Analysis in Beispielen und Gegenbeispielen: eine Einführung in die Theorie reeller Funktionen
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Berlin [u.a.]
Springer
2009
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort........................................ · ■ ·...........
vu
Einleitung.................................................... xv
J
Stetige Funktionen....................................... 3
1.1 Grenzwerte und Stetigkeit . ,............................. 1
1.2 Unstetigkeitsraengei]..................................... 18
1.3 Monotone Funktionen...........................,....... 24
1.4 Stetige Funktionen auf Intervallen........................ 43
1.5 Gleichmäßige Stetigkeit.............................. . . , 54
1.6 Aufgaben zu Kapitel 1.................................. 62
2 Differenzier bare Funktionen.............................. 73
2.1 Klassen differenzierbarer Funktionen...................... 73
2.2 Mittelwertsätze ........................................ 97
2.3 Taylor-Polynome und Taylor-Reiben...................... 123
2.4 Anfangswertprobleme................................... 132
2.5 Aufgaben zu Kapitel 2.................................. 143
3 Integrierbare Funktionen................................. 155
3.1 Das Riemann-· Integral................................... 155
3.2 Der Hauptsatz der Infinitesimalrechnung ................... 165
3.3 lntegrationutechniken ................................... .1.8 !
3.4 integrier barkeit und Unstetigkeit ......................... 196
3.5 Uneigentliche Integrale.................................. 205
З.Сі
Aufgaben zu Kapitel 3................................... 220
4 Merkwürdige FYmktk>.i.m:o....... . . ,....................... 233
4.1
Cantor-Mengen
........................................ 233
4.2 Nullmengen und magere Mengen......................., . 238
4.3 Die Cantor-Funktion.................................... 245
4.4 Absolutstetige Funktionen............................... 255
xiv Inhalts Verzeichnis
4.5 Weitere bemerkenswerte Funktionen......................268
4.6 Aufgaben zu Kapitel 4..................................284
5 Funktionen mehrerer Variabler...........................295
5.1 Stetige Funktionen mehrerer Variabler....................295
5.2 Differenzier bare Funktionen mehrerer Variabler.............303
5.3
Extrema
und Sattelpunkte...............................318
5.4 Exkurs: Metrische Räume ...............................330
5.5 Zwei fundamentale Sätze................................344
5.6 Aufgaben zu Kapitel 5..................................356
6
Höherdimensionale Integrale..............................367
6.1 Doppelintegrale und iterierte
Integrele
....................367
6.2 Vektorfelder und Kurvenintegrale.........................388
6.3 Der Greensche Satz.....................................408
6.4 Noch einmal: Anfangswertprobleme .,..........,......... . 413
6.5 Aufgaben zu Kapitel 6..................................420
Anhang: Einige Ergänzungen .........., . . ,......... . ,........429
A.l Abbildungen...........................................429
A.2 Induktion............................................. 434
A.3 Bmomialkoeffizieiiten...................................438
A.4 Zahlenfolgen........................................... 441
A.5 Zahlenreihen...........................................446
A.6 Normen...............................................451
A.7 Matrizen..............................................454
Literaturverzeichnis ..........................................459
Symbolverzeichnis............................................461
Sachverzeichnis............................................... 465
analysis in
Beispielen und Gegenbeispielen
Das Buch gibt in sechs Kapiteln eine Einführung
in die Theorie der reellen Funktionen einer und
mehrerer Variabler. Hierbei stehen nicht so sehr abstrakte
Ergebnisse im Vordergrund, sondern es werden besonders
viele Beispiele und Gegenbeispiele präsentiert, anhand
derer
шап
die Bedeutung mathematischer Sätze besonders
gut erkennen kann.
In den ersten drei Kapiteln werden die weseatiicheü Ergeb¬
nisse über stetige, differenzierbare und integrier bare Funk¬
tionen zusammengestellt Das vierte Kapitel geht etwas
übe¿
den üblichen
Analysisstoff
hinaus und ist „merkwürdigen
Teilmengen der reellen Achse
mid
zugehörigen Funktionen
gewidmet. Funktionen mehrerer Variabler werden im fünf¬
ten und sechsten Kapitel behandelt.
Zum Verständnis des Buches genügt die Kenntnis einiger
Grundbegriffe der Elementarmathematik (Mengen, Aus-
sagen, Relationen, Funktionen, Induktion), wie sie in vi
l
ielen
Einführungskursen im ersten Semester vermittelt werden.
Uber
die starke Betonung von Beispielen hinaus ist ein wei¬
teres Merkmal des Buches die große Anzahl von Übungs¬
aufgaben am Ende jedes
Kapitels.
Es ist daher auch sehr gut
als Aufgabensammlung zur Prüfungsvorbereitung geeignet,
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