5.1.5 BEISPIELE FUER PRAE-HILBERTRAEUME 100
5.1.6 DIFFERENZIERBARKEIT UND APPROXIMATIONSSATZ 100
5.1.7 PROJEKTIONSSATZ 102
5.1.8 GRAMSCHE MATRIX 102
5.1.9 FOURIERREIHEN 103
5.1.10 VOLLSTAENDIGKEIT. BANACH- UND HILBERTRAEUME. L^-RAEUME UND
ORLICZRAEUME 107
5.1.11 EXISTENZSATZ 110
5.1.12 STETIGKEIT DER METRISCHEN PROJEKTION 111
5.1.13 TRENNUNGSSAETZE IN HILBERTRAEUMEN 111
5.1.14 LINEARE ENDLICH-CODIMENSIONALE APPROXIMATION 112
5.1.15 EINE ANWENDUNG IN DER STEUERUNGSTHEORIE 113
5.1.16 ENDLICH-CODIMENSIONALE APPROXIMATION BEI UNGLEICHUNGEN .115
XH1
5.2 VARIATIONSRECHNUNG 117
5.2.1 VARIATIONSAUFGABEN MIT FESTEN ENDPUNKTEN 117
5.2.2 DER ANSATZ UEBER DIE RICHTUNGSABLEITUNG 118
5.2.3 EULER-LAGRANGE-GLEICHUNG 121
5.2.4 VEREINFACHUNGEN DER EULER-LAGRANGE-GLEICHUNG 123
5.2.5 DIE N-DIMENSIONALE EULER-LAGRANGE-GLEICHUNG 124
5.2.6 LOKALE MINIMALLOESUNGEN 125
5.2.7 RESTRINGIERTE VARIATIONSAUFGABEN 127
5.2.8 HINREICHENDE OPTIMALITAETSBEDINGUNGEN 129
5.2.9 VARIATIONSAUFGABEN MIT SINGULARITAETEN 131
5.2.10 EINE LOESUNG DES BRACHISTOCHRONENPROBLEMS 133
5.2.11 BEISPIEL AUS DER OPTIK 141
5.2.12 SUBSTITUIERTE AUFGABEN 142
5.2.13 EIN ISOPERIMETRISCHES PROBLEM 144
5.2.14 VARIATIONSAUFGABE MIT FREIEM ENDPUNKT. BOLZA UND MAYER-
SCHE PROBLEME 147
5.2.15 VARIATIONSAUFGABEN MIT STUECKWEISE DIFFERENZIERBAREN FUNK-
TIONEN 151
5.3 THEORIE DER OPTIMALEN STEUERUNG 156
5.3.1 EINFUEHRUNG 156
5.3.2 VARIATIONSAUFGABEN ALS PROBLEME DER OPTIMALEN STEUERUNG . . 159
5.3.3 BEISPIELE AUS DER OEKONOMIE 160
5.3.4 ELEMENTARER LAGRANGE-ANSATZ 162
5.3.5 HAMILTON-FUNKTION 171
5.3.6 HINREICHENDE BEDINGUNGEN. SEPARIERTE AUFGABEN 171
5.3.7 NICHT SEPARIERTE AUFGABEN 178
5.3.8 QUADRATISCHE AUFGABEN 182
5.3.9 LINEARE AUFGABEN MIT FREIEM ENDPUNKT 187
5.3.10 AUFGABEN MIT FESTEN ENDPUNKTEN UND LINEAREN DGL 190
5.3.11 QUADRATISCHE STEUERUNGSAUFGABEN ALS MINIMIERUNGSAUFGA-
BEN IM QUADRATISCHEN MITTEL 194
5.3.12 MINIMALZEITPROBLEME ALS LINEARE APPROXIMATIONSAUFGABEN . . 195
5.3.13 MASSTHEORETISCHE ERWEITERUNGEN 201
5.3.14 DYNAMISCHE OPTIMIERUNG 201
6 METHODE DER PUNKTWEISEN MINIMIERUNG 205
