Die Erforschung des Chaos: eine Einführung in die Theorie nichtlinearer Systeme
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Heidelberg [u.a.]
Springer
2010
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| Edition: | Völlig neu bearb. und erw. 2. Aufl. |
| Series: | Springer complexity
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INHALTSVERZEICHNIS
VORWORT VII
1 EINFUEHRUNG 1
2 HINTERGRUND UND MOTIVATION 15
2.1 KAUSALITAET DETERMINISMUS 16
2.2 DYNAMISCHE SYSTEME BEISPIELE 24
2.3 PHASENRAUM 31
2.4 ERSTE INTEGRALE UND MANNIGFALTIGKEITEN 33
2.5 QUALITATIVE UND QUANTITATIVE BETRACHTUNGSWEISE 38
3 MATHEMATISCHE EINFUEHRUNG IN DYNAMISCHE SYSTEME 39
3.1 LINEARE AUTONOME SYSTEME 39
3.2 NICHTLINEARE SYSTEME UND STABILITAET 52
3.3 INVARIANTE MANNIGFALTIGKEITEN 59
3.4 DISKRETISIERUNG IN DER ZEIT 61
3.5 POINCARE-ABBILDUNG 63
3.6 FIXPUNKTE UND ZYKLEN DISKRETER SYSTEME 65
3.7 EIN BEISPIEL DISKRETER DYNAMIK DIE LOGISTISCHE ABBILDUNG 69 3.8
FOURIER-REIHE UND FOURIER-INTEGRAL 76
3.8.1 FOURIER-REIHE 76
3.8.2 FOURIER-INTEGRAL UND FOURIER-TRANSFORMATION 80
3.8.3 EIGENSCHAFTEN DER FOURIER-TRANSFORMATION 82
3.8.4 EINFACHE FOURIER-TRANSFORMATIONEN, LINIENSPEKTREN, DIRACS
-FUNKTION 86
3.8.5 WAVELET-TRANSFORMATION 90
3.9 GRUNDBEGRIFFE DER WAHRSCHEINLICHKEITSTHEORIE 94
3.9.1 ZUFALLSEXPERIMENT 95
3.9.2 ZUFALLSVARIABLE 98
3.9.3 WAHRSCHEINLICHKEIT 98
3.9.4 BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT UND VERBUNDWAHRSCHEINLICHKEIT 103
BIBLIOGRAFISCHE INFORMATIONEN HTTP://D-NB.INFO/995654549
DIGITALISIERT DURCH
IMAGE 2
XXII INHALTSVERZEICHNIS
3.9.5 VERTEILUNGSFUNKTION UND WAHRSCHEINLICHKEITSDICHTE 105
3.9.6 MASSZAHLEN EINER VERTEILUNG 109
3.9.7 UNABHAENGIGE UND ABHAENGIGE EREIGNISSE 112
3.9.8 MOMENTERZEUGENDE UND CHARAKTERISTISCHE FUNKTION 114
3.9.9 SPEZIELLE VERTEILUNGEN 117
3.9.10 ZENTRALER GRENZWERTSATZ 126
3.9.11 CAUCHY-VERTEILUNG UND *-STABILE LEVY-VERTEILUNG 128
3.10 INVARIANTES MASS UND ERGODISCHE BAHNEN 133
3.10.1 NATUERLICHE INVARIANTE DICHTE DER LOGISTISCHEN ABBILDUNG . . ..
133
3.10.2 FROBENIUS-PERRON-GLEICHUNG UND ERGODISCHES MASS 138
4 DYNAMISCHE SYSTEME OHNE DISSIPATION 143
4.1 HAMILTONSCHE GLEICHUNGEN 143
4.2 KANONISCHE TRANSFORMATIONEN, INTEGRIERBARKEIT 150
4.3 F-DIMENSIONALE RINGE (TORI) UND TRAJEKTORIEN 161
4.4 DIE GRUNDZUEGE DER KAM-THEORIE 164
4.5 INSTABILE TORI, CHAOTISCHE BEREICHE 169
4.6 EIN NUMERISCHES BEISPIEL: DIE HENON-ABBILDUNG 179
5 DYNAMISCHE SYSTEME MIT DISSIPATION 197
