Brauergruppen:
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Göttingen
Univ.-Verl. Göttingen
2007
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Inhaltsverzeichnis
0 Worum geht es? 11
O.l Vereinbarungen 14
0.2 Übungsaufgaben 1-2 14
Einfache Algebren 15
1 Struktursatz von Wedderburn 15
1.1 Algebren 15
1.2 Oppositioneller Ring 16
1.3 Endomorphismenring über einem Schiefkörper 16
1.4 Minimale Linksideale 16
1.5 Ein Lemma von Brauer 17
1.6 Einfache Ringe 18
1.7 Existenzsatz 18
1.8 Einfache Moduln 19
1.9 Ein Hilfssatz 20
1.10 Eindeutigkeitssatz 21
1.11 Struktursatz von Wedderburn (1907) 22
1.12 Übungsaufgaben 3-5 22
2 Zentrum und Zentralisator 23
2.1 Zentrale Algebren 23
2.2 Das Zentrum eines Matrizenringes 23
2.3 Das Zentrum einer einfachen Algebra 24
2.4 Tensorprodukt von Algebren 24
2.5 Der Zentralisator eines Tensorproduktes 26
2.6 Tensorprodukt von einfachen Algebren 27
2.7 Tensorprodukt von zentralen einfachen Algebren 28
2.8 Beispiele für zentrale einfache Algebren 29
2.9 Übungsaufgaben 6-9 29
3 Definition der Brauergruppe von K 30
3.1 Nützlicher Hilfssatz 30
3.2 Definition einer Azumaya-Algebra 30
Brauergruppen, Universität Göttingen 2007
Inhaltsverzeichnis 7
3.3 Das Tensorprodukt von A und A°p 30
3.4 Ähnlichkeit (oder Brauer-Äquivalenz) 31
3.5 Die Brauergruppe Bi(K) 32
3.6 Die Brauergruppe eines algebraisch abgeschlossenen Körpers . 32
3.7 Funktorielles Verhalten 33
3.8 Charakterisierung von Azumaya-Algebren 34
3.9 Die Dimension einer Azumaya-Algebra 35
3.10 Der Index teilt den Grad 35
3.11 Übungsaufgaben 10-12 36
4 Der Satz von Skolem-Noether und der Zentralisatorsatz . 37
4.1 Ein Modullemma 37
4.2 Der Satz von Skolem-Noether 38
4.3 Satz über innere Automorphismen 38
4.4 Einfachheit des Zentralisators 39
4.5 Der Zentralisatorsatz 41
4.6 Anwendung von 4.5 auf Körpererweiterungen 42
4.7 Eine Dimensionsbeziehung 43
4.8 Übungsaufgaben 13-15 43
5 Zerfallungskörper und maximale Teilkörper 44
5.1 Der Begriff des Zerfällungskörpers 44
5.2 Maximal kommutative Unterringe eines Schiefkörpers 44
5.3 Lemma über einfach erzeugte Teilkörper 45
5.4 Maximale Teilkörper eines zentralen Schiefkörpers 45
5.5 Separable Elemente in D 46
5.6 Existenz eines separablen Zerfallungskörpers 47
5.7 Existenz eines galoisschen Zerfällungskörpers 47
5.8 Folgerung für die Brauergruppe 48
5.9 Satz über endlich-dimensionale Zerfällungskörper 48
5.10 Übungsaufgaben 16-19 49
6 Beispiele 50
6.1 Lemma aus der Gruppentheorie 50
6.2 Satz von Wedderburn (1905) 50
6.3 Die Brauergruppe eines endlichen Körpers 51
6.4 Eine Anwendung von 6.3 51
6.5 Satz von Frobenius (1878) 52
6.6 Die Brauergruppe des Körpers der reellen Zahlen 54
6.7 Der Satz von Tsen (hier ohne Beweis) 54
6.8 Übungsaufgaben 20-21 54
Brauergruppen, Universität Göttingen 2007
8 Inhaltsverzeichnis
Kohomologische Beschreibung der Brauergruppe 55
7 Verschränkte Produkte 55
7.1 Definition 55
7.2 Ähnlichkeit mit einem verschränkten Produkt 55
7.3 Strukturanalyse für verschränkte Produkte 56
7.4 Über 2-Kozyklen 58
7.5 Konstruktion von verschränkten Produkten 58
7.6 Über 2-Koränder 63
7.7 Isomorphiekriterium für verschränkte Produkte 63
7.8 Die zweite Kohomologiegruppe 65
7.9 Die erste Kohomologiegruppe 66
7.10 Übungsaufgaben 22-25 66
8 DieIsomorphieH2(G,L*)^Br(L/ü:) 68
8.1 Normierung von 2-Kozykeln 68
