Regression: Modelle, Methoden und Anwendungen
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| Language: | German |
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Berlin [u.a.]
Springer
2009
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| Edition: | 2. Aufl. |
| Series: | Statistik und ihre Anwendungen
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Einführung......................................................... 1
1.1 Anwendungsbeispiele.............................................. 4
1.2 Erste Schritte.................................................... 11
1.2.1 Beschreibung der Verteilung der Variablen..................... 11
1.2.2 Grafische Zusammenhangsanalyse............................ 13
Stetige erklärende Variablen................................. 13
Kategóriáié
erklärende Variablen............................. 16
Regressionsmodelle................................................. 19
2.1 Einführung...................................................... 19
2.2 Lineare Regressionsmodelle........................................ 20
2.2.1 Das einfache lineare Regressionsmodell........................ 20
2.2.2 Das multiple lineare Regressionsmodell........................ 24
2.3 Regression bei binären Ziel variablen: Das Logit-Modell................ 30
2.4 Gemischte Modelle ............................................... 35
2.5 Einfache nichtparametrische Regression............................. 40
2.6 Additive Regression............................................... 44
2.7 Generalisierte additive Regression .................................. 47
2.8 Geoadditive Regression............................................ 49
2.9 Modelle im Überblick............................................. 55
2.9.1 Lineare Modelle (LM, Kapitel 3) ............................. 55
2.9.2 Logit-Modell (Kapitel 4) .................................... 56
2.9.3 Poisson-Regression (Kapitel 4)............................... 56
2.9.4 Generalisierte lineare Modelle (GLM, Kapitel 4, 5) ............. 56
2.9.5 Lineare gemischte Modelle (LMM, Kapitel 6) .................. 56
2.9.6 Additive Modelle und Erweiterungen (AM, Kapitel 7, 8) ........ 57
2.9.7 Generalisierte additive (gemischte) Modelle
(GAMM,
Kapitel 8).. 58
2.9.8 Strukturiert-additive Regression (STAR, Kapitel 8)............. 58
Lineare Regressionsmodelle ........................................ 59
3.1 Das klassische lineare Modell....................................... 59
3.1.1 Modelldefinition............................................ 59
3.1.2 Modellparameter, Schätzungen und Residuen.................. 63
3.1.3 Diskussion der Modellannahmen ............................. 64
Linearität des Einflusses der Kovariablen...................... 64
Homoskedastische Varianz der Störgrößen..................... 64
Inhaltsverzeichnis
Unkorreliertheit der Störgrößen.............................. 66
Additivität der Störgrößen................................... 70
3.1.4 Modellierung des Einflusses der Kovariablen................... 72
Metrische Kovariablen...................................... 72
Kategóriáié
Kovariablen..................................... 80
Interaktionen zwischen Kovariablen........................... 83
3.2 Parameterschätzungen............................................ 90
3.2.1 Schätzung der Regressionskoeffizienten........................ 90
Die Methode der kleinsten Quadrate.......................... 90
Maximum-Likelihood-Schatzung
.............................. 92
Geschätzte Werte und Residuen.............................. 93
3.2.2 Schätzung der Varianz der Störgrößen......................... 94
Maximum-Likelihood-Schätzung.............................. 94
Restringierte Maximum-Likelihood-Schätzung.................. 94
3.2.3 Eigenschaften der Schätzungen............................... 95
Geometrische Eigenschaften des KQ-Schätzers ................. 95
Streuungszerlegung und Bestimmtheitsmaß.................... 98
Statistische Eigenschaften ohne spezielle Verteilungsannahmen ... 101
Statistische Eigenschaften bei Normalverteilungsannahme....... 103
Asymptotische Eigenschaften des KQ-Schätzers................ 105
Statistische Eigenschaften der Residuen....................... 107
Standardisierte und studentisierte Residuen.................... 108
3.3 Hypothesentests und Konfidenzintervalle............................ 111
3.3.1 F-Test.................................................... 113
Zusammenhang mit dem Wald-Test........................... 115
F-Test für einige spezielle Testprobleme....................... 115
Asymptotische Eigenschaften des F-Tests...................... 119
3.3.2 Konfidenzbereiche und Prognoseintervalle..................... 119
Konfidenzintervalle und
Ellipsoide
für die Regressionskoeffizienten 119
Prognoseintervalle..........................................121
3.4 Das allgemeine lineare Regressionsmodell............................ 124
3.4.1 Modelldefinition............................................ 124
3.4.2 Gewichtete Methode der kleinsten Quadrate................... 125
Gruppierte Daten.......................................... 127
3.4.3 Heteroskedastische Fehler ................................... 128
Diagnose heteroskedastischer Fehler........................... 129
