Topologie: eine anschauliche Einführung in die geometrischen und algebraischen Grundlagen
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Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2009
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| Series: | Aufbaukurs Mathematik
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Einführung 1
1.1 Der Homöomorphie-Begriff.......................... 2
1.2 Zusammenhang................................. 10
1.3 Kurven in der Ebene.............................. 13
1.4 Der Brouwersche Fixpunktsatz........................ 19
1.5 Die Umlaufezahl................................ 22
1.6 Der Satz vom Igel ............................... 28
1.7 Orthogonale Multiplikationen......................... 32
Allgemeine
Topologie
39
2.1
Topologische
Räume und stetige Abbildungen................ 40
2.2 Konstruktion topologischer Räume...................... 46
2.3 Trennung und Zusammenhang ........................ 51
2.4 Kompaktheit.................................. 58
2.5 Quotientenräume................................ 66
Homotopie 73
3.1 Die Fundamentalgruppe............................ 74
3.2 Der Homotopiebegriff............................. 80
3.3 Höhere Homotopiegruppen........................... 85
3.4 Simpliziale Approximation........................... 89
3.5 Fundamentalgruppen endlicher Polyeder................... 94
3.6 Überlagerungen................................. 98
3.7 Klassifikation von Überlagerungen...................... 103
3.8 Flächen..................................... 108
üe-Gruppen und homogene Räume 121
4.1
Topologische
Gruppen............................. 122
4.2 Operationen topologischer Gruppen ..................... 126
4.3 Die klassischen Gruppen............................ 134
4.4 Lie-Gruppen .................................. 140
4.5 Spinoren..................................... 147
4.6 Clifford-Vektorfelder.............................. 154
4.7 Stiefel-Mannigfaltigkeiten........................... 158
Homologie 165
5.1 Homologiegruppen............................... 166
ix
Inhaltsverzeichnis
5.2 Ketten-Komplexe................................ 177
5.3 Kategorien und Funktoren........................... 187
5.4 Die Eilenberg-Steenrod-Axiome........................ 191
5.5 Ausbau der Homologie-Theorie........................ 198
5.6 Erste Anwendungen.............................. 204
5.7 Der Abbildungsgrad.............................. 211
5.8 Zelluläre Homologie .............................. 218
5.9 Euler- und Lefschetz-Zahl........................... 224
6 Ausblick: Produkte 229
6.1 Exakte Funktoren ............................... 230
6.2 Koeffizienten-Theoreme............................ 231
6.3 Die Künneth-Formel.............................. 233
6.4 Das Kreuz-Produkt............................... 235
6.5 Kohomologie.................................. 238
6.6 Das Cup-Produkt................................ 244
6.7 Kohomologie
projektiver
Räume ....................... 247
6.8 Die Hopf-Invariante .............................. 252
6.9 H-Räume.................................... 256
A
Anhang 259
A.l Ringe und Moduln............................... 260
A.l.l Grundlagen............................... 260
A.l.2 Endlich erzeugte abelsche Gruppen.................. 260
A.1.3 Tensor-Produkte............................ 262
A.1.4 Graduierte Algebren.......................... 263
A.2 Trennungs-Axiome............................... 266
Literaturverzeichnis 267
Stichwortverzeichnis 269
Symbolverzeichnis 275
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