Analysis für Informatiker: Grundlagen, Methoden, Algorithmen
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| Format: | Buch |
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| Veröffentlicht: |
Berlin [u.a.]
Springer
2009
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| Ausgabe: | 2. Aufl. |
| Schriftenreihe: | eXamen.press
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Titel: Analysis für Informatiker
Autor: Oberguggenberger, Michael
Jahr: 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Zahlen 1
1.1 Die reellen Zahlen 1
1.2 Ordnungsrelation und Arithmetik auf K 5
1.3 Maschinenzahlen 8
1.4 Rundung 9
1.5 Übungen 11
2 Reellwertige Funktionen 13
2.1 Grundbegriffe 13
2.2 Einige elementare Funktionen 17
2.3 Übungen 22
3 Trigonometrie 25
3.1 Winkelfunktionen am Dreieck 25
3.2 Fortsetzung der Winkelfunktionen auf K 28
3.3 Zyklometrische Funktionen 30
3.4 Übungen 33
4 Komplexe Zahlen 35
4.1 Der komplexe Zahlbegriff 35
4.2 Die komplexe Exponentialfunktion 38
4.3 Abbildungseigenschaften komplexer Funktionen 39
4.4 Übungen 41
5 Folgen und Reihen 43
5.1 Der Begriff einer unendlichen Folge 43
5.2 Die Vollständigkeit der reellen Zahlen 49
5.3 Unendliche Reihen 51
5.4 Ergänzung: Häufungswerte von Folgen 55
5.5 Übungen 58
XII Inhaltsverzeichnis
6 Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 61
6.1 Der Begriff der Stetigkeit 61
6.2 Trigonometrische Grenzwerte 65
6.3 Nullstellen stetiger Funktionen 67
6.4 Übungen 69
7 Die Ableitung einer Funktion 71
7.1 Motivation 71
7.2 Die Ableitung 73
7.3 Interpretationen der Ableitung 77
7.4 Ableitungsregeln 79
7.5 Numerische Ableitung 84
7.6 Übungen 89
8 Anwendungen der Ableitung 91
8.1 Kurvendiskussion 91
8.2 Das Newtonverfahren 96
8.3 Regressionsgerade durch den Ursprung 101
8.4 Übungen 103
9 Fraktale und L-Systeme 107
9.1 Fraktale 107
9.2 Mandelbrot-Mengen 114
9.3 Julia-Mengen 115
9.4 Das Newtonverfahren in C 116
9.5 L-Systeme 118
9.6 Übungen 121
10 Stammfunktionen 123
10.1 Unbestimmte Integrale 123
10.2 Integrationsformeln 126
10.3 Übungen 129
11 Bestimmte Integrale 131
11.1 Das Riemannintegral 131
11.2 Hauptsätze der Differential- und Integralrechnung 137
11.3 Anwendungen des bestimmten Integrals 139
11.4 Übungen 142
12 Taylorreihen 145
12.1 Die Formel von Taylor 145
12.2 Der Satz von Taylor 149
12.3 Anwendungen der Taylorformel 150
12.4 Übungen 152
Inhaltsverzeichnis XIII
13 Numerische Integration 153
13.1 Quadraturformeln 153
13.2 Genauigkeit und Aufwand 157
13.3 Übungen 159
14 Kurven 161
14.1 Parametrisierte Kurven in der Ebene 161
14.2 Bogenlänge und Krümmung 168
14.3 Ebene Kurven in Polarkoordinaten 174
14.4 Parametrisierte Kurven im Raum 176
14.5 Übungen 178
15 Skalarwertige Funktionen in zwei Veränderlichen 181
15.1 Graph und Schnittkurven 181
15.2 Stetigkeit 183
15.3 Partielle Ableitungen 184
15.4 Die totale Ableitung 187
15.5 Richtungsableitung und Gradient 192
15.6 Die Taylorformel in zwei Veränderlichen 194
15.7 Lokale Maxima und Minima 195
15.8 Übungen 198
16 Vektorwertige Funktionen in zwei Veränderlichen 201
16.1 Vektorfelder und Jacobimatrix 201
16.2 Das Newtonverfahren in zwei Variablen 203
16.3 Parametrisierte Flächenstücke 205
16.4 Übungen 207
17 Integralrechnung in zwei Veränderlichen 209
17.1 Das Bereichsintegral 209
17.2 Anwendungen des Bereichsintegrals 215
17.3 Die Transformationsformel 217
17.4 Übungen 221
18 Lineare Regression 223
18.1 Einfache lineare Regression 223
18.2 Rudimente der Varianzanalyse 229
18.3 Multiple lineare Regression 233
18.4 Modellanpassung und Variablenwahl 235
18.5 Übungen 239
19 Differentialgleichungen 241
19.1 Anfangswertprobleme 241
19.2 Lineare Differentialgleichungen erster Ordnung 243
XIV Inhaltsverzeichnis
19.3 Existenz und Eindeutigkeit der Lösung 249
19.4 Potenzreihenansatz 251
19.5 Qualitative Theorie 253
19.6 Übungen 255
20 Systeme von Differentialgleichungen 257
20.1 Systeme linearer Differentialgleichungen 257
20.2 Systeme nichtlinearer Differentialgleichungen 267
20.3 Übungen 273
21 Numerik von Differentialgleichungen 275
21.1 Das explizite Eulerverfahren 275
21.2 Stabilität und steife Probleme 278
21.3 Systeme von Differentialgleichungen 280
21.4 Übungen 282
A Anhang: Vektorrechnung 283
A.l Kartesische Koordinatensysteme 283
A.2 Vektoren 284
A.3 Vektoren im kartesischen Koordinatensystem 284
A.4 Das innere Produkt (Skalarprodukt) 286
A.5 Das äußere Produkt (Kreuzprodukt) 288
A.6 Geraden in der Ebene 289
A.7 Ebenen im Raum 290
A.8 Geraden im Raum 291
B Anhang: Matrizen 293
B.l Matrizenrechnung 293
B.2 Kanonische Form von Matrizen 297
C Anhang: Ergänzungen zur Stetigkeit 303
C.l Stetigkeit der Umkehrfunktion 303
C.2 Grenzfunktionen von Funktionenfolgen 304
C.3 Die Exponentialreihe 307
C.4 Lipschitz- und gleichmäßige Stetigkeit 310
D Beschreibung der beiliegenden CD-ROM 315
D.l Java-Applets 315
D.2 Source codes in MATLAB und maple 316
D.3 Die Galerie von mathe-online 316
D.4 Kurzanleitung zur Installation der Java-Plugins 317
Literaturverzeichnis 319
Sachverzeichnis 321 |
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