Maßnahmen bei Heteroskedastizität .......................... 132
3.4.4 Autokorrelierte Fehler....................................... 136
Autokorrelation erster Ordnung..............................137
Diagnose autokorrelierter Störungen.......................... 139
Maßnahmen bei Autokorrelation erster Ordnung............... 142
Inhaltsverzeichnis
XI
3.5 Bayesianische lineare Modelle...................................... 147
3.5.1 Priori-Verteilungen......................................... 147
3.5.2 Vollständig bedingte Dichten und MCMC-Inferenz.............. 149
3.5.3 Posteriori-Verteilung........................................ 152
3.6 Modellwahl und Variablenselektion................................. 152
3.6.1 Auswirkunge
Bias,
Varianz und Prognosegüte.................. 155
Auswirkungen auf
Bias
und Varianz des KQ-Schätzers.......... 156
Auswirkung der Modellspezifikation auf die Prognosegüte........ 157
3.6.2 Modellwahlkriterien ........................................ 159
Das korrigierte Bestimmtheitsmaß............................ 160
Mallows Cv
............................................... 161
Informationskriterium nach
Akaiké AIC
....................... 161
Kreuzvalidierung........................................... 161
Bayesianisches Informationskriterium
BIC
..................... 162
3.6.3 Praktische Verwendung der Modellwahlkriterien................ 163
3.6.4 Modelldiagnose ............................................ 168
Überprüfen der Modellannahmen............................. 168
Kollinearitätsanalyse........................................ 170
Ausreißer- und Einflussanalyse............................... 173
Alternative Modellierungsansätze nach Modelldiagnose.......... 179
3.7 Bemerkungen und Ergänzungen.................................... 180
3.7.1 Literaturhinweise........................................... 180
3.7.2 Beweise................................................... 181
Generalisierte lineare Modelle...................................... 189
4.1 Binäre Regression................................................ 189
4.1.1 Binäre Regressionsmodelle................................... 189
Logit-Modell............................................... 190
Probit-Modell.............................................. 191
Komplementäres log-log-Modell.............................. 191
Binäre Modelle als Schwellenwertmodelle latenter linearer Modelle 193
Parameterinterpretation..................................... 194
Gruppierte Daten.......................................... 195
Überdispersion (Overdispersion).............................. 197
4.1.2 Maximum-Likelihood-Schätzung.............................. 198
Vergleich mit ML- bzw. KQ-Schätzung im linearen Modell....... 201
Iterative numerische Berechnung des ML-Schätzers............. 202
Asymptotische Eigenschaften des ML-Schätzers................ 203
4.1.3 Testen linearer Hypothesen.................................. 204
4.1.4 Kriterien zur Modellanpassung und Modellwahl................ 205
4.2 Regression für Zähldaten.......................................... 210
XII Inhaltsverzeichnis
4.2.1 Modelle für Zähldaten...................................... 210
Log-lineares Poisson-Modell.................................. 210
Lineares Poisson-Modell..................................... 210
Überdispersion............................................. 210
4.2.2 Schätzen und Testen: Likelihood-Inferenz...................... 212
Maximum-Likelihood-Schätzung.............................. 212
Testen linearer Hypothesen.................................. 213
Kriterien zur Modellanpassung und Modellwahl................ 213
Schätzung des Überdispersions-Parameters .................... 213
4.3 Modelle für positive stetige Zielvariablen ............................ 215
Gamma-Regression......................................... 217
Inverse
Gauß-Verteilung..................................... 217
4.4 Generalisierte Lineare Modelle..................................... 217
4.4.1 Allgemeine Modelldefinition ................................. 217
4.4.2 Likelihood-Inferenz......................................... 220
Asymptotische Eigenschaften des ML-Schätzers................ 223
Schätzung des Skalierungs- oder Überdispersionsparameters...... 224
Testen linearer Hypothesen.................................. 224
Kriterien zur Modellanpassung und Modellwahl................ 225
4.5 Quasi-Likelihood-Modelle.......................................... 226
4.6 Bayesianische generalisierte lineare Modelle.......................... 228
4.7 Bemerkungen und Ergänzungen.................................... 233
5
Kategóriáié
Regressionsmodelle.....................................235
5.1 Einführung......................................................235
Multinomialverteilung.......................................236
Daten.....................................................237
5.2 Modelle für ungeordnete Kategorien ................................238
Nominale Modelle und latente Nutzenmodelle..................241
5.3 Ordinate Modelle.................................................242
Das kumulative oder Schwellenwert-Modell....................242
Das sequentielle Modell.....................................245