6.1 DIE METHODE DER ERGAENZUNG BEI VARIATIONSAUFGABEN 205
6.1.1 LINEARE ERGAENZUNG 207
6.1.2 PRODUKTERGAENZUNGEN 208
6.1.3 AEQUIVALENTE AUFGABEN 209
6.1.4 ANSATZ DER PUNKTWEISEN MINIMIERUNG 211
XIV
6.1.5 ALLGEMEINE VARIATIONSAUFGABEN UND DIE PUNKTWEISE MINI-
MIERUNG 212
6.1.6 PRINZIP DER PUNKTWEISEN MINIMIERUNG FUER ALLGEMEINE VARIA-
TIONSAUFGABEN 213
6.2 ANWENDUNGEN DER LINEAREN ERGAENZUNG 213
6.2.1 DIE WURFPARABEL 215
6.2.2 DIE KETTENLINIE 216
6.2.3 PARAMETRISCHE BEHANDLUNG DER KETTENLINIENAUFGABE 217
6.3 DIE EULER-LAGRANGE-GLEICHUNG UND KANONISCHE GLEICHUNGEN DER VA-
RIATIONSRECHNUNG BEI PUNKTWEISER MINIMIERUNG 220
6.3.1 ANWENDUNG DER EULER-REGEL II AUF DAS WIRKUNGSINTEGRAL . . .221
6.3.2 KONVEXE AUFGABEN 221
6.3.3 KONVEXIFIZIERUNG MIT HILFE VON AEQUIVALENTEN AUFGABEN .... 222
6.3.4 EINE ANWENDUNG AUF DIE UNGLEICHUNGEN VON WIRTINGER . . . .224
6.3.5 KONVEXIFIZIERUNG DER AUFGABE DES HARMONISCHEN OSZILLATORS . 226
6.3.6 DIE EULER-LAGRANGE-GLEICHUNG UND DIE PUNKTWEISE MINIMIE-
RUNG 227
6.3.7 DIE KANONISCHEN GLEICHUNGEN IN DER EULER-LAGRANGE-FORM . . 229
6.3.8 HAMILTON-FUNKTION UND KANONISCHE GLEICHUNGEN DER VARIATI-
ONSRECHNUNG 230
6.4 PUNKTWEISE MINIMIERUNG BEI AUFGABEN MIT SINGULARITAETEN 232
6.4.1 PUNKTWEISE MINIMIERUNG BEI VARIATIONSAUFGABEN MIT SINGU-
LARITAETEN 232
6.4.2 BEHANDLUNG DES BRACHISTOCHRONENPROBLEMS MIT DER PUNKT-
WEISEN MINIMIERUNG 234
6.4.3 DIE DIDO-AUFGABE 236
6.4.4 DIE DIDO-AUFGABE MIT EINEM FREIEN GRUNDINTERVALL 237
6.4.5 DIE DIDO-AUFGABE MIT FREIEN ENDPUNKTEN 238
6.4.6 FREIE ENDPUNKTE UND FREIE WAHL DER INTERVALLAENGE 240
6.4.7 GESCHLOSSENE KURVEN 240
6.4.8 DIE KLASSISCHE DIDO-AUFGABE 243
6.5 DIE KUERZESTE VERBINDUNG AUF EINER FLAECHE 244
6.5.1 DIE GEODAETISCHEN LINIEN AUF EINER FLAECHE 244
6.5.2 DIE GEODAETISCHEN LINIEN AUF DER SPHAERE 245
6.6 SUKZESSIVE MINIMIERANG BEI VARIATIONSAUFGABEN 246
6.7 SUKZESSIVE MINIMIERUNG MIT EINER KONSTANTEN ZWEITEN STUFE 247
6.7.1 SUKZESSIVE MINIMIERUNG BEI QUADRATISCHEN VARIATIONSAUFGABEN 247
6.7.2 DIE WIRTINGER UNGLEICHUNG BEI FREIEM ENDPUNKT 250
