Biomathematik: mathematische Modelle in der medizinischen Informatik und in den Computational Life Sciences mit Computerlösungen in Mathematica
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Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2009
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| adam_text | Titel: Biomathematik
Autor: Schuster, Reinhard
Jahr: 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Elementare Funktionen, Einführung in Mathematica 1
1.1 Grafische Darstellung und erste Berechnungen mit Mathematica . 1
1.2 Quadratische Funktionen und Mathematica 8
1.3 Potenzfunktionen 13
1.4 Exponential - und Logarithmusfunktionen 15
1.5 Winkelfunktionen 16
1.6 Hyperbolische Winkelfunktionen 18
1.7 Komplexe Zahlen 20
1.8 Polynome und rationale Funktionen 23
1.9 Wiederholung zur Differential- und Integralrechnung 24
1.10 Kurvendiskussion mit Mathematica 31
1.11 Exponentialfunktion und Winkelfunktionen mit komplexen
Argumenten 33
2 Modellierung durch Differentialgleichungen und dynamische
Systeme 42
2.1 Einführung 42
2.2 Abstrakte Definition dynamischer Systeme 43
2.3 Gewöhnliche Differentialgleichungen 46
3 Wachstumsmodelle in Medizin, Biologie und Biochemie,
Dynamik einer von der Zeit abhängigen Population 51
3.1 Exponentielles Wachstum als Differentialgleichungsmodell und
geometrisches Wachstum als diskretes Analogon 51
3.2 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung einer autonomen
Differentialgleichung 57
3.3 Wachstum mit Sättigung: Verhulstgleichung und logistisches
Wachstum 61
3.4 Bernoulli-Zahlen und Bernoulli-Polynome 69
3.5 Gleichgewichtspunkte der Verhulstgleichung 73
3.6 Massenwirkungsgesetz als Differentialgleichungsmodell 75
3.7 Die Verhulstgleichung unter Einwirkung einer Räuberpopulation:
Hystereseeigenschaften der Lösungen, Stabilität in Abhängigkeit
von Parametern 82
3.8 Unterschiedliche Zeitskalen in der Michaelis-Menten-Theorie der
Enzymkinetik, singuläre Störungstheorie 95
3.9 Diffusion durch Zufallsbewegungen 104
x Inhaltsverzeichnis
3.10 Ergänzung durch einen Diffusionsterm: Wellenansatz; Veränderung
des Stabilitätsverhaltens durch räumliche Wirkungsausbreitung . . 107
3.11 Verhulstgleichung mit Verzögerung, Abhängigkeiten der Dämpfung
und Oszillation der Lösungen von der Verzögerungszeit und
Verzweigungspunkte für Lösungen 118
3.12 Diskretes logistisches Modell: Periodenverdopplung und
Feigenbaumkonstante 124
3.13 Weitere Modelle zu einer abhängigen Population: Bertalanffy-,
Gompertz-Gleichung, hyperbolisches, parabolisches und
Michaelis-Menten-Wachstum 129
3.14 Fibonacci-Folgen 134
3.15 Diffusions- und Wärmeleitungsgleichung, Fourierreihen 138
4 Funktionalgleichungsmodelle 147
5 Lineare Gleichungssysteme, Vektorräume und Zusammenhänge
zwischen algebraischen und analytischen Modellen 152
5.1 Einführung 152
5.2 Matrizen 154
5.3 Determinanten 158
5.4 Inverse Matrizen 160
5.5 Lösungsstruktur linearer Gleichungssysteme 162
5.6 Eigenwerte und Eigenvektoren 165
5.7 Anwendung in der Populationsgenetik 168
5.8 Vektorräume und lineare Abbildungen 172
5.9 Struktur der Lösung linearer Gleichungssysteme 179
5.10 Einführung in Zusammenhänge zwischen algebraischen und
analytischen Modellen 182
5.11 Transformationsformeln für Gebietsintegrale und Differentiale als
Basiselemente von Graßmann-Algebren 189
6 Populationen mit Wechselwirkung. Eigenschaften und
Anwendungen dynamischer Systeme in Biologie und Medizin 193
6.1 Das Lotka - Volterra - System als Räuber-Beute-Modell 193
6.2 Konkurrenz und Symbiose, das Volterrasche Exklusionsprinzip . . 200
6.3 Gleichgewichtspunkte und Stabilität. Linearisierung als
Grundprinzip 207
6.4 Ein Räuber-Beute-Modell mit Grenzzyklus 211
6.5 Reaktionskinetik eines Systems, das durch das
Massenwirkungsgesetz beschrieben wird: Brüsselator 220
6.6 Reversible Reihenschaltung in der Physiologie 221
Inhaltsverzeichnis xi
6.7 Das „pharmakokinetische Grundmodell : physiologische
Wechselwirkungen von Muskeln, Blut, Niere und Leber ....... 227
6.8 Das SIR-Modell zur Ausbreitung von Infektionskrankheiten .... 229
6.9 Ein SIS - Mehrkompartmentmodell und dessen Stabilitätsverhalten 236
7 Rückkopplungssysteme, Bifurkationseigenschaften und weitere
Strukturelemente biomathematischer Modelle 241
7.1 Periodische Impulse und Impulsverstärkung in der Hodgkin-Huxley-
Theorie der Nervenmembranen 241
7.2 Enzym, mRNA und Reaktionsprodukt im Goodwin-Modell als
Beispiel eines Rückkopplungssystems 249
7.3 Hysterese, Pilzköpfe und Inseln: Anzahl und Stabilität von
Gleichgewichtspunkten in Abhängigkeit eines Parameters ..... 255
7.4 Parameterabhängige Gleichgewichtspunkte: Bifurkationstheorie . . 262
7.5 Dynamische Krankheiten in der Physiologie 271
7.6 Ljapunov-Funktionen und global stabile Gleichgewichtslösungen . . 277
7.7 „Schwarze Löcher in biologischen Systemen, der Sekundenherztod 279
7.8 Van der Polsche Gleichung: Existenz und Eindeutigkeit eines
Grenzzyklusses . 286
8 Grenzmengen und Attraktoren, strukturelle
Stabilität 294
8.1 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten .... 294
8.2 Nichtlineare autonome Differentialgleichungen 299
8.3 Grenzmengen und Attraktoren 303
8.4 Strukturelle Stabilität 308
8.5 Zweidimensionale dynamische Systeme 309
8.6 Lorenz-Attraktor und Rössler-Modell 316
8.7 Einführung in die Thomsche Katastrophentheorie 324
9 Fraktale 329
9.1 Von den „Monsterkurven der Analysis zu den Fraktalen ...... 329
9.2 Juliamengen und Mandelbrotmenge 336
9.3 Komplexe Cantorsche Mengen . 342
Anhang 345
Literatur 347
Index 351
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