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Bibliographic Details
Main Author:	Rudin, Walter 1921-2010 (Author)
Format:	Book
Language:	German English
Published:	München Oldenbourg 2009
Edition:	4., verb. Aufl.
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adam_text	Inhaltsverzeichnis Vorwort V Aus dem Vorwort zur 1. amerikanischen Auflage VI 1 Die Systeme der reellen und komplexen Zahlen 1 Einführung................................ 1 Geordnete Mengen............................ 3 Körper .................................. 5 Der Körper der reellen Zahlen...................... 9 Die erweiterte reelle Zahlengerade.................... 12 Der Körper der komplexen Zahlen.................... 13 Euklidische Räume............................ 17 Anhang.................................. 19 Übungsaufgaben............................. 24 2 Einführung in die Topologie 27 Endliche, abzählbare und überabzählbare Mengen............ 27 Metrische Räume............................. 34 Kompakte Mengen............................ 41 Vollkommene Mengen.......................... 46 Zusammenhängende Mengen ...................... 48 Übungsaufgaben............................. 49 3 Zahlenfolgen und Reihen 55 Konvergente Folgen ........................... 55 Teilfolgen................................. 59 Cauchy-Folgen.............................. 60 Obere und untere Grenzwerte ...................... 63 Einige spezielle Folgen.......................... 65 Reihen .................................. 67 Reihen mit nichtnegativen Gliedern................... 69 Die Zahl e ................................. 72 Das Wurzel- und das Quotientenkriterium................ 74 Potenzreihen............................... 78 VIII INHALTSVERZEICHNIS Produkt von Partialsummen ....................... 79 Absolute Konvergenz........................... 81 Addition und Multiplikation von Reihen................. 81 Umordnungen............................... 85 Übungsaufgaben............................. 88 4 Stetigkeit 95 Grenzwerte von Funktionen....................... 95 Stetige Funktionen............................ 98 Setigkeit und Kompaktheit........................ 102 Stetigkeit und Zusammenhang...................... 106 Unstetigkeitsstellen............................ 107 Monotone Funktionen.......................... 109 Unendliche Grenzwerte und Grenzwerte im Unendlichen........ 111 Übungsaufgaben............................. 112 5 Differentiation 119 Mittelwertsätze.............................. 122 Die Stetigkeit von Ableitungen...................... 124 Die l Hospitalsche Regel......................... 125 Ableitungen höherer Ordnung...................... 127 Der Taylorsche Satz ........................... 127 Differentiation von vektorwertigen Funktionen............. 128 Übungsaufgaben............................. 131 6 Das Riemann-Stieltjes Integral 139 Definition und Existenz des Integrals .................. 139 Eigenschaften des Integrals........................ 148 Integration und Differentiation...................... 155 Integration von vektorwertigen Funktionen............... 157 Rektifizierbare Kurven.......................... 158 Übungsaufgaben............................. 160 7 Folgen und Reihen von Funktionen 167 Erörterung des Hauptproblems...................... 167 Gleichmäßige Konvergenz........................ 171 Gleichmäßige Konvergenz und Stetigkeit................ 173 Gleichmäßige Konvergenz und Integration................ 176 Gleichmäßige Konvergenz und Differentiation ............. 177 Gleichgradig stetige Familien von Funktionen.............. 180 Der Satz von Stone- Weierstraß...................... 185 Übungsaufgaben............................. 192 INHALTSVERZEICHNIS IX 8 Einige spezielle Funktionen 201 Potenzreihen............................... 201 Die Exponentialfunktion und die Logarithmusfunktion......... 208 Die trigonometrischen Funktionen.................... 212 Die algebraische Abgeschlossenheit des komplexen Körpers...... 215 Fourier-Reihen.............................. 216 Die Gammafunktion........................... 224 Übungsaufgaben............................. 229 9 Funktionen mehrerer Variablen 239 Lineare Abbildungen........................... 239 Differentiation .............................. 247 Das Kontraktionsprinzip......................... 257 Der Satz über Umkehrabbildungen.................... 258 Der Satz über implizite Funktionen ................... 261 Der Rangsatz............................... 266 Determinanten.............................. 270 Ableitungen höherer Ordnung...................... 274 Differentiation von Integralen...................... 276 Übungsaufgaben............................. 279 10 Integration von Differentialformen 287 Integration ................................ 287 Primitive Abbildungen.......................... 291 Partitionen der Eins............................ 294 Die Substitutionsregel .......................... 295 Differentialformen............................ 297 Simplexe und Ketten........................... 312 Der Satz von Stokes ........................... 320 Geschlossene und exakte Formen .................... 323 Vektoranalysis .............................. 330 Übungsaufgaben............................. 339 11 Die Lebesguesche Theorie 353 Mengenfunktionen............................ 353 Konstruktion des Lebesgueschen Maßes................. 355 Maßräume ................................ 364 Meßbare Funktionen........................... 364 Einfache Funktionen........................... 367 Integration ................................ 368 Vergleich mit dem Riemann-Integral................... 378 Integration komplexer Funktionen.................... 381 X INHALTSVERZEICHNIS Funktionen der Klasse £2 ........................382 Übungsaufgaben.............................390 Literaturverzeichnis 393 Liste spezieller Symbole 395 Sachverzeichnis 399
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