Maß- und Integrationstheorie:
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| Published: |
Berlin [u.a.]
Springer
2009
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| Edition: | 6., korrigierte Aufl. |
| Series: | Springer-Lehrbuch
Grundwissen Mathematik |
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| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
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| adam_text | Titel: Maß- und Integrationstheorie
Autor: Elstrodt, Jürgen
Jahr: 2009
Inhaltsverzeichnis
Kapitel I. a-Algebren und Boreische Mengen 1
§ 1. Das Inhaltsproblem und das Maßproblem 1
§ 2. Bezeichnungen und mengentheoretische Grundlagen 6
1. Bezeichnungen 6
2. Limes superior und Limes inferior 8
Aufgaben 10
§3. Ringe, Algebren, a-Ringe und a-Algebren 11
1. Ringstruktur von %i{X) 11
2. Ringe und Algebren 11
3. a-Ringe und c-Algebren 13
Aufgaben 15
§ 4. Erzeuger und Boreische Mengen 16
1. Erzeuger 16
2. Boreische Mengen 17
3. Verhalten unter Abbildungen 19
Aufgaben 20
§ 5. Halbringe 20
1. Halbringe 20
2. Der von einem Halbring erzeugte Ring 22
Aufgaben 22
§ 6. Monotone Klassen und Dynkin-Systeme 23
1. Monotone Klassen 23
2. Dynkin-Systeme 24
Aufgaben 26
Kapitel II. Inhalte und Maße 27
§ 1. Inhalte, Prämaße und Maße 27
1. Definitionen und erste Folgerungen 27
2. Ein erster Fortsetzungssatz 30
3. Eigenschaften von Inhalten 31
4. Charakterisierung der cr-Additivität 32
5. Historische Anmerkungen 33
Aufgaben 34
§ 2. Inhalte und Prämaße auf R 37
1. Endliche Inhalte auf 3 37
2. Endliche Prämaße auf 3 38
3. Kurzbiographie von E. Borel 41
Aufgaben 42
x Inhaltsverzeichnis
§ 3. Inhalte und Prämaße auf Rp 43
1. Das Lebesguesche Prämaß auf 3P 43
2. Differenzenoperatoren 44
3. Inhalte auf 3 46
4. Prämaße auf 3P 47
5. Kurzbiographie von J. Radon 48
Aufgaben 49
§ 4. Fortsetzung von Prämaßen zu Maßen 50
1. Äußere Maße 50
2. Der Fortsetzungssatz 53
3. Die Lebesgue-meßbaren Teilmengen des W 55
4. Kurzbiographie von C. Caratheodory 57
Aufgaben 58
§ 5. Eindeutigkeit der Fortsetzung 59
1. c-endliche Inhalte 59
2. Der Eindeutigkeitssatz 60
3. Wahrscheinlichkeitsmaße und Verteilungsfunktionen auf E 61
Aufgaben 62
§ 6. Vollständige Maßräume 63
Aufgaben 65
§ 7. Das Lebesguesche Maß 66
1. Approximationssätze 66
2. Charakterisierung der Lebesgue-Meßbarkeit 67
3. Der Satz von H. Steinhaus 68
4. Meßbarkeit konvexer Mengen 68
Aufgaben 69
§ 8. Das Cantorsche Diskontinuum 70
1. Konstruktion von C 70
2. Triadische Entwicklung 71
3. Mächtigkeiten von 25P und £p 73
4. Die Cantorsche Funktion 73
Aufgaben 74
§ 9. Metrische äußere Maße und Hausdorff-Maße 76
1. Metrische äußere Maße 7g
2. Hausdorff-Maße 7g
3. Rektifizierbare Kurven 7g
4. Kurzbiographie von F. Hausdorff g0
Aufgaben g2
Inhaltsverzeichnis xi
Kapitel III. Meßbare Funktionen 83
§ 1. Meßbare Abbildungen und Bildmaße 85
1. Meßbare Abbildungen 85
2. Bildmaße 87
Aufgaben 88
§2. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes 89
1. Translationsinvarianz des Lebesgue-Maßes 89
2. Das Bildmaß des Lebesgue-Maßes unter bijektiven affinen
Abbildungen 91
3. Bewegungsinvarianz des Lebesgue-Maßes 92
4. Das p-dimensionale äußere Hausdorff-Maß 94
Aufgaben 95
§ 3. Existenz nicht meßbarer Mengen 96
1. Nicht Lebesgue-meßbare Mengen und Unlösbarkeit des
Maßproblems 96
2. Kurzbiographie von G. Vitali 99
