Mathematik: ein Lehr- und Übungsbuch für Fachhochschulen, Fachoberschulen und Technikerschulen 1 Arithmetik, Algebra, Mengen- und Funktionenlehre : Aufgaben mit Lösungen und durchgerechneten Beispielen
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Deutsch
2006
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Inhaltsverzeichnis
1 Was man beherrschen sollte. 11
1.1 Elemente der Mengenlehre.
II
1.1.1 Begriffsbestimmung . 11
1.1.2 Darstellung von Mengen . 11
1.1.3 Beziehungen zwischen Mengen. 13
1.2 Die vier Grundrechenoperationen mit Variablen und
Termen
. 16
1.2.1 Einführung. 16
1.2.2 Das Rechnen mit Klammerausdrücken. 16
1.2.3 Bruchrechnung. 20
1.2.4 Partialdivision. 24
1.3 Das Lösen von Gleichungen. 34
1.3.1 Begriffsbestimmungen. 34
1.3.2 Zum Lösen von linearen und quadratischen Gleichungen. 35
1.3.3 Der Vietasche Wurzelsatz. 47
1.4 Einfache Gleichungen höheren Grades. 49
1.4.1 Begriffsbestimmungen. 49
1.4.2 Der VlETAsche Wurzelsatz. 50
1.4.3 Das Lösen von speziellen Gleichungen höheren Grades. 52
1.4.3.1 Gleichungen, die sich auf quadratische Gleichungen zurückführen
lassen. 52
1.4.3.2 Gleichungen höheren Grades, von denen mindestens eine Lösung
bekannt ist. 54
1.4.4 Das HORNER-Schema. 56
1.5 Lineare und quadratische Funktion. 62
1.5.1 Die lineare Funktion. 62
1.5.2 Die quadratische Funktion. 69
1.5.3 Funktion und Bestimmungsgleichung. 74
1.6 Proportionen. 77
1.6.1 Begriffsbestimmungen. 77
1.6.2 Proportionalität. 80
1.6.2.1 Direkte Proportionalität. 80
1.6.2.2 Indirekte Proportionalität. 81
1.6.3 Proportionen und Bestimmungsgleichungen. 84
1.6.4 Prozent- und Zinsrechnung. 89
2 Potenzen, Wurzeln und Logarithmen. 97
2.1 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. 97
2.1.1 Begriffserklärungen. 97
Inhaltsverzeichnis
2.1.2 Potenzgesetze. 99
2.1.2.1 Addition und Subtraktion von Potenzen. 99
2.1.2.2 Multiplikation und Division von Potenzen. 100
2.2 Potenzen mit gebrochenen Exponenten. 106
2.2.1 Die Umkehrungen der Potenzrechnung. 106
2.2.2 Grundbegriffe der Wurzelrechnung. 107
2.2.3 Wurzeln als Potenzen mit gebrochenen Exponenten. 109
2.2.4 Das Rechnen mit Wurzeln . 111
2.2.5 Potenzen mit reellen Exponenten. 113
2.2.6 Zur Berechnung von Potenzen mit beliebigen Exponenten mit dem
Taschenrechner. 114
2.3 Logarithmen. 119
2.3.1 Begriffserklärungen. 119
2.3.2 Das Rechnen mit Logarithmen . 121
2.3.3 Logarithmensysteme. 123
2.3.3.1 Häufig auftretende Logarithmensysteme. 123
2.3.3.2 Zur Ermittlung von Logarithmen mit dem Taschenrechner. 124
2.3.3.3 Beziehungen zwischen Logarithmensystemen mit unterschiedlichen
Basen. 126
2.4 Gleichungen mit Wurzeln, Potenzen und Logarithmen. 129
2.4.1 Wurzelgleichungen. 129
2.4.2 Exponentialgleichungen. 134
2.4.3 Logarithmische Gleichungen. 138
2.4.4 Vermischte Aufgaben. 141
3 Trigonometrie.146
3.1 Winkelmessung. 146
3.2 Die trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck. 149
3.2.1 Begriffe. 149
3.2.2 Definition der trigonometrischen Funktionen am rechtwinkligen Dreieck . 150
3.2.3 Ermittlung der Werte der trigonometrischen Funktionen für spitze Winkel . 151
3.2.4 Berechnungen am rechtwinkligen Dreieck. 155
3.3 Die trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel. 165
3.3.1 Erweiterung des Begriffes der trigonometrischen Funktionen auf beliebige
Winkel. 165
3.3.2 Ermittlung der Werte der trigonometrischen Funktionen für beliebige Winkel. 168
3.3.3 Vereinfachte Umrechnung von Winkeln aus Gradmaß in Bogenmaß und
umgekehrt. 172
3.4 Berechnungen am allgemeinen Dreieck. 175
3.4.1 Der Sinussatz. 175
3.4.2 Der Kosinussatz. 180
3.5 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen. 191
3.5.
