Meine Zahlen, meine Freunde: Glanzlichter der Zahlentheorie
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Berlin [u.a.]
Springer
2009
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| adam_text | Inhalt
s
ver zeichnis
1
Die
Fibonacci-Zahlen und das Nordpolarmeer........ 1
1 Grundlegende Definitionen.......................... 2
A
Lucas-Folgen................................. 2
В
Spezielle Lucas-Folgen......................... 3
С
Verallgemeinerungen.......................... 3
2 Grundlegende Eigenschaften......................... 5
A Binets
Formeln............................... 5
В
Entartete Lucas-Folgen........................ 5
С
Wachstum und numerische Berechnungen........ 6
D
Algebraische Beziehungen...................... 7
E
Teilbarkeitseigenschaften...................... 9
3 Primteiler von Lucas-Folgen......................... 10
A
Die Mengen V{U),
V(V)
und der Rang des
Erscheinens.................................. 10
В
Primitive Faktoren von Lucas-Folgen............ 17
4 Primzahlen in Lucas-Folgen ......................... 27
5 Potenzen und quadratvolle Zahlen in Lucas-Folgen..... 29
A
Hauptsätze für Potenzen....................... 30
В
Genaue Bestimmung bei speziellen Folgen ....... 31
С
Einheitliche Bestimmung von Vielfachen,
Quadraten und Quadratklassen für bestimmte
Familien von Lucas-Folgen..................... 37
D
Quadratvolle Zahlen in Lucas-Folgen............ 43
2 Darstellung reeller Zahlen mit Hilfe von Fibonacci-
Zahlen ............................................... 53
VIII Inhaltsverzeichnis
3 Primzahlrekorde..................................... 65
4 Primzahlverkauf..................................... 83
5 Eulers berühmtes primzahlerzeugendes Polynom..... 97
1 Quadratische Erweiterungen.........................100
2 Ganzheitsringe.....................................101
3 DLskriminanten....................................101
4 Zerlegimg von Primzahlen...........................102
A
Eigenschaften der Norm.......................102
5 Einheiten.........................................107
6 Die Klassenzahl....................................107
A
Berechnung der Klassenzahl....................110
В
Bestimmung aller quadratischen Zahlkörper mit
Klassenzahl 1................................112
7 Der Hauptsatz.....................................115
6 Gauß und das Klassenzahlproblem...................119
1 Einführung........................................119
2 Höhepunkte im Leben von Gauß.....................119
3 Kurzer geschichtlicher Hintergrund...................121
4 Binäre quadratische Formen.........................122
5 Die Hauptprobleme.................................125
6 Äquivalenz von Formen.............................126
7 Bedingte Lösung der Hauptprobleme .................127
8 Echte Äquivalenzklassen
defini
ter
Formen.............129
9 Echte Äquivalenzklassen indefiniter Formen............133
A
Ein weiteres Zahlenbeispiel ....................138
10 Die Automorphe einer einfachen Form................138
11 Komposition von echten Äquivalenzklassen einfacher
Formen...........................................142
12 Die Geschlechtertheorie.............................144
13 Die Struktur der Gruppe von echten Äquivalenzklassen
einfacher Formen...................................151
14 Berechnungen und Vermutungen.....................152
15 Die Zeit nach Gauß.................................154
lö Formen im Vergleich zu Idealen in quadratischen
Zahlkörpern.......................................154
17 Dirichlets Klassenzahlformel.........................161
18 Lösung des Klassenzahlproblems für
definite
Formen-----165
Inhaltsverzeichnis
IX
19 Das Klassenzahlproblem für indefinite Formen.........170
20 Weitere Prägen und Vermutungen....................173
21 Viele unbehandelte Themen.........................177
7 Aufeinanderfolgende Potenzen.......................183
1 Einführung........................................183
2 Geschichte ........................................185
3 Spezialfälle........................................187
4 Teilbarkeitseigenschaften............................200
5 Abschätzungen.....................................205
A
Die Gleichung au - bv = 1.....................205
В
Die Gleichung Xm - Yn = 1...................207
С
Die Gleichung Xu - Yv = 1...................211
6 Der Beweis von
Catalans
Vermutung.................213
7 Abschließende Kommentare und Anwendungen ........214
8 1093.................................................223
A
Bestimmung des Restes von qp{a)...............226
В
Identitäten und Kongruenzen für den
Permat-Quotienten............................227
9 Machtlos gegenüber Mächtigkeit.....................241
1 Potente Zahlen ....................................241
A
Verteilung potenter Zahlen.....................242
В
Additive Probleme............................244
С
Differenzprobleme............................245
2 Potenzen..........................................247
A
Pythagoreische Dreiecke und Ferrnats Problem ... 247
В
Varianten von Fermats Problem................250
С
Die Vermutung von Euler......................251
D
Die Gleichung AXl + BYm = CZn .............252
E
Potenzen als Werte von Polynomen.............257
3
Exponentielle
Kongruenzen..........................258
A Die
Wieferich-Kongruenz......................258
В
Primitive Primfaktoren........................261
4 Traummathematik.................................264
A Die
Aussagen................................264
В
Aussagen....................................265
С
Binomialzahlen und Wieferich-Kongruenzen......267
D
Erdös-Vermutung und Wieferich-Kongruenz......270
X
Inhaltsverzeichnis
Ε
Der Traum im Traum.........................270
10 Was für eine Art Zahl ist
л/2 2?
.....................285
1 Einführung........................................285
2 Arten von Zahlen..................................285
3 Wie Zahlen gegeben sind............................290
4 Ein kurzer historischer Abriss........................299
5 Kettenbrüche......................................302
A
Allgemeines..................................303
В
Periodische Kettenbrüche......................304
С
Einfache Kettenbrüche von
тг
und
e
.............306
6 Approximation durch rationale Zahlen................310
A Die
Ordnung der Approximation................310
В
Die Markoff-Zahlen...........................312
С
Maße für die Irrationalität.....................314
D
Ordnung der Approximierung von irrationalen
algebraischen Zahlen..........................314
7 Irrationalität spezieller Zahlen.......................316
8 Transzendente Zahlen...............................325
A
Liouville-Zahlen..............................325
В
Approximation durch rationale Zahlen: Schärfere
Sätze .......................................327
С
Hermite, Lindemann und
Weierstrass
...........332
D
Ein Resultat von Siegel über Exponenten........334
E
Huberts siebtes Problem.......................336
F
Die Arbeit von Baker.........................337
G
Die Vermutung von Schanuel...................339
H
Transzendenzmaß und die Klassifikation von
Mahler......................................344
9 Schlussbemerkungen................................347
11
Galimatias Arithmeticae
.............................361
Namensverzeichnis ......................................377
Sachverzeichnis..........................................385
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