5.1 VOLUMENKONTRAKTION - EINE WESENTLICHE EIGENSCHAFT DISSIPATIVER
SYSTEME 198
5.2 SELTSAMER ATTRAKTOR: LORENZ-ATTRAKTOR 201
5.3 LEISTUNGSSPEKTRUM UND AUTOKORRELATION 206
5.4 LYAPUNOV-EXPONENTEN 211
5.4.1 LINEARE STABILITAETSANALYSE NICHTLINEARER SYSTEME:
GLEICHGEWICHTSZUSTAND 211
5.4.2 STABILITAET PERIODISCHER LOESUNGEN: FLOQUET-THEORIE 218
5.4.3 LYAPUNOV-EXPONENT EINDIMENSIONALER ABBILDUNGEN 227
5.4.4 LYAPUNOV-EXPONENTEN N-DIMENSIONALER
KONTINUIERLICHER SYSTEME 231
5.4.5 LYAPUNOV-EXPONENTEN N-DIMENSIONALER DISKRETER SYSTEME. .. 239
5.4.6 NUMERISCHE BERECHNUNG DER LYAPUNOV-EXPONENTEN 241
5.5 DIMENSIONEN 247
5.5.1 CANTOR-MENGE 250
5.5.2 FRAKTALDIMENSIONEN: KAPAZITAETSDIMENSION UND
HAUSDORFF-BESICOVITCH-DIMENSION 253
5.5.3 INFORMATIONSDIMENSION 256
IMAGE 3
INHALTSVERZEICHNIS XXIII
5.5.4 KORRELATIONSDIMENSION, PUNKTWEISE DIMENSION UND REKONSTRUKTION VON
ATTRAKTOREN 269
5.5.5 VERALLGEMEINERTE DIMENSION D 4 283
5.5.6 LYAPUNOV-DIMENSION UND KAPLAN-YORKE-VERMUTUNG 285 5.6
KOLMOGOROV-SINAI-ENTROPIE 291
5.6.1 DER BERNOULLI-SHIFT 292
5.6.2 DEFINITION DER KS-ENTROPIE 296
5.6.3 ZUSAMMENHANG ZWISCHEN KS-ENTROPIE UND LYAPUNOV-EXPONENTEN 303
5.6.4 ZEITSPANNE FUER VERLAESSLICHE PROGNOSEN 305
6 LOKALE * IFUR KAT IONSTHEORIE 309
6.1 MOTIVATION 311
6.2 ZENTRUMSMANNIGFALTIGKEIT 319
6.3 NORMALFORMEN 340
6.4 NORMALFORMEN VON VERZWEIGUNGEN EINPARAMETRIGER FLUESSE 354 6.5
STABILITAET VON VERZWEIGUNGEN INFOLGE STOERUNGEN 374
6.6 VERZWEIGUNGEN VON FIXPUNKTEN EINPARAMETRIGER ABBILDUNGEN 378 6.7
RENORMIERUNG UND SELBSTAEHNLICHKEIT AM BEISPIEL DER LOGISTISCHEN
ABBILDUNG 403
6.7.1 DER MECHANISMUS DER PERIODENVERDOPPLUNG AD INFMITUM . .. 403 6.7.2
SUPERSTABILE ZYKLEN 411
6.7.3 SELBSTAEHNLICHKEIT IM *-RAUM 416
6.7.4 SELBSTAEHNLICHKEIT IM PARAMETERRAUM 427
6.7.5 ZUSAMMENHANG MIT PHASENUEBERGAENGEN 2. ORDNUNG UND
RENORMIERUNGSMETHODEN 441
6.8 EIN BESCHREIBENDER EXKURS IN DIE SYNERGETIK 445
7 KONVEKTIONSSTROEMUNGEN: BENARD-PROBLEM 455
7.1 HYDRODYNAMISCHE GRUNDGLEICHUNGEN 462
7.2 BOUSSINESQ-OBERBECK-APPROXIMATION 473
7.3 LORENZ-MODELL 475
7.4 ENTWICKLUNG DES LORENZ-SYSTEMS 481
8 WEGE ZUM CHAOS 493
8.1 LANDAU-SZENARIO 493
8.2 RUELLE-TAKENS-SZENARIO 498
8.2.1 INSTABILITAET QUASIPERIODISCHER BEWEGUNGEN AUF DEM 3D-TORUS 499
8.2.2 EXPERIMENTE VON SWINNEY UND GOLLUB 503
IMAGE 4
XXIV INHALTSVERZEICHNIS
8.3 UNIVERSELLE EIGENSCHAFTEN DES UEBERGANGS VON QUASIPERIODIZITAET ZU
CHAOS 507
8.3.1 DER IMPULSARTIG ERREGTE GEDAEMPFTE OSZILLATOR 508
