Analysis: 2
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| Format: | Book |
| Language: | German |
| Published: |
Basel ; Boston ; Berlin
Birkhäuser Verlag
2008
|
| Edition: | 2., korrigierte Aufl., 1. Nachdr. |
| Series: | Grundstudium Mathematik
|
| Online Access: | Inhaltsverzeichnis |
| Physical Description: | XII, 415 S. Ill., graph. Darst. |
| ISBN: | 9783764371050 3764371056 |
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|---|---|
| adam_text | Inhaltsverzeichnis
Vorwort......................................
v
Kapitel
VI
Integralrechnung in einer Variablen
1 Sprungstetige Punktionen......................... 4
Treppen- und sprungstetige Funktionen.................. 4
Eine Charakterisierung sprungstetiger Funktionen............ 6
Der Banachraum der sprungstetigen Funktionen............. 7
2 Stetige Erweiterungen........................... 10
Der Erweiterungssatz für gleichmäßig stetige Punktionen........ 10
Beschränkte lineare Operatoren...................... 12
Die stetige Erweiterung beschränkter linearer Operatoren........ 15
3 Das Cauchy-Riemannsche Integral .................... 17
Das Integral für Treppenfunktionen.................... 17
Das Integral für sprungstetige Funktionen................ 19
Riemannsche Summen........................... 20
4 Eigenschaften des Integrals......................... 26
Integration von Funktionenfolgen..................... 26
Das orientierte Integral........................... 27
Positivität und Monotonie des Integrals.................. 28
Komponentenweise Integration....................... 31
Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung.......... 32
Das unbestimmte Integral......................... 33
Der Mittelwertsatz der Integralrechnung................. 35
5 Die Technik des Integrierens........................ 39
Variablensubstitution............................ 39
Partielle Integration............................. 41
Die Integration rationaler Funktionen................... 44
viii Inhalt
6 Summen und Integrale........................... 51
Die Bernoullischen Zahlen......................... 51
Rekursionsformeln.............................. 53
Die Bernoullischen Polynome ....................... 54
Die Euler-Maclaurinsche Summenformel................. 55
Potenzsummen ............................... 57
Asymptotische Äquivalenz......................... 58
Die Riemannsche ^-Funktion........................ 60
Die Sehnentrapezregel ........................... 65
7 Fourierreihen................................ 69
Das .Z^-Skalarprodukt............................ 69
Die Approximation im quadratischen Mittel............... 71
Orthonormalsysteme............................ 73
Die Integration periodischer Punktionen ................. 74
Fourierkoeffizienten............................. 75
Klassische Fourierreihen.......................... 76
Die Besselsche Ungleichung......................... 80
Vollständige Orthonormalsysteme..................... 81
Stückweise stetig differenzierbare Funktionen............... 84
Gleichmäßige Konvergenz ......................... 85
8 Uneigentliche Integrale........................... 92
Zulässige Funktionen............................ 92
Uneigentliche Integrale........................... 92
Der Integralvergleichssatz für Reihen................... 95
Absolut konvergente Integrale....................... 96
Das Majorantenkriterium.......................... 97
9 Die Gammafiinktion ............................ 101
Die Eulersche Integraldarstellung..................... 101
Die Gammafunktion auf C (—M)..................... 102
Die Gaußsche Darstellung......................... 103
Die Ergänzungsformel............................ 107
Die logarithmische Konvexität der Gammafunktion........... 108
Die Stirlingsche Formel...........................
Ш
Das Eulersche Betaintegral......................... 114
Inhalt ix
Kapitel
VII
Differentialrechnung mehrerer Variabler
1 Stetige lineare Abbildimgen........................ 122
Die Vollständigkeit von £(E, F)...................... 122
Endlichdimensionale Banachräume.................... 123
Matrixdarstellungen............................. 127
Die Exponentialabbildung......................... 129
Lineare Differentialgleichungen....................... 132
Das Gronwallsche Lemma......................... 134
Die Variation-der-Konstanten-Formel................... 136
Determinanten und Eigenwerte...................... 138
Fundamentalmatrizen............................ 141
Lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung............. 145
2 Differenzierbarkeit............................. 154
Die Definition................................ 154
Die Ableitung................................ 155
Richtungsableitungen............................ 157
Partielle Ableitungen............................ 159
Die Jacobimatrix.............................. 161
Ein Differenzierbarkeitskriterium ..................... 161
Der Rieszsche Darstellungssatz....................... 163
Der Gradient ................................ 165
Komplexe Differenzierbarkeit........................ 167
3 Rechenregeln................................ 172
Linearität.................................. 172
Die Kettenregel............................... 172
Die Produktregel.............................. 175
Mittelwertsätze............................... 175
Die Differenzierbarkeit von Funktionenfolgen............... 177
Notwendige Bedingungen für lokale
Extrema
............... 177
4 Multilineare Abbildungen......................... 180
Stetige multilineare Abbildungen..................... 180
Der kanonische Isomorphismus....................... 182