3. Weitere Beispiele nicht Lebesgue-meßbarer Mengen 99
4. Existenz nicht meßbarer Mengen für Lebesgue-Stieltjessche
Maße 100
Aufgaben 102
§4. Meßbare numerische Funktionen 103
1. Rechnen in R, Topologie von R 104
2. Meßbare numerische Funktionen 105
3. Approximation durch Treppenfunktionen 108
4. Abzählbar erzeugte Meßräume 109
5. Ein minimaler Erzeuger von B 109
Aufgaben HO
§5. Produkt-cr-Algebren 112
1. Initial-a-Algebren und Produkt-cr-Algebren 112
2. Borel-Mengen topologischer Produkte 114
3. Meßbarkeit der Diagonalen 115
Aufgaben H6
Kapitel IV. Das Lebesgue-Integral 119
§1. Integration von Treppenfunktionen 120
Aufgaben 121
§ 2. Integration nicht-negativer meßbarer Funktionen 122
1. Definition des Integrals 122
2. Der Satz von der monotonen Konvergenz 125
3. Kurzbiographie von B. Levi 126
4. Maße mit Dichten 127
Aufgaben 127
xii Inhaltsverzeichnis
§3. Integrierbare Funktionen 128
1- Integrierbare Funktionen 128
2. Linearität und Monotonie des Integrals 131
3. Der Raum O 132
4. Stetige Funktionen mit kompaktem Träger 133
5- Integration über meßbare Teilmengen 135
6. Historische Anmerkungen 136
7. Kurzbiographie von W.H. YOUng 137
Aufgaben 138
§ 4. Fast überall bestehende Eigenschaften 140
Aufgaben 142
§ 5. Konvergenzsätze 144
1. Das Lemma von Fatotj 144
2. Kurzbiographie von P. Fatou 145
3. Der Satz von der majorisierten Konvergenz 145
4. Von einem Parameter abhängige Integrale 147
5. Der Satz von Scheffe 149
Aufgaben 150
§ 6. Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 151
1. Eigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 151
2. Uneigentliches Riemann-Integral und Lebesgue-Integral 153
3. Mittelwertsätze der Integralrechnung 156
4. Kurzbiographie von H. Lebesgue 157
Aufgaben 160
Kapitel V. Produktmaße, Satz von Fubini und Transformationsformel 163
§1. Produktmaße 163
1. Produkt-cr- Algebren 164
2. Produktmaße 164
3. Das Cavalierische Prinzip 169
4. Produkte endlich vieler Maßräume 170
5. Das p-dimensionale äußere Hausdorff-Maß 171
Aufgaben i73
§2. Der Satz von Fubini 175
1. Der Satz von Fubini 175
2. Historische Anmerkungen Igg
3. Beispiele für Anwendungen des Satzes von Fubini 181
4. Der Gaußsche Integralsatz für die Ebene 184
5. Kurzbiographien von G. Fubini und L. Tonelli 187
Aufgaben ^g8
Inhaltsverzeichnis xiii
§ 3. Faltung und Fourier-Transformation 191
1. Integration in bezug auf Bildmaße 191
2. Transformation von Maßen mit Dichten 192
3. Die Faltung auf /^(R , B , ß ) 193
4. Die Fourier-Transformation 195
Aufgaben 200
§ 4. Die Transformationsformel 201
1. Die Transformationsformel 202
2. Der Satz von Sard 209
3. Verallgemeinerte Transformationsformel 211
4. Transformation von Maßen mit Dichten bez. Xp 211
5. Der Brouwersche Fixpunktsatz 213
Aufgaben 215
Kapitel VI. Konvergenzbegriffe der Maß-
und Integrationstheorie 219
§ 1. Die Ungleichungen von Jensen, Holder und Minkowski 220
1. Die Jensensche Ungleichung 220
2. Die Höldersche Ungleichung 223
3. Die Minkowskische Ungleichung 224
4. Historische Anmerkungen 225
Aufgaben 226
§ 2. Die Räume V und der Satz von Riesz-Fischer 229
1. Die Räume Cp und L» 229
2. Der Satz von Riesz-Fischer 231
3. Die Banach-Algebra L1(Rll, Bn,/?n) 234
4. Der Hilbert-Raum L2(n) 235
5. Der Banach-Verband Lvu 240
6. Dichte Unterräume von LP 242
7. Der Satz von Plancherel 243
8. Der Satz von Fatou über Potenzreihen 244
9. Historische Anmerkungen 245
