Sur l'homologie de Khovanov-Rozansky des graphes et des entrelacs:
Cette thèse consacrée à la catégorification d'invariants polynomiaus d'entrelacs et de graphes. Pour tout entier strictement positif n, Khovanov et Rozansky on introduit en 2004 une homologie bigraduée d'entrelacs, ainsi qu'une homologie de graphes planaires. Etant donné n, leur...
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| Veröffentlicht: |
Strasbourg
IRMA, Univ. Louis Pasteur et C.N.R.S.
2007
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| Schriftenreihe: | [Prépublication de l']Institut de Recherche Mathématique Avancée
2007,13 |
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| Zusammenfassung: | Cette thèse consacrée à la catégorification d'invariants polynomiaus d'entrelacs et de graphes. Pour tout entier strictement positif n, Khovanov et Rozansky on introduit en 2004 une homologie bigraduée d'entrelacs, ainsi qu'une homologie de graphes planaires. Etant donné n, leur homologie d'entrelacs catégorifie la n-ième spécialisation du polynôme d'entrelacs HOMFLYPT et leur homologie de graphes planaires catégorifi un polynôme de graphes associé. Dans cette thèsem on étudie ces homologies et on généralise keur construction en introduisant une graduation supplémentaire. Tout d'abord, on généralise une formule de Jaeger pour les polynômes d'entrelacs aux polynômes de graphes planaires, ainsi qu'à l'homologie de graphes planaires; on étend ensuite l'homologie d'entrelacs de Khovanov-Rozansky aux graphes plongés. Puis on construit une homologie trigraduée d'entrelacs. Cette homologie recouvre l'homologie bigraduée d'entrelacs de Khovanov et Rozansky. Enfin, on donne des exemples, des applications et des généralisations de l'homologie trigraduée d'entrelacs. On développe des outils d'algèbre homologique qui permettent de calculer explicitement l'homologie trigraduée d'entrelacs pour des exemples et on considère des déformations de l'homologie trigraduée d'entrelacs. |
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|---|---|
| adam_text | Contents
Remerciements
3
Résumé
5
Introduction
9
Chapter
L.
Link invariants and Khovanov-Rozansky catcgorih eation
15
1. Polynomial invariants of links and graphs
15
2.
Matrix factorizations b
3.
Graded matrix factorizations for planar graphs
23
4.
Link diagrams and complexes of
gradini
matrix factorizations
28
5.
Cones and Khovanov-Rozansky construction
31
Chapter
2.
Khovanov-Rozansky graph homology
35
1.
Composition product for planar graphs
35
2.
Generalization to embedded graphs
42
Chapter
3.
Triply graded link honiology
Ш„
51
L.
The main construction: from bicomplexes to
tripli;
grading
51
2.
More1 on matrix factorizations
54
3.
Proofs of Theorem
3.1
and
3.2
G3
Chapter
1,
Properties of
И„
97
1.
The underlying TQFT
97
2.
A canonical spectral
sequen«:4
102
3.
Skein exact sequences for
Н„
104
4.
A polynomial invariant derived from
И„
109
5.
Deformations of
Н„
114
G.
Generalization to virtual links US
Appendix: Graph relations and polynomial invariants of graphs
119
List of Figures
123
Bibliography
125
|
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Contents
Remerciements
3
Résumé
5
Introduction
9
Chapter
L.
Link invariants and Khovanov-Rozansky catcgorih'eation
15
1. Polynomial invariants of links and graphs
15
2.
Matrix factorizations \b
3.
Graded matrix factorizations for planar graphs
23
4.
Link diagrams and complexes of
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28
5.
Cones and Khovanov-Rozansky construction
31
Chapter
2.
Khovanov-Rozansky graph homology
35
1.
Composition product for planar graphs
35
2.
Generalization to embedded graphs
42
Chapter
3.
Triply graded link honiology
Ш„
51
L.
The main construction: from bicomplexes to
tripli;
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51
2.
More1 on matrix factorizations
54
3.
Proofs of Theorem
3.1
and
3.2
G3
Chapter
1,
Properties of
И„
97
1.
The underlying TQFT
97
2.
A canonical spectral
sequen«:4
102
3.
Skein exact sequences for
Н„
104
4.
A polynomial invariant derived from
И„
109
5.
Deformations of
Н„
114
G.
Generalization to virtual links US
Appendix: Graph relations and polynomial invariants of graphs
119
List of Figures
123
Bibliography
125 |
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