Gewöhnliche Differentialgleichungen: Einführung in Lehre und Gebrauch
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Wiesbaden
Vieweg + Teubner
2009
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Inhalt
.
із
Einleitung .
I
Zur Einstimmung
1 Beispiele von Differentialgleichungen in der Praxis.
Leibnizens silberne Taschenuhr oder die Traktrix. jg
Exponentielles
Wachstum. 22
Logistisches Wachstum. -5
Verbreitung von Gerüchten . 27
Freier und verzögerter Fall. -q
Fluchtgeschwindigkeit einer Rakete . „
Äquipotential- und Kraftlinien eines elektrischen Feldes . · ^
2 Grundbegriffe.
Д4
Historische Anmerkung. Newton und
Leibniz
.
II
Differentialgleichungen erster Ordnung
3 Das Richtungsfeld und der Euler-Cauchysche Polygonzug. Das
Runge-Kutta-Verfahren. 59
4 Lineare, Bernoullische, Riccatische Differentialgleichung · · ·
5 Anwendungen. _0
Die Gompertzschen Überlebens- und Wachstumsfunktionen . '
Sättigungsprozesse . _,
Ausgleichsprozesse . _-
Exponentielle
Zerfallsprozesse mit zeitlich konstanter Zufuhr . j/
Mischungsprozesse . _
Wurfbahnen. '
Stromkreise.
ľ?
6 Die exakte Differentialgleichung . ll
7 Integrierende Faktoren. j?»
8 Die Differentialgleichung mit getrennten Veränderlichen . · l02
9 Die eulerhomogene Differentialgleichung und die Differentialglei-
chung
Џ-Л**+*>У+'\.
108
10 Anwendungen. '
Die Eisversorgung Alexanders des Großen. ^
Chemische Reaktionskinetik . "*
Informationsverbreitung . ^
Inhalt 9
Scheinwerfer . 116
Grenzgeschwindigkeit eines Autos. 118
Orthogonaltrajektorien in cartesischen Koordinaten . . . . 118
Orthogonaltrajektorien in Polarkoordinaten. 120
Das Problem der Brachistochrone . 121
Historische Anmerkung. Jakob und Johann
Bernoulli
. 127
III
Existenz-, Eindeutigkeit*- und Abhingigkeitssitze
för
Differential¬
gleichungen erster Ordnung
11 Der Existenzsatz von Peano. 135
12 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindelöf . . 138
13 Abhängigkeitssätze . 143
Historische Anmerkung. Cauchy. 146
IV
Lineare Differentialgleichungen höherer Ordnung mit konstanten
Koeffizienten
14 Die lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung . 153
15 Die homogene lineare Differentialgleichung
л
-ter
Ordnung . . 163
16 Die inhomogene lineare Differentialgleichung
л
-ter
Ordnung . . 172
Spezielle Störfunktionen . 172
Methode der Variation der Konstanten . 181
Reihenansätze. 185
17 Die Methode der Laplacetransformation. 187
Die Laplacetransformation. 187
Das Anfangswertproblem für lineare Differentialgleichungen mit
konstanten Koeffizienten . 193
18 Anwendungen. 200
Freie Schwingungen eines Massenpunktes . 200
Erzwungene Schwingungen eines Massenpunktes bei schwacher
oder verschwindender Dämpfung . 204
Periodische Zwangskräfte und Fouriermethoden . 205
Elektrische Schwingungskreise . 212
Resonanz. 215
Mathematisches Pendel. 218
Zykloidenpendel . 219
Temperaturverteilung in einem Stab . 221
Nochmals die Eisversorgung Alexanders des Großen oder vom
Nutzen tiefer Keller. 224
V
Lineare Differeatialgleichnngen höherer Ordnang mit
тагіаЬка
Koeffizienten
19 Vorbemerkungen. 237
20 Die Eulersche Differentialgleichung . 240
10 Inhalt
21 Ein Existenz- und Eindeutigkeitssatz. 243
22 Integralbasis und allgemeine Lösung der homogenen Gleichung . 249
23 Reduktion der homogenen Gleichung. 254
24 Die Methode der Variation der Konstanten. 257
25 Stetige Abhängigkeit der Lösung eines Anfangswertproblems von
den Ausgangsdaten.259
26 Potenzreihenlösungen .260
Die Airysche Differentialgleichung. 261
Die Hermitesche Differentialgleichung . 262
Die Legendresche Differentialgleichung . 264
Die Tschebyscheffsche Differentialgleichung . 268
27 Reihenentwicklungen um schwach
singulare
Stellen. 274
28 Besselsche Differentialgleichung und Besselsche Funktionen . . 292