6.7.3 DIE UNGLEICHUNG VON FRIEDRICHS 251
6.7.4 DIE FRIEDRICHS-UNGLEICHUNG BEI FREIEM ENDPUNKT 252
6.7.5 KONSTANTE ZWEITE STUFE BEI AUTONOMEN ERGAENZUNGEN 253
6.7.6 KONSTANTE ZWEITE STUFE UND DIE HAMILTON-FUNKTION 256
XV
6.7.7 EINE ANWENDUNG AUF DAS HAMILTONSCHE PRINZIP 257
6.7.8 ELASTISCHER STAB 259
6.8 ROTATIONSKOERPER GROESSTEN VOLUMENS BEI VORGEGEBENER LAENGE DES ME-
RIDIANS 261
6.8.1 PARAMETRISCHER ANSATZ 261
6.8.2 ROTATIONSKOERPER GROESSTEN VOLUMENS BEI FREIER BREITE 262
6.8.3 ROTATIONSKOERPER KLEINSTER OBERFLAECHE 264
6.8.4 DIE HAMILTON-JACOBI-DIFFERENTIALGLEICHUNG 268
6.9 EIN STABILITAETSSATZ 268
6.10 OPTIMALE FLAECHEN. VARIATION ZWEIFACHER INTEGRALE 270
6.11 EULER-OSTROGRADSKI-GLEICHUNG 270
6.11.1 MEMBRANENSCHWINGUNG 271
6.11.2 HINREICHENDE OPTIMALITAETSBEDINGUNG 271
6.12 VERALLGEMEINERUNG AUF N-DIMENSIONALE BEREICHSINTEGRALE 272
6.13 PUNKTWEISE MINIMIERUNG BEI DER OPTIMALEN STEUERUNG 273
6.13.1 AEQUIVALENTE AUFGABEN 274
6.13.2 ANSATZ DER PUNKTWEISEN MINIMIERUNG FUER AOS-AUFGABEN . . .275
6.14 DISKRETE OPTIMALE STEUERUNG 279
6.14.1 EINFUEHRUNG 279
6.14.2 DISKRETE VARIATIONSAUFGABEN 279
6.14.3 DISKRETE EULER-LAGRANGE-GLEICHUNG 281
6.14.4 BEZEICHNUNGEN UND EINE FORMULIERUNG DER AUFGABE DER DIS-
KRETEN OPTIMALEN STEUERUNG 283
6.14.5 AEQUIVALENTE DISKRETE ADOS-AUFGABEN 284
6.14.6 QUADRATISCHE AUFGABEN DER DISKRETEN OPTIMALEN STEUERUNG . . 287
6.14.7 EINE ANWENDUNG IN DER ZEITREIHENANALYSE 290
7 CEBYSEV-APPROXIMATION 295
7.1 CHARAKTERISIERUNG DER BESTEN CEBYSEV-APPROXIMATION 295
7.2 SATZ VON DE LA VALLEE-POUSSIN I 297
7.3 HAARSCHE TEILRAEUME 298
7.4 SATZ VON CEBYSEV 300
7.5 APPROXIMATIONSSAETZE VON WEIERSTRASS UND DER SATZ VON KOROVKIN . . .
301
7.6 SATZ VON STONE-WEIERSTRASS 306
8 APPROXIMATION IM MITTEL 309
8.1 L
1
-APPROXIMATION 309
8.1.1 RECHTSSEITIGE RICHTUNGSABLEITUNG DER L
1
-NORM 309
8.1.2 EINE VERALLGEMEINERUNG DER L
1
-APPROXIMATION 310
8.1.3 CHARAKTERISIERUNG DER BESTEN L
L
-APPROXIMATION 311
8.1.4 BESCHREIBUNG DES MEDIANS ALS BESTE L
1
-APPROXIMATION . . .311
8.2 L*-APPROXIMATION IN C[A, B] 313
