Didaktik der Bruchrechnung: [für Lehrerausbildung und Lehrerfortbildung]
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Heidelberg
Spektrum Akad. Verl.
2009
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| Edition: | 4., erw., stark überarb. Aufl. |
| Series: | Mathematik Primar- und Sekundarstufe
|
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| Online Access: | Inhaltstext Inhaltsverzeichnis |
| Item Description: | Hier auch später erschienene, unveränderte Nachdrucke |
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Inhaltsverzeichnis
Einleitung. XIII
I
Die Bruchrechnung — ein Auslaufmodell?. 1
1 Einige Argumente gegen die Bruchrechnung mit gemeinen Brüchen . 1
1.1 Irrelevanz für das tägliche Leben. 1
1.2 Relikt aus längst vergangenen Zeiten. 2
1.3 Bequeme Spielwiese für Lehrer. 2
1.4 Mehr Zeit für Dezimalbrüche. 2
1.5 Zwei Schreibweisen für Bruchzahlen?. 2
1.6 Brüche — nur ein Selektionsinstrument? . 3
2 Einige Argumente zur Notwendigkeit der Bruchrechnung mit gemei¬
nen Brüchen . 3
2.1 Brüche und die anschauliche Fundierung der Dezimalbruch¬
rechnung . 3
2.2 Wahrscheinlichkeitsrechnung ohne Bruchrechnung?. 5
2.3 Bruchrechnung und Gleichungslehre . 7
2.4 Zahlbereichserweiterung von N nach Q+. 8
2.5 Bruchrechnung und Algebra. 10
3 Resümee. 10
II
Konzepte zur Behandlung der Bruchrechnung. 13
1 Das Größenkonzept . 14
2 Das Operatorkonzept. 15
3 Das Gleichungskonzept. 19
4 Das Äquivalenzklassenkonzept. 20
5 Resümee. 22
III
Bruchrechnung. 23
1 Neue Trends in der Bruchrechnung. 23
2 PALMA - ein überraschendes Ergebnis. 25
3 Grundvorstellungsumbrüche in der Bruchrechnung. 26
4 Zur Einführung der Bruchzahlen. 27
4.1 Anschauliche Vorkenntnisse. 27
4.2 Komplexität der Bruchzahlen. 28
4.2.1 Brachzahlaspekte. 29
4.2.2 Schreibweisen. 31
4.2.3 Repräsentationsarten. 32
4.3 Teil vom Ganzen - zwei Grundvorstellungen. 32
4.3.1 Teil eines Ganzen. 33
4.3.2 Teil mehrerer Ganzer. 36
4.3.3 Gleichwertigkeit beider Grundvorstellungen. 38
4.3.4 Kenntnis beider Grundvorstellungen. 39
VI
4.4 Repräsentant und Bruch . 40
4.5 Eine Größe - verschiedene konkrete Brüche. 42
4.6 Einführung der Bruchzahlen. 43
4.7 Einbettung der natürlichen Zahlen. 44
4.8 Grundvorstellungsumbrüche gegenüber den natürlichen Zahlen . 45
Erweitern/Kürzen. 46
5.1 Anschauliche Vorkenntnisse. 46
5.2 Gleichwertige Brüche - anschauliche Zugangswege. 48
5.3 Erweitern - systematische Behandlung. 52
5.4 Kürzen - systematische Behandlung. 54
5.5 Mögliche Problembereiche. 56
Größenvergleich. 57
6.1 Anschauliche Vorkenntnisse. 57
6.2 Anschauliche Wege zum Größenvergleich. 59
6.3 Systematische Behandlung. 63
6.4 Grundvorstellungsumbrüche beim Größenvergleich. 65
6.5 Mögliche Problembereiche. 66
6.6 Vertiefung. 68
Addition. 70
7.1 Anschauliche Vorkenntnisse. 71
7.2 Anschauliche Wege zur Addition. 72
7.3 Systematische Behandlung. 75
7.4 Gemischte Zahlen. 77
7.5 Schwierigkeitsfaktoren. 78
