Elliptische Differentialgleichungen zweiter Ordnung: eine Einführung mit historischen Bemerkungen
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung mit Bemerkungen zur historischen Entwicklung 1
1.1 Das Potential des Schwerefeldes........................... 2
1.2 Die Laplacegleichung und die Poissongleichung.............. 4
1.3 Das Neumannsche und das Dirichletsche Randwertproblem ... 7
1.4 Das Dirichletsche Randwertproblem im 19. Jahrhundert...... 10
2 Die Laplacegleichung...................................... 19
2.1 Harmonische Punktionen und Mittelwerteigenschaft.......... 19
2.2 Liouville- und Harnackeigenschaft ......................... 28
2.3 Das Maximum-Minimumprinzip........................... 31
2.4 Analytizität ............................................ 35
2.5 Erweiterung: Helmholtzsche Schwingungsgleichung........... 39
2.6 Ausblick: Elliptische Gleichungen 2. Ordnung............... 43
2.7 Exkurs: Eindeutige Fortsetzbarkeit ........................ 47
Aufgaben................................................... 53
3 Das Dirichletproblem für harmonische Funktionen......... 59
3.1 Einführung: Eindeutigkeit, Stabilität und der Fall der
Kreisscheibe............................................ 59
3.2 Die Poissonsche Integralformel löst das Dirichletproblem für
die Kugel............................................... 63
3.3 Superharmonische Funktionen und die
Perorasene
Lösungsmethode für beschränktes
Ω
С
M.N ................. 67
3.4 Über den lokalen Charakter der Barrierenforderung. Kriterien. 75
3.5 Behebbare Singularitäten. Dirichletprobleme ohne Lösung..... 78
3.6 Unbeschränkte Gebiete................................... 82
3.7 Der Satz von Giesecke. Bemerkungen zum Dirichletschen
Prinzip................................................. 92
Aufgaben................................................... 97
X
Inhaltsverzeichnis
4 Die Poissongleichung
—Δ«
= ƒ............................
ЮЗ
4.1 Orientierende Bemerkungen zum Newtonpotential...........103
4.2 Differenzierbarkeitseigensehaften
dea
Newtonpotentials und
Lösung des Dirichlet
problems
.............................107
4.3 Petrinis Gegenbeispiel....................................115
4.4 Die Greensche Funktion zum Dirichletproblem..............118
4.5 Die Symmetrie der Greenschen Funktion...................123
4.6 Abschätzungen für die Ableitungen der Greenschen Funktion . 126
4.7 Das Newtonpotential verallgemeinernde
singulare
Integrale ... 134
4.8 Das Dirichletproblem für
-Аи
= ƒ bei am Rand
unbeschränktem ƒ.......................................142
4.9 Erweiterung: Die Greensche Funktion für —
Δ + 1
............147
Aufgaben...................................................161
5 Die Greensche Punktion für die Kugel mit Anwendungen .. 165
5.1 Die Greensche Funktion für den Halbraum, die Kugel und ihr
Äußeres................................................165
5.2 Einschub: Harmonische Funktionen mit einer isolierten
Singularität.............................................170
5.3 Die 2. Ableitungen des Greenpotentials für die Kugel.........172
5.4 Eine erste Anwendung: Die lokale Lösbarkeit des
Beltrami-Systems........................................184
5.5 Das Dirichletproblem für die Kugel bei kleiner Abweichung
des Hauptteils vom Laplaceoperator .......................191
5.6 Die Methode von Leray und Schauder am Beispiel des
semilinearen Dirichletproblems in der Kugel ................197
Aufgaben...................................................202
6 Die Fredholmsehe Alternative für das Dirichletproblem___207
6.1 Die Sätze von Fredholm und ihre Verallgemeinerung.
Resolvente und Spektrum.................................207
6.2 Das Dirichletproblem für
{-Δ
+
α
- X)u ~ ƒ................211
6.3 Die Gleichung
-Δω
+
^=1
am^ +
(a
~ X)u = ƒ mit am
Rand unbeschränkten
α
und ƒ ............................224
Aufgaben...................................................230
7 Der Kelloggsche Satz......................................233
7.1 Vorbereitungen..........................................234
7.2 Urnformulierung und Beweis des Kelloggschen Satzes.........246
7.3 Zwei A-Priori-Ungleichungen im Gefolge des Kelloggschen
Satzes..................................................252
Aufgaben................................ ........260
Inhaltsverzeichnis
XI
8 Die globale A-Priori-Abschätzung von Schauder und ihre
Anwendung auf lineare und quasilineare Dirichletprobleme 263
8.1 Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten.......... 264
8.2 Variable Koeffizienten....................................267
8.3 Die Kontinuitätsmethode zur Lösung des allgemeinen
linearen Dirichletproblems in
G
(Ω).
Die Eredholmsche
Alternative..............................................272
8.4 Ausblick: Das Dirichletproblem für die quasilineare elliptische
Differentialgleichung 2. Ordnung nach der Methode von
Leray-Schauder .........................................277
Aufgaben...................................................279
9 Innere Abschätzungen und innere Regularität.............281
9.1 Eine innere A-Priori-Abschätzung und ihre Anwendung......281
9.2 Innere Regularität von C2-Lösungen linearer und
quasilinearer elliptischer Gleichungen nach E. Hopf..........287
Aufgaben...................................................298
10 Schwache Lösungen........................................299
10.1 Bemerkungen zur historischen Entwicklung.................299
10.2 Existenz schwacher Lösungen.............................304
10.3 Innere Regularität schwacher Lösungen.....................318
10.4 Randregularität für Lösungen verallgemeinerter
Dirichletprobleme .......................................328
10.5 Rechtfertigung des Dirichletschen Prinzips..................332
Aufgaben...................................................337
A
Partielle Integration. Glättungsoperatoren.................343
В
Integration über Sphären..................................355
С
Hölderstetigkeit ...........................................363
Symbolverzeichnis.............................................371
Literaturverzeichnis ..................,........................375
Personenverzeichnis ...........................................395
Sachverzeichnis................................................399
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