1
Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen ein und desselben
Winkels. 191
Inhaltsverzeichnis
3.5.2 Beziehungen zwischen den trigonometrischen Funktionen unterschiedlicher
Winkel. 193
3.6 Goniometrische Gleichungen. 201
3.6.1 Begriffsbestimmung . 201
3.6.2 Das Lösen goniometrischer Gleichungen . 201
3.7 Vermischte Aufgaben. 209
4 Funktionen.214
4.1 Abbildungen und Funktionen. 214
4.1.1 Der Begriff der Abbildung. 214
4.1.2 Der Begriff der Funktion. 216
4.2 Wichtige Eigenschaften von Funktionen. 222
4.2.1 Beschränktheit. 222
4.2.2 Monotonie. 224
4.2.3 Symmetrie. 227
4.2.4 Stetigkeit. 229
4.3 Die Umkehrfunktion. 236
4.3.1 Die Umkehrung einer Abbildung. 236
4.3.2 Der Begriff der Umkehrfunktion. 239
4.4 Grundfunktionen. 243
4.4.1 Potenzfunktionen. 243
4.4.1.1 Potenzfunktionen mit ganzen positiven Exponenten. 243
4.4.1.2 Potenzfunktionen mit ganzzahligen negativen Exponenten. 246
4.4.1.3 Die Potenzfunktion
y =x°
. 247
4.4.1.4 Potenzfunktionen mit reellen Exponenten. 247
4.4.1.5 Zusammenhang zwischen der Potenzfunktion
y
=
зѓ
und
derWurzelfimktion. 249
4.4.2
Exponential-
und Logarithmusfunktion. 252
4.4.3 Die trigonometrischen Funktionen und deren Umkehrfunktionen. 254
4.4.4 Die Hyperbelfunktionen und deren Umkehrangen. 264
4.5 Graphische Darstellung von Funktionen durch Synthese. 274
4.6 Überlagerung von Schwingungen . 287
5 Komplexe Zahlen.295
5.1 Grundbegriffe. 295
5.1.1 Einführung der komplexen Zahlen. 295
5.1.2 Grafische Veranschaulichung komplexer Zahlen. 297
5.2 Die trigonometrische und die Exponentialform komplexer Zahlen. 301
5.2.Í
Die trigonometrische Darstellungsform. 301
5.2.1.1 Umrechnung von der arithmetischen in die trigonometrische Form . . 303
5.2.1.2 Umrechnung von der trigonometrischen in die arithmetische Form . . 305
5.2.2 Die Exponentialform. 305
5.3 Die vier Grundrechenarten im Bereich der komplexen Zahlen. 307
5.4 Potenzieren, Radizieren, Logarithmieren. 314
10 Inhaltsverzeichnis
5.5 Lösen algebraischer Gleichungen im Komplexen.320
5.6 Anwendungen in der Elektrotechnik.325
6 Ungleichungen.330
6.1 Begriffsbestimmung .330
6.2 Rechenregeln für Ungleichungen.331
6.3 Das Lösen von Ungleichungen.333
6.3.1 Zusammenhänge zwischen Ungleichung, Gleichung und Funktion. 333
6.3.2 Grafische Verfahren zur Lösung von Ungleichungen. 336
6.3.3 Rechnergestützte Lösung von Ungleichungen. 340
6.4 Systeme von Ungleichungen. 342
7 Einige mathematische Grundlagen der Informatik.351
7.1 Zahlendarstellung.351
7.1.1 Darstellung von Zahlen in Positionssystemen .351
7.1.1.1 Umrechnung von Zahlen eines beliebigen Positionssystems in
Dezimalzahlen. 353
7.1.1.2 Umrechnung von Dezimalzahlen in ein anderes Positionssystem . 355
7.1.1.3 Besonderheiten beim Umwandeln von Dualzahlen in Oktal- oder
Hexadezimalzahlen und umgekehrt. 359
7.1.2 Fest- und Gleitkommadarstellung von Zahlen. 361
7.1.2.1 Darstellung ganzer Zahlen. 362
7.1.2.2 Darstellung reeller Zahlen. 363
7.1.3 Numerische Effekte beim Rechnen mit dem Computer. 367
7.2 Elemente der Booleschen Algebra. 370
7.2.1 Grundlagen der Aussagenlogik.370
7.2.1.1 Verknüpfungen von Aussagen.371
7.2.2 Einführung in die Schaltalgebra.374
7.2.2.1 Grundschaltungen. 374
7.2.2.2 Analyse und Synthese digitaler Schaltungen mittels
Schaltzustandstabelle. 379
7.2.2.3 Rechengesetze der Schaltalgebra. 381
8 Lösungen der Aufgaben.390
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