7.6 Mögliche Problembereiche. 79
7.6.1 Vorbemerkungen. 79
7.6.2 Abfolge im Schwierigkeitsgrad - ein Überblick. 80
7.6.3 Rechengraphen - ein effizientes Werkzeug. 81
7.6.4 Bruch plus Bruch. 82
7.6.5 Kombinierter Fall (Brach und natürliche Zahl). 83
7.6.6 Ein Rechengraph zur Aufgabe
f
+ 2. 84
7.6.7 Anschauliche Vorstellungen - oft Fehlanzeige. 86
7.6.8 Additionskalkül und Grundvorstellungen. 87
7.7 Vorbeugung/Förderarbeit. 87
7.8 Vertiefung. 89
Subtraktion. 91
8.1 Anschauliche Vorkenntnisse. 91
8.2 Anschauliche Wege zur Subtraktion. 93
8.3 Systematische Behandlung. 93
8.4 Gemischte Zahlen. 94
8.5 Schwierigkeitsfaktoren . 95
8.6 Mögliche Problembereiche. 95
8.6.1 Abfolge im Schwierigkeitsgrad - ein Überblick. 95
VII
8.6.2 Bruch minus Bruch. 96
8.6.3 Kombinierter Fall (Natürliche Zahl minus Bruch). 96
8.7 Vorbeugung/Förderarbeit . 98
8.8 Vertiefung. 98
9 Multiplikation. 99
9.1 Anschauliche Vorkenntnisse. 99
9.2 Anschauliche Wege zur Multiplikation. 102
9.3 Natürliche Zahl mal Bruch — systematische Behandlung. 105
9.4 Bruch mal natürliche Zahl - systematische Behandlung. 105
9.5 Bruch mal Bruch - systematische Behandlung . 106
9.5.1 Von-Ansatz. 106
9.5.2 Gleichungsketten. 109
9.5.3 Flächeninhalt. 109
9.5.4 Bewertung. 110
9.6 Grundvorstellungsumbrüche beim Multiplizieren . 113
9.7 Mögliche Problembereiche. 114
9.7.1 Abfolge im Schwierigkeitsgrad - ein Überblick. 114
9.7.2 Multiplikation gleichnamiger Brüche. 115
9.7.3 Multiplikation ungleichnamiger Brüche. 115
9.7.4 Natürliche Zahl mal Bruch/Bruch mal natürliche Zahl. 116
9.7.5 Multiplikation gemischter Zahlen. 117
9.7.6 Regelformulierung und Begründung . 118
9.7.7 Über Probleme der rechnerischen Umsetzung bei Von-
Situationen. 119
9.8 Vorbeugung/Förderarbeit . 119
9.9 Vertiefung. 120
10 Division. 121
10.1 Anschauliche Vorkenntnisse. 122
10.2 Anschauliche Wege zur Division. 124
10.3 Bruch durch natürliche Zahl — systematische Behandlung. 129
10.4 Bruch durch Bruch/Natürliche Zahl durch Bruch - systemati¬
sche Behandlung. 130
10.4.1 Messen . 131
10.4.2 Umkehroperation . 132
10.4.3 Gleichungsketten. 135
10.4.4 Doppelbrüche. 136
10.4.5 Bewertung. 137
10.5 Natürliche Zahl durch natürliche Zahl. 139
10.6 Grundvorstellungsumbrüche bei der Division. 140
10.7 Mögliche Problembereiche. 142
10.7.1 Abfolge im Schwierigkeitsgrad - ein Überblick. 142
10.7.2 Bruch durch Bruch. 143
10.7.3 Bruch durch natürliche Zahl/ Natürliche Zahl durch Bruch . 144
VIII
10.7.4 Natürliche Zahl durch natürliche Zahl . 145
10.7.5 Regelformulierung und Begründung . 145
10.7.6 Division von Brüchen und praktische Anwendungen. 146
10.8 Vorbeugung/Förderarbeit. 146
10.9 Vertiefung. 147
11 Brüche und natürliche Zahlen - viele Gemeinsamkeiten, aber auch
starke Umbrüche in den Grundvorstellungen. 150
12 Resümee/Konsequenzen. 152
12.1 Grundvorstellungsumbrüche beim Übergang von N zu Q+ - oft
vernachlässigt. 152
12.2 Überschätzung von Vorkenntnissen. 152