5.4 Schätzen und Testen: Likelihood-Inferenz............................247
Numerische Bestimmung des ML-Schätzers....................249
Asymptotische Eigenschaften und Tests linearer Hypothesen.....249
5.5 Bemerkungen und Ergänzungen....................................252
6 Gemischte Modelle.................................................253
6.1 Lineare gemischte Modelle für
Longitudinal-
und
Clusterdaten
.........254
6.2 Das allgemeine lineare gemischte Modell.............................259
6.3 Likelihood-Inferenz für LMM ...................................... 261
6.3.1 Schätzung bei bekannter Kovarianzstruktur....................261
Inhaltsverzeichnis XIII
6.3.2 Schätzung der Kovarianzstruktur............................. 263
6.3.3 Schätzung fixer und zufälliger Effekte......................... 264
6.3.4 Hypothesentests............................................ 266
6.4 Likelihood-Inferenz für
Longitudinal-
und Clusterdaten-Modelle........ 268
6.5 Bayesianische gemischte lineare Modelle............................. 271
Posteriori-Verteilung bei bekannter Kovarianzstruktur........... 273
Empirische Bayes-Schätzung................................. 273
Volle Bayes-Schätzung...................................... 274
6.6 Generalisierte lineare gemischte Modelle............................. 278
6.6.1 Definition und Eigenschaften von GLMM...................... 278
GLMM für
Longitudinal-
und
Clusterdaten
.................... 279
GLMM in allgemeiner Form................................. 279
Kategóriáié
gemischte Regressionsmodelle..................... 282
6.7
Likelihood-
und Bayes-Inferenz in GLMM........................... 284
6.7.1 Penalisierte
Likelihood-
und empirische Bayes-Schätzung........ 284
6.7.2 Volle Bayes-Inferenz mit MCMC............................. 287
6.8 Bemerkungen und Ergänzungen.................................... 289
7 Nichtparametrische Regression.....................................291
7.1 Univariate Glättung..............................................292
7.1.1 Polynom-Splines ...........................................293
Polynom-Splines und trunkierte Potenzen.....................296
Einfluss der Knoten auf die Schätzung........................301
B-Spiines..................................................303
7.1.2 Penalisierte
Splines
(P-Splines)...............................306
P-Splines basierend auf der TP-Basis.........................307
P-Splines basierend auf B-Splines.............................309
Penalisierte KQ-Schätzung ..................................311
Bayesianische P-Splines.....................................316
7.1.3 Allgemeine Penalisierungsansätze.............................320
7.1.4 Glättungssplines...........................................323
7.1.5
Random Walks
.............................................326
7.1.6 Kriging...................................................327
Klassisches Kriging.........................................327
Kriging als Glättungsverfahren für Zeitreihen..................330
Kriging als Glättungsverfahren der nichtparametrische Regression 331
7.1.7 Lokale Glättungsverfahren...................................333
Nächste-Nachbarn-Schätzer..................................333
Lokal polynomiale Regression und Nadaraya-Watson-Schätzer___335
Loess
.....................................................339
7.1.8 Allgemeine Streudiagramm-Glätter...........................340
XIV
Inhaltsverzeichnis
Lineare
Glättungsverfahren.................................. 340
Konfidenzintervalle und -bänder.............................. 342
Äquivalente Freiheitsgrade (effektive Parameterzahl)............ 345
Schätzung der Fehlervarianz................................. 347
Bias-Varianz-Trade Off...................................... 348
7.1.9 Wahl des Glättungsparameters............................... 350
Glättungsparameterwahl basierend auf Optimalitätskriterien.....350
Repräsentation von Penalisierungsansätzen als gemischte Modelle. 353
Bayesianische Glättungsparameterwahl basierend auf MCMC .... 357
7.1.10
Adaptive
Verfahren.........................................359
Multivariate
adaptive
Regressions-Splines
(MARS)
............. 359
Regressionsbäume.......................................... 361
Bayesianische
adaptive
Verfahren
I:
Model
Averaging
...........364
Bayesianische
adaptive
Verfahren
II:
Reversible Jump MCMC.... 366
7.2 Bivariate Glättung und räumliche Effekte............................368
7.2.1 Tensorprodukt-P-Splines....................................371
Tensorprodukt-Basen.......................................371
2D-Penalisierungsansätze....................................375
7.2.2 Radiale Basisfunktionen.....................................379
7.2.3 Kriging...................................................381
Klassische Geostatistik......................................382
Kriging als Basisfunktionenansatz............................384
Schätzung von Kriging-Modellen.............................385
7.2.4 Markov-Zufallsfelder........................................387
Nachbarschaften und penalisiertes KQ-Kriterium...............387
Bayesianische Modellformulierung............................389
Räumlich autoregressive Prozesse............................. 393
