Projektive Geometrie und Cayley-Klein-Geometrien der Ebene:
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Basel [u.a.]
Birkhäuser
2009
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| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort
v
0 Einleitung 1
1 Die Inversion am Kreis bzw. an der Kugel 9
1.1 Grundlegende Eigenschaften...................... 9
1.2 Stereographische Projektion...................... 16
1.3 Das Übertragungsprinzip ....................... 18
1.4 Kreisverwandtschaften......................... 22
1.5 Möbiustransformationen........................ 26
Aufgaben................................... 31
2
Axiomatik
der euklidischen Geometrie 35
2.1 Die Bedeutung von Euklids
Axiomatik
................ 35
Anhang. Die „natürliche Geometrie von
Hjelmslev
......... 41
2.2 Das Parallelenaxiom.......................... 43
Anhang. Der Beweis des Parallelenaxioms nach Lorenzen ..... 55
2.3 Die moderne Sicht der
Axiomatik
................... 57
Anhang 1. Andere Axiomensysteme für den euklidischen Raum . . 68
Anhang 2. Das arithmetische Modell................. 72
Aufgaben................................... 74
3 Grundlagen der
projektíven
Geometrie 77
3.1 Das Einbeziehen des Unendlichen in die Geometrie......... 77
3.2
Axiomatik
der
projektíven
Geometrie ................ 85
3.2.1 Der
projektive
Raum...................... 85
A) Inzidenzaxiome......................... 85
Anhang. Die Gültigkeit der Aussagen ld bis 9d....... 95
B) Die weiteren Axiome...................... 97
3.2.2 Die
projektive
Ebene...................... 109
A) Axiomatik
............................ 109
B)
Koordinaten .......................... 119
3.3 Projektivitäten............................. 139
3.3.1 Eindimensionale Projektivitäten............... 140
A) Involutionen .......................... 150
3.3.2 Zweidimensionale Projektivitäten............... 153
A) Koffineationen......................... 155
B) Korrelationen.......................... 159
Anhang 1. Das arithmetische Modell
f
ür P2................ 161
Inhaltsverzeichnis
Anhang 2.
Projektive
Dreiecke....................... 165
Aufgaben................................... 167
KurveH 2. Grades 171
4.1 Kurven 2. Ordnung und 2. Klasse................... 171
4.2 Pol und Polare............................. 181
4.3 Analytische Beschreibungen...................... 184
4.4 Kurven 2. Grades............................ 189
Anhang. Kurven
η
-ter
Ordnung bzw. Klasse mit
η
> 2....... 195
4.5 Imaginärtheorie............................. 200
4.5.1 Der algebraische Zugang.................... 201
4.5.2 Der geometrische Zugang................... 203
4.5.3 Die Pfeildarstellung komplexer Punkte............ 213
Anhang 1. Wegkurven............................ 226
Anhang 2. Zur außermathematischen Bedeutung der
projektíven
Geometrie............................. 234
Aufgaben................................... 241
Ableitung spezieller Geometrien 245
5.1 Die euklidische Geometrie....................... 245
5.2 Allgemeine Beschreibung der Cayley-Klein-Geometrien ...... 250
5.3 Distanz- und Winkelmessung..................... 255
5.3.1 Allgemeine Betrachtungen................... 255
5.3.2 Formeln für Distanz und Winkel............... 267
Anhang. Komplexe Zahlen als Koordinaten................ 273
Aufgaben................................... 275
Ebene Cayley-Klein-Geometrien 277
6.1 Hyperbolische Geometrie ....................... 277
6.1.1 Gültigkeit der Axiome..................... 277
6.1.2 Modelle............................. 283
6.1.3 Distanz- und Winkelmessung................. 288
6.1.4 Ausgewählte Ergebnisse.................... 296
6.1.5 Der Sehraum.......................... 300
6.2 Elliptische Geometrie.......................... 303
6.2.1 Modelle............................. 303
6.2.2 Distanz- und Winkelmessung................. 307
6.3 Pseudoeuklidische Geometrie..................... 310
6.3.1 Grundlagen........................... 310
6.3.2 Elementare Resultate ..................... 314
A) Bewegungen........................... 314
B) Distanz und Winkel...................... 315
C) Dreiecke............................. 321
6.3.3 Pseudoeuklidische Geometrie und Relativitätstheorie .... 323
Inhaltsverzeichnis xi
6.3.4 Das Hyperboloidmodell der hyperbolischen Ebene..... 330
6.3.5 Pseudokomplexe Zahlen als Koordinaten........... 333
6.4 Doppelt-hyperbolische Geometrie................... 334
6.4.1 Grundlagen........................... 334
6.4.2 Das Hyperboloidmodell der doppelt-hyperbolischen Ebene . 339
6.5 Dualhyperbolische Geometrie..................... 341
6.6 Galileigeometrie............................. 344
6.6.1 Allgemeines........................... 344
6.6.2 Distanz, Winkel und Bewegungen............... 347
6.6.3 Duale Zahlen als Koordinaten................. 349
6.7 Duale Geometrien ........................... 350
6.7.1 Dualhyperbolische Geometrie................. 353
6.7.2 Duale pseudoeuklidische Geometrie.............. 354
6.7.3 Dualeuklidische Geometrie .................. 360
Anhang. Zur Bedeutung der dualeuklidischen Geometrie . . 365
6.8 Koordinatisierung der Cayley-Klein-Ebenen............. 368
6.9 Ausblick. Räumliche Cayley-Klein-Geometrien........... 375
Aufgaben................................... 388
Anmerkungen 393
Literaturverzeichnis 405
Stichwortverzeichnis 415
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