Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion: eine Einführung in die mathematische Modellbildung für Lehramtsstudierende
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| adam_text | Titel: Anwendungsorientierte Mathematik: Von Daten zur Funktion
Autor: Engel, Joachim
Jahr: 2010
Inhaltsverzeichnis
Vorwort VII
1 Was heißt: „Mathematik anwenden ? 1
1.1 Was ist Modellbilden? 4
1.2 Modellieren funktionaler Abhängigkeiten 17
1.3 Überblick über die folgenden Kapitel 18
1.4 Rolle von realen Daten 20
1.5 Rolle von Software und Multimedia 23
2 Standardmodelle und Naturgesetz 29
2.1 Einleitung 31
2.2 Einige Standardmodelle im Überblick 39
2.3 Spezielle Eigenschaften einiger Standardmodelle 44
2.3.1 Proportionalität und lineare Funktionen 44
2.3.2 Antiproportionalität 49
2.3.3 Polynome und Potenzfunktionen 58
2.3.4 Exponential-und Logarithmusfunktionen 69
2.3.5 Winkelfunktionen 77
2.4 Techniken zum Modellieren mit Funktionen 88
2.4.1 Operationen mit Funktionen 89
2.4.2 Logistische Funktionen 91
2.4.3 Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus 95
2.4.4 Verketten von Funktionen 97
2.4.5 Transformation der Achsen 99
2.4.6 Ockhams Rasiermesser, Piatons Bart
und die Warnung vor zu viel Komplexität 104
3 Lass die Daten sprechen 109
3.1 Einleitung 111
3.2 Lineare Interpolation 112
3.3 Interpolation durch Polynome 113
3.3.1 Lagrange-Polynome 118
3.3.2 Newton-Polynome 121
3.3.3 Maximale Geschwindigkeit und Beschleunigung
des Sprinters 125
3.3.4 Interpolationsfehler 127
3.4 Splines 132
3.4.1 Minimaleigenschaft 136
3.4.2 Konvergenzverhalten von Splines 138
XII Inhaltsverzeichnis
4 Die Grenzen des Wachstums 143
4.1 Einleitung 145
4.2 Diskrete Modellierung von Wachstumsprozessen 146
4.2.1 Lineares Wachstum 147
4.2.2 Quadratisches Wachstum 148
4.2.3 Freies oder exponentielles Wachstum 150
4.2.4 Graphische Iterationen und Spinnwebdiagramme 151
4.2.5 Begrenztes Wachstum 152
4.2.6 Logistisches Wachstum 154
4.2.7 Zeitverzögertes Wachstum: Ein Beispiel 157
4.2.8 Ein Mordfall 161
4.3 Logistische DifFerenzengleichung und Chaos 167
4.3.1 Exkurs: Mathematische Analyse der logistischen
Differenzengleichu ng 170
4.3.2 Zusammenfassung 173
4.4 Diskrete Modellierungen gekoppelter Populationen 175
4.4.1 Masernepidemien 175
4.4.2 Populationen in Wechselwirkung 179
4.5 Stetige Modellierungen von Wachstumsprozessen 187
4.5.1 Exkurs Lösen von Differenzialgleichungen 191
4.5.2 Logistisches Wachstum 196
4.5.3 Weitere Wachstumsformen 201
4.6 Stetige Modellierung gekoppelter Systeme 207
4.6.1 Epidemien 207
4.6.2 Population in Wechselwirkung: Stetige Version 209
4.6.3 Der Kampf ums Dasein: Räuber-Beute-Modelle 211
5 Verrauschte Signale und funktionale Modelle 219
5.1 Einleitung 221
5.2 Prinzip der kleinsten Quadrate: Regressionsgerade 227
5.3 Eigenschaften der Regressionsgeraden 234
5.4 Korrelation 244
5.5 Varianzanalyse 249
5.6 Regression und Lineare Algebra 256
5.7 Nichtlineare Zusammenhänge: Der Transformationsan¬
satz 262
5.8 Funktionsanpassung logistischer Modelle 273
5.9 Grundzüge der nichtlinearen Regression 277
5.9.1 Spezialfall: Lineare Regression 279
5.9.2 Der allgemeine Fall 280
5.9.3 Der Gauß-Newton-Algorithmus 282
Inhaltsverzeichnis XIII
5.9.4 Zur Konvergenz des Gauß-Newton-Algorithmus 285
5.9.5 Der Gauß-Newton-Algorithmus
für einparametrige Funktionen 286
5.10 Zusammenfassung: Parametrische Kurvenanpassung ... 297
6 Durch Glätten der Daten zur Funktion 305
6.1 Einleitung 307
6.2 Bivariate Verteilungen, gleitende Boxplots
und Regressogramm 308
6.3 Gleitende Mittelwerte 314
6.4 Zeitreihen 317
6.5 Von der gleitenden Mittelwertkurve zum Kernschätzer. 322
7 Nichtparametrische Methoden zum Kurvenschätzen 333
7.1 Einleitung 335
7.2 Kernschätzer unter festem Design 337
7.2.1 Faltungsschätzer: Definition und Beispiele 337
7.2.2 Mathematische Eigenschaften: Bias, Varianz 342
7.2.3 Wahl der Kernfunktion K 347
7.2.4 Wahl der Bandbreite 351
7.2.5 Randverhalten 355
7.3 Kernschätzer unter zufälligem Design 360
7.4 Lokal-lineare Approximation 363
7.5 Lokal-polynomiale Anpassung 368
7.6 Ergänzungen und Vertiefungen 371
7.6.1 Zur Asymptotik des lokal-polynomialen Schätzers 371
7.6.2 Schätzen von Ableitungen 375
7.6.3 Glätten ohne parametrischen Bezug 377
7.6.4 Glätten mit Splines 379
7.6.5 Komplexere Modelle 381
7.7 Zusammenfassung 385
A Beschreibung der Datensätze 389
B Anmerkungen zur Software 419
B.l Fathom 421
B.2 Excel 436
B.3 R 437
XIV Inhaltsverzeichnis
C Lesungen zu ausgewählten Aufgaben 441
Literatur 459
Sachverzeichnis 465
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