8.3.2 DIE EINDIMENSIONALE KREISABBILDUNG 511
8.3.3 SKALIERUNGSEIGENSCHAFTEN DER KREISABBILDUNG 523
8.3.3.1 LOKALE SKALIERUNGSGESETZE 524
8.3.3.2 GLOBALE SKALIERUNGSGESETZE 535
8.4 DIE FEIGENBAUM-ROUTE UEBER PERIODENVERDOPPLUNGEN INS CHAOS . . .. 541
8.4.1 WEITERE SKALIERUNGSEIGENSCHAFTEN DER PERIODENVERDOPPLUNGSKASKADE
545
8.4.2 EXPERIMENTELLER NACHWEIS DER FEIGENBAUM-ROUTE 556
8.5 QUASIPERIODISCHER UEBERGANG BEI FESTER WINDUNGSZAHL 560
8.5.1 SKALIERUNGSEIGENSCHAFTEN DES QUASIPERIODISCHEN UEBERGANGS . . 561
8.5.2 MULTIFRAKTALE STRUKTUREN 568
8.5.3 EXPERIMENTELLER NACHWEIS DES QUASIPERIODISCHEN UEBERGANGS . 577
8.6 DER WEG UEBER INTERMITTENZ INS CHAOS 583
8.6.1 INTERMITTENZ BEI DER LOGISTISCHEN ABBILDUNG 584
8.6.2 KLASSIFIKATION DER INTERMITTENZ 588
8.6.3 TYP I-INTERMITTENZ 592
8.6.4 TYP ILL-INTERMITTENZ 600
8.6.5 TYP IL-INTERMITTENZ 606
8.7 WEGE AUS DEM CHAOS, STEUERUNG DES CHAOS 609
8.7.1 CHAOS-KONTROLLE OHNE RUECKKOPPLUNG 612
8.7.2 CHAOS-KONTROLLE MIT RUECKKOPPLUNG 613
9 TURBULENZ 617
9.1 DYNAMIK INKOMPRESSIBLER FLUESSIGKEITEN 622
9.1.1 DIE HYDRODYNAMISCHEN GRUNDGLEICHUNGEN 622
9.1.2 DIE LOKALE ENERGIEDISSIPATIONSRATE 625
9.1.3 DIE WIRBELTRANSPORTGLEICHUNG 627
9.1.4 DIE LAGRANGESCHE BEHANDLUNG VON FLUESSIGKEITSSTROEMUNGEN . 631
9.1.5 HYDRODYNAMISCHE WIRBEL 636
9.1.5.1 LAMB-OSEEN-WIRBEL 636
9.1.5.2 GESTRECKTE WIRBEL 638
9.1.5.3 LUNDGREN-WIRBEL 641
9.2 VOM CHAOS ZUR TURBULENZ 641
9.2.1 CHAOS IN FLUESSIGKEITSTROEMUNGEN 641
IMAGE 5
INHALTSVERZEICHNIS XXV
9.2.2 DYNAMIK VON PUNKTWIRBELN IN ZWEIDIMENSIONALEN IDEALEN STROEMUNGEN
641
9.2.2.1 DER HAMILTONSCHE CHARAKTER DER PUNKTWIRBELDYNAMIK 643
9.2.2.2 ZWEI PUNKTWIRBEL 644
9.2.2.3 DREI PUNKTWIRBEL 646
9.2.2.4 VIER PUNKTWIRBEL 649
9.2.2.5 MISCHUNG DURCH PUNKTWIRBEL 651
9.2.3 DIE ONSAGERSCHE GLEICHGEWICHTSTHEORIE 652
9.2.3.1 VISKOSITAET 652
9.3 TURBULENZ: DETERMINISMUS UND STOCHASTIZITAET 653
9.3.1 STATISTISCHE MITTELWERTBILDUNG 653
9.3.2 MOMENTENGLEICHUNGEN: DAS SCHLIESSUNGSPROBLEM DER TURBULENZ 655
9.3.3 ZERFALLENDE TURBULENZ 656
9.3.4 REYNOLDSSCHE GLEICHUNG UND TURBULENZ-MODELLIERUNG 656
9.4 CHARAKTERISTISCHE SKALEN DER TURBULENZ 659
9.4.1 TAYLOR-HYPOTHESE 659
9.4.2 PHAENOMENOLOGIE DES WIRBELZERFALLS UND ENERGIEKASKADE . . .. 659
9.4.3 DIE INTEGRALE LAENGE L 660
9.4.4 DIE KOLMOGOROVSCHEN LAENGEN 661
9.4.5 DIE TAYLOR-LAENGE 661
9.4.6 DIE TAYLOR-REYNOLDS-ZAHL 662
9.5 DIE TURBULENTE KASKADE 662
9.5.1 DIE VON KARMAN-HOWARTH-RELATION 662
9.5.2 DAS ENERGIESPEKTRUM E(K) 665