8.2 Multiplikativitätssatz 68
8.3 Hauptsatz 71
8.4 Die Isomorphie H2{K) ~ Br(if) 71
8.5 Ein Darstellungslemnia 71
8.6 Inflationssatz 73
8.7 Folgerung für die Brauergruppe 75
8.8 Übungsaufgaben 26-29 76
9 Exponent und Index 77
9.1 Ein weiteres Darstellungslemma 77
9.2 Torsion in der Brauergruppe ¦ 78
9.3 Der Exponent teilt den Index 79
9.4 Exponent und Index haben dieselben Primteiler 79
9.5 Primfaktorzerlegung eines Schiefkörpers 80
9.6 Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung 81
9.7 Übungsaufgaben 30-32 81
10 Zyklische Algebren 82
10.1 Definition 82
10.2 Struktursatz 82
10.3 Existenzsatz 83
10.4 Multiplikativität 84
10.5 Isomorphiekriterium für zyklische Algebren 84
10.6 Die relative Brauergruppe im zyklischen Fall 85
10.7 Anwendungsbeispiele 85
10.8 Inflationssatz im zyklischen Fall 87
10.9 Weiterer Beweis des Satzes von Wedderburn 88
10.10 Zyklizitätsprobleme 88
10.11 Übungsaufgaben 33-36 89
Brauercruppen, Universität Göttingen 2007
Inhaltsverzeichnis 9
Die Brauergruppe eines lokalen Körpers 90
11 Diskrete Bewertungen 90
11.1 Definition 90
11.2 Elementare Eigenschaften 90
11.3 Fundamentales Lemma 91
11.4 Bewertungsring und Restklassenkörper 92
11.5 Beispiele 93
11.6 Absolutbeträge 95
11.7 Übergang vom Betrag zur Bewertung 96
11.8 Vervollständigung 96
11.9 Übungsaufgaben 37-40 98
12 Diskret bewertete vollständige Körper 99
12.1 Henselsches Lemma 99
12.2 Wichtige Folgerung 101
12.3 Die Norm für Schiefkörpererweiterungen 101
12.4 Fortsetzungssatz 103
12.5 Vollständigkeitsnachweis in 12.4 105
12.6 Verzweigungsindex 107
12.7 Restklassengrad 109
12.8 Reihenentwicklung 109
12.9 Die p-adischen Zahlen 110
12.10 Funktionenkörper 111
12.11 Verallgemeinerte Reihendarstellung 111
12.12 Die Formel ef = n 112
12.13 Unverzweigte Erweiterungen 113
12.14 Übungsaufgaben 41-44 113
13 Lokale Körper 115
13.1 Beispiele für lokale Körper 115
13.2 Hilfssatz über Einheitswurzeln 115
13.3 Charakterisierung unverzweigter Erweiterungen 115
13.4 Der Frobeniusautomorphismus 117
13.5 Normensatz 118
13.6 Relative Brauergruppen 119
13.7 Existenz eines unverzweigten Zerfällungskörpers 120
13.8 Zyklizitätssatz 121
13.9 Die Gruppe Q/Z 122
13.10 Die Brauergruppe eines lokalen Körpers 122
13.11 expA = indA 123
13.12 Bemerkung zur Brauergruppe eines Zahlkörpers 123
13.13 Übungsaufgaben 45-50 124
Brauergruppen. Universität Göttincen 2007
10 Inhaltsverzeichnis
Normresthomomorphismus 125
14 Normrestalgebren 125
14.1 Erzeugende und Relationen 125
14.2 Basis und Dimension 125
14.3 Realisierung durch Matrizen 126
14.4 Abhängigkeit von der Einheitswurzel 127
14.5 Weitere Eigenschaften 128
14.6 Die multiplikative Gruppe 130
14.7 Die zweite Milnorsche /f-Gruppe 130
14.8 Der Homomorphismus R(K,n) 131
14.9 Übungsaufgaben 51-53 132
15 Galoiskohomologie (hier ohne Beweise) 133
15.1 Huberts Satz 90 133
15.2 Krulltopologie 133
15.3 Proendliche Gruppen 134
15.4 G-Moduln 135
15.5 Kohomologie proendlicher Gruppen 136
15.6 Die lange exakte Kohomologiesequenz 137
15.7 Artin-Schreier-Theorie 137
15.8 Kummer-Theorie und der Fall q = 2 138
15.9 Kohomologische Fassung des Theorems von Merkurjev-Suslin . 138
15.10 Bloch-Kato-Vermutungen 139
15.11 Übungsaufgabe 54 140
Literaturverzeichnis 141
Index 142
Brauercruppen, Universität Göttingen 2007 |
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