XVI
8.2.1 JACKSON-ALTERNATIVE FUER L*-APPROXIMATION 314
8.2.2 EINDEUTIGKEITSSATZ 314
8.2.3 BERECHNUNG DER BESTEN L
L
(/I)-APPROXIMATION. DER SATZ VON
MARKOV 315
8.2.4 FEHLERABSCHAETZUNGEN. SATZ VON BERNSTEIN 318
8.3 SPLINE-FUNKTIONEN 321
9 STABILITAETSBETRACHTUNGEN FUER KONVEXE AUFGABEN 328
9.1 GLEICHGRADIGE STETIGKEIT VON FAMILIEN KONVEXER FUNKTIONEN 328
9.2 GLEICHGRADIGE STETIGKEIT KONVEXER FUNKTIONEN IN BANACHRAEUMEN UND
DER SATZ UEBER GLEICHMAESSIGE BESCHRAENKTHEIT 331
9.3 STETIGE KONVERGENZ UND GLEICHGRADIGE STETIGKEIT 336
9.4 STABILITAETSSAETZE 338
9.4.1 DISKRETE APPROXIMIERBARKEIT BEI SEMI-INFINITER OPTIMIERUNG . 344
9.5 GEORDNETE VEKTORRAEUME UND KONVEXE KEGEL 344
9.5.1 GEORDNETE VEKTORRAEUME 344
9.5.2 NORMALE KEGEL 346
9.6 KONVEXE ABBILDUNGEN 347
9.7 KOMPONENTENWEISE KONVEXE ABBILDUNGEN 351
10 SELEKTION VON LOESUNGEN DURCH ALGORITHMEN. ZWEISTUFIGE LOESUNGEN 353
10.1 ZWEISTUFIGE OPTIMIERUNGSAUFGABEN 354
10.2 STABILITAETSBETRACHTUNGEN FUER VARIATIONSUNGLEICHUNGEN 359
10.3 ZWEISTUFIGE VARIATIONSUNGLEICHUNGEN 360
11 TRENNUNGSSAETZE 363
11.1 SATZ VON HAHN-BANACH 363
11.1.1 DER DUALRAUM VON C [A, B]. DARSTELLUNGSSATZ VON RIESZ .... 366
11.2 SATZ VON MAZUR 369
11.3 TRENNUNGSSATZ VON EIDELHEIT 370
11.4 STRIKTER TRENNUNGSSATZ 370
11.5 SUBGRADIENTEN 371
11.6 DER DUALRAUM EINES HILBERTRAUMES 375
12 KONJUGIERTE FUNKTIONEN. DER SATZ VON FENCHEL 378
12.1 YOUNGSCHE UNGLEICHUNG 379
12.2 BEISPIELE FUER KONJUGIERTE FUNKTIONEN 383
12.3 SATZ VON FENCHEL 384
12.4 EXISTENZ VON MINIMALLOESUNGEN BEI KONVEXEN OPTIMIERUNGSAUFGABEN .388
12.4.1 WEIERSTRASSSCHES EXISTENZPRINZIP 391
12.4.2 ANALYTISCHE DARSTELLUNG DES DUALRAUMES VON L
P
397
12.5 DUALITAETSSATZ DER LINEAREN APPROXIMATIONSTHEORIE 399
12.6 DIE FORMEL VON ASCOLI 400
XVU
12.7 CHARAKTERISIERUNGSSATZ DER LINEAREN APPROXIMATION 401
12.8 GLEICHGEWICHTSSATZ DER LINEAREN APPROXIMATION 401
12.9 STARKE LOESBARKEIT. UNIFORM KONVEXE FUNKTIONEN 402
13 LAGRANGE-MULTIPLIKATOREN 406
13.1 DUALE KEGEL 406
13.2 KONVEXE OPTIMIERUNGSAUFGABEN MIT NEBENBEDINGUNGEN 407