9.5.3 DIE ENERGIEKASKADE IN DER DREIDIMENSIONALEN TURBULENZ . . .. 666
9.5.4 HEISENBERGS THEORIE 668
9.6 DIE KOLMOGOROVSCHE THEORIE DER LOKAL ISOTROPEN TURBULENZ 670
9.6.1 DIE EVOLUTIONSGLEICHUNG FUER DIE GESCHWINDIGKEITSINKREMENTE 670
9.6.2 DIE ENERGIEBILANZ DES GESCHWINDIGKEITSINKREMENTES 671
9.6.3 DIE GEMITTELTE ENERGIEBILANZGLEICHUNG 673
9.6.3.1 HOMOGENE TURBULENZ 673
9.6.3.2 HOMOGENE, ISOTROPE TURBULENZ 674
9.6.3.3 DAS KOLMOGOROVSCHE -4/5 GESETZ 674
9.6.3.4 DISSIPATIONSBEREICH 675
9.6.3.5 INERTIALBEREICH 676
IMAGE 6
XXVI INHALTSVERZEICHNIS
9.6.4 DIE KOLMOGOROVSCHE THEORIE K41 676
9.6.4.1 UNIVERSALITAET DER STATISTIK DER KLEINSKALIGEN TURBULENZ 677
9.6.4.2 AEHNLICHKEITSVERHALTEN IM INERTIALBEREICH 678
9.6.4.3 SELBSTAEHNLICHKEIT UND FRAKTALE SKALENGESETZE 678
9.6.4.4 EXPERIMENTELLE UEBERPRUEFUNG DER SELBSTAEHNLICHKEITSHYPOTHESE 680
9.6.5 DAS PHAENOMEN DER INTERMITTENZ 681
9.6.6 KOLMOGOROV K62 682
9.6.7 MULTIFRAKTALES MODELL 684
9.6.8 MULTISKALEN-STATISTIK 685
9.7 AUSBLICK 686
9.8 ANHANG: ISOTROPE TENSORFELDER 687
9.8.1 LONGITUDINALE UND TRANSVERSALE KORRELATIONSFUNKTIONEN 689
9.8.1.1 DIE KORRELATIONSFUNKTION DRITTER ORDNUNG 691
9.8.2 KORRELATIONSFUNKTIONEN FUER INKOMPRESSIBLE, ISOTROPE UND HOMOGENE
FELDER 691
9.8.2.1 DIE KORRELATIONSFUNKTION ZWEITER ORDNUNG 691
9.8.2.2 DIE KORRELATIONSFUNKTION DRITTER ORDNUNG 692
9.8.3 STRUKTURFUNKTIONEN INKOMPRESSIBLER FELDER 693
9.8.3.1 STRUKTURFUNKTION ZWEITER ORDNUNG 693
9.8.3.2 STRUKTURFUNKTION DRITTER ORDNUNG 694
10 COMPUTEREXPERIMENTE 695
10.1 EINBLICK IN KNOCHENUMBAUPROZESSE 698
10.2 HENON-ABBILDUNG 714
10.3 WIEDERBEGEGNUNG MIT DEM LORENZ-SYSTEM 721
10.4 VAN DER POLSCHE GLEICHUNG 727
10.4.1 SELBSTERREGTE SCHWINGUNG 728
10.4.2 FREMDERREGTER VAN DER POL OSZILLATOR 734
10.5 DUFFING-GLEICHUNG 751
10.6 JULIA-MENGEN UND IHR ORDNUNGSPRINZIP 774
10.7 STRUKTUR DER ARNOL D-ZUNGEN 788
10.8 ZUR KINETIK CHEMISCHER REAKTIONEN AN EINKRISTALL-OBERFLAECHEN . . ..
797
10.8.1 OXIDATION VON WASSERSTOFF AN EINER PLATIN-ELEKTRODE 799
10.8.2 ZUR KINETIK DER KATALYTISCHEN OXIDATION VON CO AN PT(LLO) 801
10.8.2.1 PHAENOMENOLOGIE DER KATALYTISCHEN OXIDATION 802
IMAGE 7
INHALTSVERZEICHNIS XXVII
10.8.2.2 SCHRITTWEISE FORMULIERUNG EINES KINETISCHEN MODELLS 806
10.8.3 IDENTIFIKATION VON CHAOS UND HYPERCHAOS BEI KINETISCHEN
OBERFLAECHENREAKTIONEN 813
10.8.4 RAUMZEITLICHE MUSTERBILDUNG 817
FARBTAFELN 825
LITERATURVERZEICHNIS 855
INDEX 879
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