12.3 Ungenügende Erarbeitung anschaulicher Grundvorstellungen. . . 153
12.4 Gründliche Thematisierung der Einbettung von N in Q+ erfor¬
derlich . 153
12.5 Rechenregeln gründlicher und anschaulicher begründen. 154
12.6 Mathematikdidaktische Kompetenz steigern. 155
12.7 Dominanz der syntaktischen Ebene gezielt reduzieren. 155
12.8 Konsequenzen . 156
IV
Dezimalbruchrechnung . 159
1 Neue Trends in der Dezimalbruchrechnung. 159
2 Dezimalbrüche — überzeugende Vorteile. 160
3 Unterrichtserfolge in der Dezimalbruchrechnung — krasse Unterschiede 161
4 Grundvorstellungsumbrüche in der Dezimalbruchrechnung. 163
5 Einführung endlicher Dezimalbrüche. 164
5.1 Sprechweise. 164
5.2 Weitere Vorkenntnisse . 166
5.3 Erweiterung des Stellenwertsystems. 166
5.3.1 Genügend Zeit investieren. 167
5.3.2 Vorsicht mit Analogien. 167
5.3.3 Zehnerblöcke. 167
5.3.4 Lineare Arithmetikblöcke. 168
5.3.5 Zahlenstrahl/Stellenwerttafel. 168
5.3.6 Stellenwerttafeln - sehr hilfreich. 169
5.3.7
Charakteristika
der Erweiterung . 170
5.3.8 Vielseitige und variationsreiche Aufgaben. 170
5.4 Lokale und globale Sichtweise von Dezimalbrüchen. 171
5.5 Mögliche Problembereiche. 172
5.5.1 Kommazahlen in der Grundschule. 173
5.5.2 Anschauliche Vorstellungen. 173
5.5.3 Zwei Sichtweisen bei Dezimalbrüchen. 174
5.5.4 Stellenwertverständnis. 175
5.6 Resümee. 176
IX
6 Erweitern, Kürzen und Einbetten. 178
6.1 Wege zum Erweitern und Kürzen. 178
6.2 Mögliche Problembereiche. 179
7 Größenvergleich. 180
7.1 Wege zum Größenvergleich. 180
7.2 Mögliche Problembereiche. 181
7.2.1 Aufgabentypen zur Analyse von Fehlerstrategien. 181
7.2.2 Fehlerstrategien. 182
7.2.3 Einige Konsequenzen. 185
8 Zusammenhang von gemeinen Brüchen und Dezimalbrüchen. 186
8.1 Endliche Dezimalbrüche. 186
8.1.1 Umformung durch Erweitern/Kürzen. 187
8.1.2 Umformung durch Division. 187
8.2 Periodische Dezimalbrüche. 188
8.3 Mögliche Problembereiche. 192
8.4 Gemeine Brüche und Dezimalbrüche - zwei verschiedene Welten? 194
9 Runden und Überschlagen. 195
10 Addition. 197
10.1 Wege zur Addition. 197
10.1.1 Größen . 197
10.1.2 Stellenwerttafeln. 198
10.1.3 Kommaverschiebungsregeln. 199
10.1.4 Zehnerbrüche. 199
10.2 Schwierigkeitsgrad/Vergleich mit den Brüchen . 201
10.3 Mögliche Problembereiche. 202
10.3.1 Addition von Dezimalbrüchen. 202
10.3.2 Kombinierter Fall (Dezimalbrüche und natürliche Zahlen) . 202
10.3.3 KT-Strategie. 203
10.3.4 Regelkenntnis. 203
10.4 Größen als Hilfe?. 204
10.5 Abfolge Brüche/Dezimalbrüche . 204
11 Subtraktion. 204
11.1 Wege zur Subtraktion. 204
11.2 Schwierigkeitsgrad/Vergleich mit den Brüchen. 206
11.3 Mögliche Problembereiche. 206
11.3.1 Subtraktion von Dezimalbrüchen. 206
11.3.2 Kombinierter Fall (Dezimalbrüche und natürliche Zahlen) . 207
11.3.3 KT-Strategie bei der Subtraktion . 207
11.3.4 Regelkenntnis. 208
11.4 Größen als Hilfe?. 208
11.5 Abfolge Brüche/Dezimalbrüche . 209
12 Multiplikation. 209
12.1 Wege zur Multiplikation mit Zehnerpotenzen . 209