29 Laguerresche Differentialgleichung und Laguerresche Polynome . 310
30 Lineare Differentialgleichungen mit periodischen Koeffizienten . 314
31 Die Mathieusche Differentialgleichung . 322
32 Trennungs-, Oszillations- und Amplitudensätze . 328
33 Anwendungen. 338
Flüssigkeitsströmung in Rohren. Das Raucherbein . 338
Potential einer elektrischen Punktladung. 341
Wasserwellen in einem Kanal. 342
Schwingungen eines frei herabhängenden Seiles . 343
Knicklast. 346
Die Keplersche Gleichung der Planetenbahn . 348
Das Wasserstoffatom. 352
Historische Anmerkung. Euler . 360
VI
Rand- und Eigenwertaufgabea
34 Die schwingende Saite. 372
35 Lineare Randwertaufgaben zweiter Ordnung . 377
36
Sturimene
Randwertaufgaben. Die Greensche Funktion . ■ · 379
37 Stunn-Liouvillesche Eigenwertaufgaben. 384
38 Die Integralgleichung und der Integraloperator der Sturm-Liouvil-
leschen Eigenweitaufgabe. 391
39 Die Eigenwerte und Eigenfunktionen der Sturm-Liouvilleschen
Aufgabe. 398
40 Entwicklungssätze . 409
41 Die Entwicklung der Greenschen Funktion nach Eigenfunktionen 415
42 Die Auflösung halbhomogener Randwertaufgaben . 420
43 Iterative Bestimmung von Eigenwerten . 424
44 Einschließungssatze und Extremalprinzipien . 429
45 Das Ritzsche Verfahren . 438
Historische Anmerkung: Die schwingende Saite. 441
Inhalt 11
VII
Systeme linearer Differentialgleichungen mit konstanten
Koeffizienten
46 Beispiele und Begriffsbestimmungen. 450
Ein Gefechtsmodell . 450
Abbau eines Medikaments. 451
Begriffsbestimmungen . 453
47 Die Eliminationsmethode bei kleinen Systemen . 454
48 Vektorwertige Funktionen und die Matrixexponentialfunktion . 457
49 Existenz- und Eindeutigkeitssätze. 462
50 Das charakteristische Polynom einer Matrix . 464
51 Die Auflösung des homogenen Systems. 467
52 Die Auflösung des inhomogenen Systems . 473
53 Die Methode der Laplacetransformation. 475
54 Allgemeinere lineare Systeme mit konstanten Koeffizienten . . 477
Die Eliminationsmethode . 478
Die Methode der Laplacetransformation. 481
55 Anwendungen. 483
Kompartimentmodelle . 483
Mischungsprozesse . 486
Radioaktive Zerfallsreihen. 488
Wiederkäuer . 489
Chemische Reaktionskinetik . 489
Luftverschmutzung bei Inversionswetterlage. 489
Der Einfluß medikamentöser Dauertherapie einer Schwangeren
auf den Fötus . 490
Bleiakkumulation im Körper. 492
Gleichstrommotoren. 493
Schwingungstilger. 494
VIII Systeme linearer Differentialgleichungen mit variablen
Koeffizienten
56 Der Existenz- und Eindeutigkeitssatz. 501
57 Integralbasen homogener Systeme. 503
58 Die Auflösung inhomogener Systeme. 509
IX
Allgemeine Systeme von Differentialgleichungen erster Ordnung. Die
Differentialgleichung
я
-ter
Ordnung
59 Beispiele und Begriffsbestimmungen. 512
60 Existenz- und Eindeutigkeitssätze für Systeme. 515
61 Die allgemeine Differentialgleichung
л
-ter
Ordnung. 518
62 Reduzierbare Typen von Differentialgleichungen zweiter Ordnung 519
63 Numerische Lösungsverfahren . 525
12 Inhalt
X
Qualitative Theorie. Stabilität
64 Ein Beispiel: Das
Lotka-
Voltenasche Räuber-Beute-Modell . . 528
65 Grundbegriffe und Grundtatsachen . 534
66 Gleichgewichtspunkte und Stabilität bei linearen Systemen mit
konstanten Koeffizienten. 541
67 Die Ljapunoffsche Methode. 546
68 Periodische Lösungen . 556
69 Anwendungen. 559
Ausbreitungsdynamik ansteckender Krankheiten. 559
Organregeneration . 565
Das
Lotka-
Volterrasche Wettbewerbsmodell. 567
Wettrüstungsmodelle. 568
Die van der Polsche Gleichung der Elektrotechnik . 571
Anhang 1: Tabelle unbestimmter Integrale . 575
Anhang 2: Tabelle zur Laplacetraasfonnation . 581
Losungen ausgewählter Auf
gaten
. 586
Literaturverzeichnis . 617
Symbolverzekaais. 620
Namen-uwl Sachverzeichnis . 621 |
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