10. Kurzbiographien von F. Riesz und E. Fischer 246
Aufgaben 247
§ 3. Der Satz von Jegorow 250
1. Konvergenz /^-fast überall 250
2. Fast gleichmäßige Konvergenz 251
3. Kurzbiographie von D.F. JEGOROW 252
Aufgaben 253
xiv Inhaltsverzeichnis
§ 4. Konvergenz nach Maß 253
1. Konvergenz nach Maß und lokal nach Maß 254
2. Cauchy-Folgen für die Konvergenz nach Maß 255
3. Vergleich der Konvergenzbegriffe 256
4. Charakterisierung der Konvergenz n.M. und der Konvergenz
lokal n.M. 257
Aufgaben 258
§ 5. Konvergenz in C 259
1. Der Satz von Pratt 260
2. Konvergenz in C? 261
3. Der Konvergenzsatz von Vitali 262
4. Schwache Konvergenz in C? 263
Aufgaben 267
Kapitel VII. Absolute Stetigkeit 269
§ 1. Signierte Maße; Hahnscher und Jordanscher Zerlegungssatz 269
1. Signierte Maße 269
2. Der Hahnsche Zerlegungssatz 271
3. Positive Variation, negative Variation und Variation 272
4. Jordanscher Zerlegungssatz 273
5. Der Banach-Verband der endlichen signierten Maße 274
6. Kurzbiographie von H. Hahn 275
Aufgaben 277
§ 2. Der Satz von Radon-Nikodym und der Lebesguesche
Zerlegungssatz 279
1. Absolute Stetigkeit 279
2. Der Satz von Radon-Nikodym 280
3. Kurzbiographie von O. Nikodym 284
4. Der Lebesguesche Zerlegungssatz 285
Aufgaben 287
§ 3. Der Dualraum von LP (1 p oo) 288
1. Der Dualraum von L (ß) (1 p oo) 288
2. Die multiplikativen Linearformen auf der Banach-Algebra
L ßm) 293
Aufgaben 295
§4. Absolut stetige Funktionen auf K 296
1. Der Überdeckungssatz von Vitali 296
2. Differenzierbarkeit monotoner Funktionen A-f.ü. 298
3. Der Dichtesatz 2Q1
4. Absolut stetige Funktionen auf R 302
5. Lebesguesche Zerlegung Lebesgue-Stieltjesscher Maße 306
6. Rektifizierbare Kurven 308
Aufgaben gQg
Inhaltsverzeichnis xv
Kapitel VIII. Maße auf topologischen Räumen 312
§1. Borel-Maße, Radon-Maße, Regularität 313
1. Grundbegriffe 313
2. Regularitätssätze 317
3. Moderate Borel-Maße 318
4. Regularität von Borel-Maßen 318
5. Regularität von Borel-Maßen auf polnischen Räumen 320
6. Der Satz von Lusin 323
7. Kurzbiographie von N.N. Lusin 324
Aufgaben 327
§2. Der Darstellungssatz von F. Riesz 328
1. Problemstellung 328
2. Fortsetzungssatz 329
3. Der Darstellungssatz von F. Ribsz für
lokal-kompakte Räume 335
4. Der Darstellungssatz von F. Riesz für
vollständig reguläre Räume 339
5. Träger von Maßen 343
6. Der Darstellungssatz von F. Riesz für stetige Linearformen
auf C0(X) 345
Aufgaben 350
§ 3. Das Haarsche Maß 351
1. Topologische Gruppen 352
2. Linksinvariante Linearformen und Maße 354
3. Existenz und Eindeutigkeit des Haarschen Maßes 356
4. Anwendungen des Haar-Maßes 366
5. Invariante und relativ invariante Maße auf Restklassenräumen 368
6. Kurzbiographie von A. Haar 375
Aufgaben 376
§ 4. Schwache Konvergenz und schwache Kompaktheit 378
1. Eine Regularitätseigenschaft endlicher Maße auf metrischen Räumen 379
2. Schwache und vage Konvergenz von Folgen von Maßen 380
3. Das Portmanteau-Theorem 384
4. Schwache Konvergenz von Verteilungsfunktionen
und die Sätze von Helly-Bray und Helly 386
5. Der Satz von Prochorov 392
6. Die Laplace-Transformation 398
7. Die Prochorov-Metrik 401
Aufgaben 408
xvi Inhaltsverzeichnis
Anhang A. Topologische Räume 410
Anhang B. Transfinite Induktion 414
Literaturverzeichnis 416
Namenverzeichnis 423
Symbolverzeichnis 428
Sachverzeichnis 429
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