Symmetrische multffineare Abbildungen ................. 184
Die Ableitung multilinearer Abbildungen................. 184
5 Höhere Ableitungen ............................ 188
Definitionen................................. 188
Partielle Ableitungen höherer Ordnung.................. 191
Die Kettenregel............................... 193
Taylorsche
Formem
............................. 193
x
Inhalt
Funktionen von
m
Variablen........................ 195
Hinreichende Kriterien für lokale
Extrema
................ 196
6 Nemytskiioperatoren und Variationsrechnung.............. 204
Nemytskiioperatoren............................ 204
Die Stetigkeit von Nemytskiioperatoren.................. 205
Die Differenzierbarkeit von Nemytskiioperatoren............. 206
Die Differenzierbarkeit von Parameterintegralen............. 209
Variationsprobleme............................. 211
Die Euler-Lagrangesche Gleichung..................... 213
Klassische Mechanik............................ 217
7 Umkehrabbildungen ............................ 221
Die Ableitung der Inversion linearer Abbildungen............ 221
Der Satz über die Umkehrabbildung.................... 223
Diffeomorphismen.............................. 226
Die Lösbarkeit nichtlinearer Gleichungssysteme............. 227
8 Implizite Funktionen............................ 230
Differenzierbare Abbildungen auf Produkträumen............ 230
Der Satz über implizite Funktionen.................... 232
Reguläre Werte............................... 235
Gewöhnliche Differentialgleichungen.................... 236
Separation der Variablen.......................... 238
Lipschitz-Stetigkeit und Eindeutigkeit................... 242
Der Satz von Picard-Lindelöf........................ 244
9 Mannigfaltigkeiten............................. 252
Untermannigfaltigkeiten des K ...................... 252
Graphen................................... 253
Der Satz vom regulären Wert....................... 253
Der Immersionssatz............................. 255
Einbettungen................................ 257
Lokale Karten und Parametrisierungen.................. 262
Kartenwechsel................................ 265
10 Tangenten und Normalen ......................... 270
Das
Tangential
in W1............................ 270
Der Tangentialraum............................. 271
Charakterisierungen des Tangentialraumes................ 275
Differenzierbare Abbildungen ....................... 276
Das Differential und der Gradient..................... 279
Normalen .................................. 281
Extrema
mit Nebenbedingungen...................... 282
Anwendungen der Lagrangeschen Multiplikatorenregel......... 283
Inhalt xi
Kapitel VIII Kurvenintegrale
1 Kurven und ihre Länge........................... 291
Die totale Variation............................. 291
Rektifizierbare Wege............................ 292
Differenzierbare Kurven .......................... 294
Rektifizierbare Kurven........................... 297
2 Kurven in M ................................ 302
Tangenteneinheitsvektoren......................... 302
Parametrisierungen nach der Bogenlänge................. 303
Orientierte Basen.............................. 304
Das Frenetsche n-Bein........................... 305
Die Krümmung ebener Kurven....................... 308
Eine Kennzeichnung von Geraden und Kreisen.............. 310
Krümmungskreise und Evoluten...................... 311
Das Vektorprodukt............................. 312
Die Krümmung und die Torsion von Raumkurven............ 314
3 Pfaffsche Formen.............................. 318
Vektorfelder und Pfaffsche Formen .................... 318
Die kanonischen Basen........................... 320
Exakte Formen und Gradientenfelder................... 322
Das Poincaresche Lemma.......................... 325
Duale Operatoren.............................. 327
Transformationsregeln........................... 328
Moduln.................................... 332
4 Kurvenintegrale............................... 337
Die Definition................................ 337
Elementare Eigenschaften ......................... 339
Der Hauptsatz über Kurvenintegrale................... 341
Einfach zusammenhängende Mengen................... 343
Die Homotopieinvarianz des Kurvenintegrals............... 344
5 Holomorphe Funktionen.......................... 351
Komplexe Kurvenintegrale......................... 351
Holomorphie................................. 354
Der Cauchysche Integralsatz........................ 355
Die Orientierung der Kreislinie....................... 357
Die Cauchysche Integralfcrmel....................... 357
Analytische Funktionen........................... 359
Der Satz von Liouville........................... 361
Die Fresnelschen Integrale......................... 361
Das Maximumprinzip............................ 363
Inhalt
Harmonische Punktionen.......................... 364
Der Satz von Goursat............................ 366
Der Weierstraßsche Konvergenzsatz.................... 369
6 Meromorphe Punktionen.......................... 373
Die Laurentsche Entwicklung ....................... 373
Hebbare Singularitäten........................... 377
Isolierte Singularitäten........................... 378
Einfache Pole................................ 381
Die Windungszahl.............................. 383
Die Stetigkeit der Umlaufzahl....................... 387
Der allgemeine Cauchysche Integralsatz.................. 389
Der Residuensatz.............................. 391
Fourierintegrale............................... 392
Literaturverzeichnis............................... 401
Index....................................... 403
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