χ
12.2 Wege zur Multiplikation mit natürlichen Zahlen. 211
12.2.1 Stellenwerttafeln/quasikardinaler Aspekt. 211
12.2.2 Größen . 212
12.2.3 Wiederholte Addition. 212
12.3 Wege zur Multiplikation mit Dezimalbrüchen. 212
12.3.1 Zehnerbrüche. 212
12.3.2 Kommaverschiebungsregel. 214
12.3.3 Größen . 214
12.4 Grundvorstellungsumbrüche beim Multiplizieren . 215
12.5 Schwierigkeitsgrad/Vergleich mit den Brüchen. 216
12.6 Mögliche Problembereiche. 217
12.6.1 Multiplikation von Dezimalbrüchen mit natürlichen Zahlen . . . 217
12.6.2 Multiplikation von Dezimalbrüchen mit Dezimalbrüchen. 218
12.6.3 KT-Fehler bei der Multiplikation. 219
12.6.4 Regelkenntnis. 219
12.7 Überschlagsrechnungen. 220
12.8 Abfolge Brüche/Dezimalbrüche . 220
13 Division. 220
13.1 Wege zur Division durch Zehnerpotenzen. 220
13.2 Wege zur Division durch natürliche Zahlen. 221
13.2.1 Zehnerbrüche. 221
13.2.2 Erweiterung des Divisionskalküls mithilfe von Stellenwerttafeln 222
13.3 Wege zur Division durch Dezimalbrüche. 224
13.3.1 Zehnerbrüche. 224
13.3.2 Kommaverschiebungsregel. 225
13.4 Grundvorstellungsumbrüche beim Dividieren. 227
13.5 Schwierigkeitsgrad/Vergleich mit den Brüchen. 227
13.6 Mögliche Problembereiche. 229
13.6.1 Division von natürlichen Zahlen durch Zehnerpotenzen. 229
13.6.2 Division von Dezimalbrüchen durch natürliche Zahlen. 229
13.6.3 Division von natürlichen Zahlen durch Dezimalbrüche. 230
13.6.4 Division von Dezimalbrüchen durch Dezimalbrüche. 231
13.6.5 KT-Fehler bei der Division. 232
13.6.6 Regelkenntnis und -begründung. 232
13.7 Kontexte/Größen als Lösungshilfe?. 233
13.8 Überschlagsrechnungen. 233
13.9 Abfolge Brüche/Dezimalbrüche. 234
14 Konzepte zur Behandlung der Dezimalbruchrechnung - ein Rückblick 235
14.1 Größenkonzept. 235
14.2 Zehnerbrüchekonzept. 235
14.3 Stellenwertkonzept . 236
14.4 Kommaverschiebungskonzept. 237
14.5 Dezimalbruchlehrgänge als Mischkonzepte. 238
XI
15 Resümee und Konsequenzen. 238
15.1 Grundvorstellungsumbrüche — sorgfältig thematisieren. 238
15.2 Vorkenntnisse realistisch einschätzen. 239
15.3 Vorarbeiten mit Größen in Klasse 5 deutlich intensivieren. 239
15.4 Anschauliche Grundvorstellungen des Dezimalbruchbegriffs
gründlich erarbeiten. 240
15.5 Dominanz der KT-Strategie erfolgreich bekämpfen. 240
15.6 Rechenregeln sorgfältig anschaulich begründen. 241
15.7 Überschlagsrechnungen stärker betonen und gezielt erarbeiten. 242
15.8 Mathematischdidaktische Kompetenz weiter steigern. 242
V
Ausblick. 245
1 Neue Trends . 245
2 Curriculare Konsequenzen. 247
2.1 Anschauliche Grundvorstellungen zu Brüchen und Dezimal¬
brüchen in Klasse 5 legen. 247
2.2 Anschauliche Grundvorstellungen für einfache Rechenoperationen
in Klasse 5 erarbeiten. 248
2.3 Der systematische Bruchrechenlehrgang. 249
3 Mathematikdidaktische Kompetenz deutlich steigern. 252
Diagnostische Tests. 255
Literaturverzeichnis . 257 |
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