Groupes de Chow-Witt:
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| Format: | Buch |
| Sprache: | French |
| Veröffentlicht: |
Montreuil
Gauthier-Villars
2008
|
| Schriftenreihe: | Mémoire de la Société Mathématique de France
113 |
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| Online-Zugang: | Inhaltsverzeichnis Klappentext |
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TABLE DES MATIERES
1.
Introduction
. 1
1.1.
Avertissement
. 3
1.2.
Conventions
. 4
1.3.
Remerciements
. 4
2.
Le complexe en ir-théorie de Milnor
. 5
2.1.
Résumé
. 5
2.2.
Définitions
. 6
2.3.
Fonctorialité du complexe en X-théorie de Milnor
. 10
3.
Le complexe de Gersten-Witt d'un schéma régulier
. 15
3.1.
Résumé
. 15
3.2.
Le groupe de
Witt des
complexes de modules localement libres
. 15
3.3.
Le groupe de
Witt des
modules de longueur finie
. 17
3.4.
Le complexe de Gersten-Witt
. 20
3.5.
Un calcul des différentielles du complexe
. 25
4.
Le complexe de Gersten-Witt d'un schéma de Gorenstein
. 27
4.1.
Résumé
. 27
4.2.
Les groupes de
Witt des
modules cohérents
. 28
4.3.
Le groupe de
Witt
cohérent d'un anneau de Gorenstein local
. 30
4.4.
Le complexe de Gersten-Witt d'un schéma de Gorenstein
. 35
5.
Le morphisme de transfert
. 41
5.1.
Résumé
. 41
5.2.
Transferts
. 41
5.3.
Le morphisme de complexes
. 43
6.
Le calcul du morphisme de transfert
. 49
6.1.
Résumé
. 49
6.2.
Le complexe tordu par le faisceau canonique
. 50
6.3.
Le morphisme de transfert tordu par les faisceaux canoniques
. 52
6.4.
Le calcul explicite du transfert
. 55
TABLE DES MATIERES
7.
Un autre calcul des différentielles du complexe
. 65
7.1.
Résumé
. 65
7.2.
Le cas facile
. 65
7.3.
Le cas généra]
. 69
8.
Le morphisme de transfert pour les morphismes propres
. 71
8.1.
Résumé
. 71
8.2.
Définition
. 71
8.3.
Le morphisme de complexes
. 72
9.
Complexe de Gersten-Witt et idéaux fondamentaux
. 83
9.1.
Résumé
. 83
9.2.
Différentielles et idéaux fondamentaux
. 84
9.3.
Fonctorialité
. 86
10.
Groupes de Chow-Witt d'un schéma
. 89
10.1.
Résumé
. 89
10.2.
La définition des groupes de Chow-Witt
. 90
10.3.
Le groupe de Chow-Witt maximal d'une fc-algèbre
. 97
10.4.
Propriétés fonctorielles
.101
11.
Invariances homotopiques
.107
11.1.
Résumé
.107
11.2.
Invariance homotopique de C(X, W)
.107
11.3.
Invariance homotopique des groupes de Chow-Witt
.113
12.
Produits fibres et morphismes de complexes
.115
12.1.
Résumé
.115
12.2.
Le cas des morphismes finis
.115
12.3.
Le cas général
.119
13.
Les classes d'Euler
.125
13.1.
Résumé
.125
13.2.
Définitions
.126
13.3.
Propriétés
.128
13.4.
Le calcul de
(s0)*
.130
14.
La classe d'Euler d'un module projectif de rang maximal
.133
14.1.
Résumé
.133
14.2.
Homotopies de sections
.133
14.3.
Le calcul de (p*)"1
.135
15.
La dimension
2 .137
15.1.
Résumé
.137
15.2.
L'homomorphisme
ƒ :
Wlf (A)
-►
W~ (A)
.137
15.3.
L'homomorphisme
φ
:
ČIŘ2
(A)
-►
Κξρ{Α) .
144
MEMOIRES DE LA
SMF
113
TABLE DES MATIERES
16.
Le groupe de Chow-Witt maximal d'une M-algèbre lisse
.151
16.1.
Résumé
.151
16.2.
Premiers pas
.152
16.3.
Le calcul de
Ctľ\xR)
.154
16.4.
La suite exacte
.158
17.
Les groupes des classes d'Euler
.161
17.1.
Résumé
.161
17.2.
Définition du groupe des classes d'Euler et premiers résultats
.161
17.3.
Le groupe des classes d'Euler noethérien
.165
17.4.
Quelques résultats
.168
A. Théorème d'Eisenbud-Evans et Théorème de
Bertini
.171
A.l. Théorème d'Eisenbud-Evans
.171
A.2. Théorème de
Bertini
.172
B.
Catégories triangulees
.175
B.l. Définition
.175
B.2. Exemples de catégories triangulees
.177
C. Le groupe de
Witt
d'une catégorie exacte
.181
Cl. Définitions
.181
C.2. Orthogonalité
.182
C.3. Fonctorialité
.183
D. Les groupes de
Witt de
catégories triangulees
.185
D.I.
Définitions
.185
D.2. La suite exacte de localisation
.188
E. Remarques sur les groupes de
Witt
d'un corps
.193
E.l. Le groupe de
Witt
W
(k, L)
.193
E.2.
Le groupe de
Witt
W(k, Ext
J
(A, A))
.194
Bibliographie
.195
SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE
2008
Dans ce travail nous étudions les groupes de Chow-Witt, définis en combinant
la théorie classique des cycles algébriques et la théorie des formes quadra¬
tiques. Ces groupes satisfont à peu de choses près les propriétés fonctorielles
des groupes de Chow et entretiennent avec ces derniers des relations étroites. Ils
trouvent une application dans le problème de comprendre dans quelle situation
un
Л
-module
projectif
Ρ
de rang égal à la dimension d'une /c-algèbre lisse A
est isomorphe à un module projectif plus simple
Q
φ Α.
In this work we study the Chow-Witt groups, defined by combining the classical
theory of algebraic cycles with the theory of quadratic forms. Those groups
satisfy more or less the same functorial properties as the Chow groups and
are closely related to these. They find a striking application in the problem of
understanding when
a projective
module
Ρ
of top rank over a smooth fc-algebra
A has a free factor of rank one, i. e.
,
is isomorphic to
Q
θ Λ. |
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