7.2.5 Fazit......................................................393
7.2.6 Lokale und
adaptive
Glättungsverfahren....................... 394
7.3 Höherdimensionale Glättung....................................... 395
7.4 Bemerkungen und Ergänzungen....................................397
Strukturiert-additive Regression....................................399
8.1 Additive Modelle................................................. 399
8.2 Geoadditive Regression............................................404
8.3 Modelle mit Interaktionen.........................................407
8.3.1 Modelle mit variierenden Koeffizienten........................408
8.3.2 Interaktion zwischen zwei metrischen Kovariablen..............410
8.4 Strukturiert-additive Regression....................................413
8.5 Inferenz.........................................................419
8.5.1 Penalisierte KQ- bzw- Likelihood-Schätzung...................420
Inhaltsverzeichnis
XV
Backñtting
................................................420
Direkte Minimierung des penalisierten KQ-Kriteriums...........421
Generalisierte STAR-Modelle................................422
Schätzung der Glättungsparameter...........................422
Modellwahl und Diagnose...................................423
8.5.2 Inferenz basierend auf der Repräsentation als gemischtes Modell.. 423
Modellwahl und Diagnose...................................425
8.5.3 Bayesianische Inferenz mit MCMC ...........................425
Normalverteilte Zielgrößen...................................425
Latente normalverteilte Zielgrößen............................ 427
Nicht-normalverteilte Zielgrößen..............................428
Modellwahl und Diagnose...................................428
8.5.4 Software-Hinweise..........................................430
8.6 Fallstudie: Unterernährung in Sambia...............................431
8.6.1 Hinweise zur grundsätzlichen Vorgehensweise ..................431
Deskriptive Analyse der Rohdaten............................431
Datenaufbereitung..........................................431
Grafische zweidimensionale Zusammenhangsanalyse.............432
Schätzung erster Arbeitsmodelle..............................432
Modelldiagnose und Verfeinerung der Arbeitsmodelle ...........432
Darstellung der Ergebnisse ..................................434
8.6.2 Deskriptive Analysen.......................................435
8.6.3 Modellierungsvarianten......................................437
8.6.4 Schätzergebnisse und Modellevaluation........................438
8.7 Bemerkungen und Ergänzungen....................................443
A Matrix-
Algebra..................................................... 445
A.l Definition und elementare Operationen.............................. 445
A.2 Der Rang einer Matrix............................................ 449
A.3 Determinante und Spur einer Matrix................................ 451
A.4 Verallgemeinerte
Inverse
........................................... 452
A.5 Eigenwerte und Eigenvektoren..................................... 453
A.6 Quadratische Formen............................................. 455
A.7 Differentiation von Matrixfunktionen................................ 457
В
Wahrscheinlichkeitsrechnung und induktive Statistik................459
B.l Einige eindimensionale Verteilungen ................................459
B.2 Zufallsvektoren...................................................461
B.3 Die multivariate Normalverteilung..................................464
B.3.1 Definition und Eigenschaften.................................464
B.3.2 Die
singulare
Normalverteilung...............................465
B.3.3 Verteilungen quadratischer Formen...........................466
XVI Inhaltsverzeichnis
В.3.4
Multivariate t-Verteilung.................................... 467
В.
4 Likelihood-Inferenz............................................... 467
8.4.1
Maximum-Likelihood-Schätzung.............................. 467
8.
4.2 Numerische Berechnung des ML-Schätzers..................... 473
B.4.3 Asymptotische Eigenschaften des ML-Schätzers................ 475
B.4.4 Likelihood-basierte Tests für lineare Hypothesen................ 475
B.4.5 Modellwahl................................................ 477
B.5 Bayes-Inferenz................................................... 478
B.5.1 Grundlagen der Bayes-Inferenz............................... 478
B.5.2 Punkt- und Intervallschätzer................................. 480
Punktschätzer ............................................. 480
Intervallschätzung.......................................... 481
B.5.3 MCMC-Methoden.......................................... 482
Metropolis-Hastings-
Algorithmus............................. 483
Gibbs-Sampler und Hybrid-Algorithmen....................... 486
B.5.4 Modellwahl................................................ 488
Literaturverzeichnis ....................................................491
Index...................................................................497
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| author | Fahrmeir, Ludwig 1945- Kneib, Thomas 1976- Lang, Stefan 1970- |
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