13.3 SATZ UEBER LAGRANGE-MULTIPLIKATOREN 409
13.4 LAGRANGE-MULTIPLIKATOREN BEI LINEAREN NEBENBEDINGUNGEN 413
13.5 KONVEXE UNGLEICHUNGEN UND LINEARE GLEICHUNGEN 413
13.6 HINREICHENDE BEDINGUNG FUER RESTRINGIERTE MINIMALLOESUNGEN 416
13.7 SATTELPUNKTVERSIONEN 417
13.8 LAGRANGE-DUALITAET 418
14 DUALE OPTIMIERUNGSAUFGABEN 419
14.1 INFINITE LINEARE OPTIMIERUNG 419
14.2 SEMIINFINITE LINEARE OPTIMIERUNG 420
14.3 DUALITAETSSATZ DER LINEAREN PROGRAMMIERUNG 425
14.4 EXTREMALPUNKTE. SATZ VON MINKOWSKI 426
14.5 DUALE AUFGABEN IN C(T) 430
14.6 EIN MOMENTENPROBLEM VON MARKOV 431
14.7 NUMERISCHE BEHANDLUNG VON SEMIINFINITEN AUFGABEN 434
14.8 CEBYSEV-APPROXIMATION - DUALE AUFGABE 440
14.9 IMPULSSTEUERUNGEN UND CEBYSEV-APPROXIMATION 442
14.10 MINIMAXAUFGABEN UND LAGRANGE-MULTIPLIKATOREN 443
14.11 SATTELPUNKTKRITERIUM 445
14.12 SPIELTHEORETISCHE INTERPRETATION 446
14.13 MINIMAXSAETZE 446
14.14 TOPOLOGISCHE RAEUME 449
14.15 SATZ VON KY FAN 450
14.16 EINE CHARAKTERISIERUNG VON MINIMAX-LOESUNGEN MIT RECHTSSEITIGER
RICHTUNGSABLEITUNG 451
14.17 MINIMAXSAETZE FUER LAGRANGE-FUNKTIONEN 452
14.18 INFINITE KONVEXE OPTIMIERUNG 453
14.19 SEMIINFINITE KONVEXE OPTIMIERUNG 455
15 EINE ANWENDUNG IN DER TESTTHEORIE 456
15.1 TESTFUNKTION 456
15.2 EIN OPTIMALITAETSKRITERIUM 457
15.3 DAS FUNDAMENTALLEMMA VON NEYMAN-PEARSON 459
15.4 EXISTENZ VON BESTEN TESTS 461
15.5 EXISTENZ VON BESTEN VERALLGEMEINERTEN TESTS 462
15.6 NOTWENDIGE BEDINGUNGEN 463
XV111
15.7 EINE DUALE AUFGABE 465
A MENGENKONVERGENZ 467
B KONTRAKTIONSSATZ. GEWOEHNLICHE DIFFERENTIALGLEICHUNGEN 472
B.L KONTRAKTIONSSATZ 472
B.2 SYSTEME VON DIFFERENTIALGLEICHUNGEN ERSTER ORDNUNG 475
B.3 EXISTENZ- UND EINDEUTIGKEITSSATZ FUER STUECKWEISE STETIG
DIFFERENZIERBA-
RE FUNKTIONEN 478
B.4 LINEARE DGL-SYSTEME FUER STUECKWEISE STETIG DIFFERENZIERBARE FUNK-
TIONEN 479
B.5 STETIGE ABHAENGIGKEIT DER LOESUNGEN 485
C DAS LEMMA VON ZORN 489
D VERALLGEMEINERUNGEN IN TOPOLOGISCHEN VEKTORRAEUMEN 490
LITERATURVERZEICHNIS 495
SPEZIELLE SYMBOLE UND ABKUERZUNGEN 505
INDEX 507
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